4.3.4 数列求通项公式微专题 课件(共50张PPT)-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

(共50张PPT)
4.3 数列求通项公式
微专题
新课讲解
2.等比数列通项公式(累乘法)
1.等差数列通项公式(累加法)
一、公式法
题型形式：
1.求（公差）公比；
已知数列为等差（等比）
理论公式：
解题方法：
2.直接应用公式.
典型例题
例1 已知数列{bn}中，b1=3且3bn-bn+1=0(n∈N*)，求数列{bn}的通项公式.
巩固训练
新课讲解
二、累加法
题型形式：
形如an+1－ an = f(n)或an+1 = an +f(n)
解题方法：
1.写出an+1－ an = f(n)的形式；
4.检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式.
3.得到an－ a1的值，解出an ；
2.写出an－ an-1 , an-1 － an-2 , … , a2 － a1，并将它们累加起来；
典型例题
例2 已知数列{an}满足a1 =1，an+1 =an+n+1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式.
新课讲解
三、累乘法
题型形式：
解题方法：
4.检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式.
形如 或an+1 = an ·f(n)
1.写出 的形式；
2.写出 ，并将它们累乘起来；
3.得到 的值，解出an ；
典型例题
例3 已知数列{an} 满足 ，求数列{an}的通项公式.
其他解法探究：
巩固训练
新课讲解
四、 Sn和an的递推关系式
题型形式：
理论公式：
解题方法：
1.当n ≥2时， an =Sn － Sn-1 ；
2.当n =1时， a1 =S1 ；
已知Sn =f(an)或Sn =f(n)或Sn =f(Sn-1)
3.检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式.
典型例题
例4 已知数列{an}的前n项和为 ，求数列的前3项，并求它的通项公式.
新课讲解
五、前n项和(积)法—类推作差(商)
题型形式：
理论公式：
解题方法：
1.令题中通项和为Sn；
2.写出Sn-1的表达式；
已知前n项和， Sn－ Sn-1 =an；已知前n项积，
具有一定通项公式的前n项和相加得到f(n).
3.利用Sn－ Sn-1 =an或 求an ；
4.检验a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写成分段形式.
典型例题
例5 已知数列{an} 满足3a1+32a2+33a3 +…+3nan=n(n∈N*)，求数列{an}的通项公式.
巩固训练
新课讲解
六、数列通项之构造法
第一步：利用题干中的条件将原数列构造成新的特殊数列；
第二步：求出新数列的通项公式；
第三步：通过对新数列与原数列的关系，求出原数列的通
项公式.
新课讲解
六、构造法(1)
题型形式：
形如 an+1=qan +p (其中p, q为常数，且pq(q－1)≠0)
解题方法：
1.假设递推公式为an+1+t = q(an+t )的形式(将原递推公式做一个常数的配给调整)，然后将其整理成与原递推公式的形式相同 ；
2.由待定系数法(根据对应项相等原则)，解得 ；
3.求数列 的通项公式 ；
4.求数列{an}的通项公式 .
加常数法
核心思想：形式一致
典型例题
例1 在数列{an}中， a1 =2，an+1 =2an+2，求数列{an}的通项公式.
巩固训练
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六、构造法(2)
题型形式：
形如an+1=qan +pn+r (其中p, q, r为常数，且pq(q－1)≠0)
解题方法：
1.假设递推公式为an+1+x(n+1) +y= q(an+xn+y )的形式；
2.由待定系数法(根据对应项相等原则)，求出x, y的值；
3.求数列{an +xn+y }的通项公式 ；
4.求数列{an}的通项公式 .
加变量法
核心思想：形式一致
典型例题
例2 在数列{an}中，已知a1 =2，an+1=4an－3n+1，求数列{an}的通项公式.
巩固训练
新课讲解
六、构造法(3)
题型形式：
形如an+1=qan +pn (其中p,q为常数，且pq(q－1)≠0)
解题方法：
4.求数列{an}的通项公式 .
1. 递推公式的两边同时除以pn+1，得 ；
3. 求数列{bn}的通项公式 ；
2.设 ，则递推公式转化为 ；
核心思想：形式一致
典型例题
例3 已知数列{an}满足a1 =2，an+1=2an+3n+1，求数列{an}的通项公式.
带入初值验证一下，确保计算正确
核心思想：形式一致
典型例题
例3 已知数列{an}满足a1 =2，an+1=2an+3n+1，求数列{an}的通项公式.
解：方法2：
核心思想：形式一致
巩固训练
六、构造法(4)
题型形式：
解题方法：
4.求数列{an}的通项公式 .
1. 将递推公式的两边取倒数或同时除以anan+1 ，得 ；
形如 或 anan+1 =pan+qan+1 (其中p, q 为常数)
2.设 ，则递推公式转化为 ；
3.利用构造法(1)可求数列{bn}的通项公式 ；
核心思想：形式一致
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典型例题
例4 在数列{an}中，已知a1 =2，anan+1+an+1=2an，证明数列 为等比数列，并求数列{an}的通项公式.
新课讲解
题型形式：
解题方法：
形如 (其中p, q, r, m 为常数)
1. 解不动点方程 ，得到两个根x1，x2.
2. 新数列 为新的等比数列
3. 求出 ，再求出an
核心思想：形式一致
六、构造法(5)
典型例题
例5 数列{an}中，已知 ，求数列{an}的通项公式.
变式训练
1. 数列{an}中，已知 ，求数列{an}的通项公式.
变式训练
2. 数列{an}中，已知 ，求数列{an}的通项公式.
新课讲解
六、构造法(6)
题型形式：
形如an+2= xan +1 + yan (其中x, y为常数)
解题方法：
1.假设递推公式为an+2 + pan+1 = m(an+1 + pan) 的形式；
4. 求数列{an}的通项公式 .
2.设bn =an+1 + pan，则递推公式转化为bn +1 = mbn ；
3.求等比数列{bn}的通项公式 ；
对中间项做一个配给调整
典型例题
例6 已知数列{an}满足an+1=3an－2an-1 (n≥2,n∈N*)，且a1 =0, a6 =2021，求a2.
新课讲解
六、构造法(6)
题型形式：
形如an+2=xan +1 + yan + z (其中x, y, z 为常数)
解题方法：
1.假设递推公式为an+2－pan+1=m(an+1－pan)+q的形式；
4. 求数列{an}的通项公式 .
2.设bn =an+1 － pan，则递推公式转化为bn +1 = mbn+q ；
3.利用构造法(1)可求数列{bn}的通项公式 ；
对中间项做一个配给调整
典型例题
例7 已知Sn是数列{an}的前n项和，a1 =1, a2 =4, an+1－3an+2an-1 =1，求数列{an}的通项公式.
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七、整体构造法
题型形式：
递推关系式一般比较大一堆，而且下标关系与an前关于n的关系相同.
解题方法：
方法1：递推关系式左右同时取倒数；
方法3：递推关系式左右同时加一个常数再取倒数.
方法2：递推关系式同时除以anan+1或者n(n+1)等；
典型例题
例8 已知数列{an}满足nan+1－ (n+1)an = 1(n∈N*), 且 a3 =2，求a2021.
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八、取对数
题型形式：
解题方法：
1.对递推公式的两边取对数；
2.令bn =logman，转化为bn+1 =pbn+q；
形如 (n≥2, p>0)
4.求数列{an}的通项公式 .
3. 求数列{bn}的通项公式 ；
典型例题
例9 已知数列{an}，a1=100, (n∈N*)，求数列{an}的通项公式.
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九、因式分解
题型形式：
解题方法：
1.合并同类项；
2.提取公因式；
题中涉及 ，多数能因式分解
4.得到前面构造法的形式；
3. 约分；
5.利用构造法求an.
典型例题
例10 设数列{an}是首项为1的正项数列，且 (n∈N*)，求数列{an}的通项公式.
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十、数列通项之周期数列
对于数列{an}，如果存在一个常数T(T∈N*)，使得对任意的正整数n>n0，恒有an+T =an成立，则称数列{an}是从第n0项起的周期为T的周期数列.(T的最小值称为最小正周期，简称周期)
若n0=1，则称数列{an}为纯周期数列；若n0≥2，则称数列{an}为混周期数列.
性质: (1)周期数列是无穷数列，其值域是有限集；
(2)周期数列必有最小正周期(这一点与周期函数不同) ；
(3)如果T是数列{an}的周期，则对于任意的k∈N*，kT也是周期；
(4)如果T是数列{an}的最小正周期，M是数列{an}的任一周期，
则M=kT(k∈N*).
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类型一
题型形式：
证明过程：
数列{an}是周期为3的数列.
数列周期：
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类型二
题型形式：
证明过程：
数列{an}是周期为3的数列.
数列周期：
新课讲解
类型三
题型形式：
证明过程：
数列{an}是周期为6的数列.
数列周期：
新课讲解
类型四
题型形式：
证明过程：
数列{an}是周期为4的数列.
数列周期：
新课讲解
类型五
题型形式：
证明过程：
数列{an}是周期为2的数列.
数列周期：
典型例题
例1 已知数列{an}中，a1=b(b>0), (n∈N*)，则能使an=b的n的值是( )
A.14 B.15 C.16 D.17
例2 已知数列{an}满足，a1=2, (n∈N*)，则S2004= .
例3 已知数列{an}满足， ，则a1998= .
1002
C
典型例题
例4 已知数列{an}满足，xn+1= xn － xn-1(n ≥ 0), x1= a, x2= b,记 Sn = x1+ x2+…+ xn，则下列结论正确的是( )
A. x100 =－a, S100 =2b－a B. x100 =－b, S100 =2b－a
C. x100 =－b, S100 =b－a D. x100 =－a, S100 =b－a
例5 已知数列{an}满足，a1=2, (n∈N*)，设Sn为数列{an}的前n项和，则S2006－2S2007+S2008 = ( )
A. －3 B. －2 C.3 D.2
A
A
本节课你有哪些收获？请做一下总结！
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