4.3.2等比数列的前n项和公式 课件（共52张PPT）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

(共52张PPT)
4.3.2 等比数列的前n项和公式
情景引入
国际象棋起源于古代印度. 相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.
新课讲解
你想得到
什么样的
赏赐？
陛下赏小
人几粒麦子就
搞定.
OK
第一格放1粒麦子，以后每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的的2倍，直到第64个格子
西萨
国王
探究新知
问题1：每一格的麦粒数{an}构成什么数列？
问题2：国王答应奖赏给发明者西萨的总麦粒数用式子怎么表示？
{an}为以1为首项，2为公比的等比数列.
问题3：总麦粒数S64怎么求？
探究新知
探究S64的求法:
大家猜想S64应该等于多少？
探究新知
可将两式相减，消去这些相同项，得
问题4：S64进行怎样的变形能出现264？
问题5：根据两式我们如何求出S64的值呢？
等式两边乘上的2是此数列的什么？
探究新知
问题解决：假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016—2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
7300多亿吨

国王的诺言不能实现！

人们估计，全世界一千年也难以生产这么多麦子!
探究新知
(1)
(2)
错位相减法
1-q是否为零？
讨论公比q是否为1
探究：类比上面求和的方法能否得到等比数列前n项和公式呢？
探究新知
首项
末项
公比
前n项和
项数
等比数列前n项和公式：
注意
(1)等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况.
(2)推导等比数列前n项和公式的方法：错位相减法.
(3)步骤: 乘公比，错位写，对位减.
典型例题
典型例题
典型例题
不要忘记考虑q=1与q≠1两种情况.
巩固训练
练习：
典型例题
解法1：
例3
(1)
(2)
(3)
解法2：
两式相除：实现整体消元的目的
典型例题
证明：
例4
典型例题
巩固训练
巩固训练
巩固训练
巩固训练
5.如果一个等比数列前5项和等于10, 前10项的和等于50, 求这个数列的公比.
解法1：
解法2：
课堂小结
1.掌握等比数列前n项和公式推导方法（错位相减法）.
2.掌握等比数列前n项和公式（注意分类讨论）.
本节课你有哪些收获？请做一下总结！
小结
4.3.2 等比数列的前n项和公式
第二课时 性质与应用
复习回顾
1.等比数列前n项和公式：
2.等比数列求和要考虑公比是否为 1.
3.等比数列求和的常用方法：错位相减法.
消元方法：
约分或两式相除
巩固训练
典型例题
证明：
例1
典型例题
巩固训练
解法1：
1.
(1)
(2)
(3)
解法2：
两式相除：实现整体消元的目的
巩固训练
2.如果一个等比数列前5项和等于10, 前10项的和等于50, 求这个数列的公比.
解法1：
解法2：
巩固训练
巩固训练
探索新知
思考：你能发现等比数列前n项和公式Sn＝ (q≠1)的函数特征吗？


当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
典型例题
例2 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
解: 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，不满足上式.
由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，
所以a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列.
思考：还有其他方法判断{an}是否是等比数列吗？
探索新知
思考：若{an}是公比为q的等比数列，S偶, S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶, S奇之间有什么关系？
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
＝a1＋qS偶
S奇＝a1＋qS偶
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n


S偶＝qS奇


典型例题
例3 已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，求公比q.
解：由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80
∴S奇＝－80，S偶＝－160，
变式：若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为______.
300
典型例题
例4 如图，正方形 的边长为，取正方形 各边的中点 作第2个正方形 ，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形 ，依此方法一直继续下去.
(1) 求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和；
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
解：设第一个正方形的面积为，后续面积依次为,,则=25,
由于第个正方形的顶点是第个正方形各边的中点，所以=
因此{} 是以25为首项，为公比的等比数列.
典型例题
设{}的前项和为.
(1)===
所以,前10个正方形的面积之和为c.
(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和
而==
随着的无限增大,将趋近于0,将趋近于50.
所以,所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
典型例题
例5 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.
典例分析
=
=
=()
解：假设从今年起每年生活垃圾的总量{}，每年环保方式处理垃圾量{}， 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 ，则
=20, =6+1.5
当时，
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.
分组求和法
新课讲解
分组求和法
(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；
(2) 将等差数列和等比数列分开：
Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn )
(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.
解：
变式：
典型例题
例6 某牧场今年初牛的存栏数为1200, 预计以后每年存栏数的增长率为8%,且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为
(1)写出一个递推公式, 表示与之间的关系；
(2)将(1)中的递推公式表示成 的形式, 其中, 为常数；
(3)求=的值(精确到1).
分析: (1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系；
(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；
(3)利用(2)的结论可得出解答.
典型例题
(2)将 化成= ②
比较①②的系数，可得得
(3)由(2)可知，数列{-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则
=
解：(1)由题意，得并且 ①
所以，(1)中的递推公式可以
巩固训练
探究新知
(1)
(2)
错位相减法
回顾：当q≠1时，等比数列前n项和公式的推导过程
典型例题
例7 求和：
解：
(1)
(2)
(1) - (2)得：
错位相减法
思考：如何判断结果正确？
代n=1 检验是否正确即可.
巩固训练
1.已知数列 的通项公式为 ，求其前n项和 .
2.已知数列 的通项公式为 ，求其前n项和 .
3.已知数列 的通项公式为 ，求其前n项和 .
巩固训练
1.已知数列 的通项公式为 ，求其前n项和 .
2.已知数列 的通项公式为 ，求其前n项和 .
3.已知数列 的通项公式为 ，求其前n项和 .
巩固训练
3.已知数列 的通项公式为 ，求其前n项和 .
①
②
②-①得
巩固训练
1.求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).
当x≠1时，Sn＝x ＋ 2x2 ＋ 3x3 ＋ 4x4 ＋ … ＋ nxn
xSn＝ x2 ＋ 2x3 ＋ 3x4 ＋ … ＋ (n－1)xn ＋nxn＋1
∴(1－x)Sn ＝x ＋ x2 ＋ x3 ＋ x4 ＋ … ＋ xn －nxn＋1
巩固训练
课堂小结
1.等比数列前n项和公式Sn的函数特征：
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋qS偶

S偶＝qS奇

2.等比数列的S奇与S偶之间的关系：
3.求和的方法
分组求和法、错位相减法
本节课你有哪些收获？请做一下总结！
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