5.1.1 变化率问题 课件(共30张PPT)-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 5.1.1 变化率问题 课件(共30张PPT)-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-16 08:48:55 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1.1 变化率问题
为了描述现实世界中的运动、变化现象, 在数学中引入了函数. 刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念 . 在对函数的深入研究中 , 数学家创立了微积分 , 这是具有划时代意义的伟大创造 , 被誉为数学史上的里程碑.
微积分的创立与主要与处理四类科学问题直接相关. 一是已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度, 反之, 已知物体的加速度作为时间的函数, 求速度与路程; 二是求曲线的切线; 三是求已知函数的最大值与最小值; 四是求长度、面积、体积和重心等.
历史上的科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶, 牛顿和莱布尼茨在前人探索和研究的基础上,凭着敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地成立了微积分.
导数是微积分的核心概念之一, 是现代数学的基本概念, 蕴含着微积分的基本思想；导数定量刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具 .
在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想 . 通过具体的实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义.
学习目标
学习目标
1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.
2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.
3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．
新课引入
在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的, “指数爆炸”比“直线上升”快得多, 进一步地, 能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢 下面我们就来研究这个问题.
问题1 高台跳水运动员的速度
探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢
变化率：一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率.
课堂探究
探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢
课堂探究
思考 计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考下列问题：
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity).
课堂探究
探究 瞬时速度与平均速度有什么关系 你能利用这种关系求运动员在t=1 s时的瞬时速度吗
任意取一个时刻 1十 t， t是时间改变量， t ≠ 0
当 t >0时， 1十 t在1之后，用运动员在时间段[1, 1十 t]内的平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬时速度；
当 t <0时，1十 t在1之前，同样时间段[1十 t, 1]内的平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬时速度. 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格：
当 t <0时，在时间段[1十 t, 1]内 当 t >0时， 在时间段[1, 1十 t]内 t t
通过观察可得，当 t无限趋近于0，即无论 t 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－5.
新课讲解
事实上，由 可以发现，当 t在无限趋近于0时，事实上，由 也无限趋近于0，所以 无限趋近于－5. 这与前面得到的结论一致.
数学中，我们把－5叫做“当△t无限趋近于0时， 的
极限”，记为
从物理的角度看，当时间间隔| t |无限趋近于0时，平均速度 就无限趋近于t= 1时的瞬时速度，因此，运动员在t=1s 时的瞬时速度v(1)=－5 m/s.
运动员在t=t0时的瞬时速度，即
新课讲解
思考 (1) 求运动员在t=2 s时的瞬时速度；
(2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度
课堂小结
平均速度与瞬时速度的关系：
1. 平均速度：
运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为
当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为
2. 瞬时速度：
两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值．
课堂小结
平均速度与瞬时速度的关系：
1. 平均速度：
运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为
当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为
2. 瞬时速度：
新课讲解
其中 y＝f(x0＋Δx)－f(x0).
把平均变化率的极限，即 叫做瞬时变化率.
函数的平均变化率与瞬时变化率
典型例题
方法归纳
新课讲解
问题2 抛物线的切线的斜率
我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢 下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究.
探究 你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线
与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线，我们通常在点P0(1, 1)的附近任取一点P(x, x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况.
课堂探究
x
y
1
2
1
2
3
4
O
P
P0
观察 如图示，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于
点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势
T
我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线.
课堂探究
探究 我们知道，斜率是确定直线的一个要素. 如何求
抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0呢
由切线定义可知，抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系. 记 x＝x－1 ，则点P的坐标是(1+ x, (1+ x)2)，于是，割线P0P的斜率为
注： x可以是正值，也可以是负值，但不为0.
x
y
1
2
1
2
3
4
O
P
P0
T
新课讲解
x <0 x >0 x x
通过观察可得，当 x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2.
我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以
通过不断缩短横坐标间隔| x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：
新课讲解
事实上，由 可以发现，当 x在无限趋近于0时，
无限趋近于2，我们把 2 叫做“当△x无限趋近于0时， 的极限”，记为
切线的斜率：
也就是说，当点P无限靠近点P0，即 x无限趋近于0时，割线P0P无限趋近于切线P0T，因此切线P0T的斜率为
典型例题
例2 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处切线的斜率.
变式 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处的切线方程.
新课讲解
例3 求抛物线f(x)=2x2－1在x=1处的切线方程.
新课讲解
思考 观察问题1中的函数 的图象，平均速度
的几何意义是什么 瞬时速度v(1)呢
t
h
1
O
(1, h(1))
(1+ t, h(1+ t))
巩固训练
巩固训练
巩固训练
课堂小结
1. 平均速度：
运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为
当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为
2. 瞬时速度：
平均变化率的极限，即 叫做瞬时变化率.
3. 平均变化率：
4. 瞬时变化率：
课堂小结
5.高台跳水运动员平均速度及瞬时速度
6.抛物线的割线及切线的斜率
本节课你有哪些收获？请做一下总结！
小结
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1.1 变化率问题
为了描述现实世界中的运动、变化现象, 在数学中引入了函数. 刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念 . 在对函数的深入研究中 , 数学家创立了微积分 , 这是具有划时代意义的伟大创造 , 被誉为数学史上的里程碑.
微积分的创立与主要与处理四类科学问题直接相关. 一是已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度, 反之, 已知物体的加速度作为时间的函数, 求速度与路程; 二是求曲线的切线; 三是求已知函数的最大值与最小值; 四是求长度、面积、体积和重心等.
历史上的科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶, 牛顿和莱布尼茨在前人探索和研究的基础上,凭着敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地成立了微积分.
导数是微积分的核心概念之一, 是现代数学的基本概念, 蕴含着微积分的基本思想；导数定量刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具 .
在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想 . 通过具体的实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义.
学习目标
学习目标
1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.
2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.
3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．
新课引入
在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的, “指数爆炸”比“直线上升”快得多, 进一步地, 能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢 下面我们就来研究这个问题.
问题1 高台跳水运动员的速度
探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢
变化率：一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率.
课堂探究
探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢
课堂探究
思考 计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考下列问题：
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity).
课堂探究
探究 瞬时速度与平均速度有什么关系 你能利用这种关系求运动员在t=1 s时的瞬时速度吗
任意取一个时刻 1十 t， t是时间改变量， t ≠ 0
当 t >0时， 1十 t在1之后，用运动员在时间段[1, 1十 t]内的平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬时速度；
当 t <0时，1十 t在1之前，同样时间段[1十 t, 1]内的平均速度近似表示运动员在t=1时的瞬时速度. 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格：
当 t <0时，在时间段[1十 t, 1]内 当 t >0时， 在时间段[1, 1十 t]内 t t
通过观察可得，当 t无限趋近于0，即无论 t 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－5.
新课讲解
事实上，由 可以发现，当 t在无限趋近于0时，事实上，由 也无限趋近于0，所以 无限趋近于－5. 这与前面得到的结论一致.
数学中，我们把－5叫做“当△t无限趋近于0时， 的
极限”，记为
从物理的角度看，当时间间隔| t |无限趋近于0时，平均速度 就无限趋近于t= 1时的瞬时速度，因此，运动员在t=1s 时的瞬时速度v(1)=－5 m/s.
运动员在t=t0时的瞬时速度，即
新课讲解
思考 (1) 求运动员在t=2 s时的瞬时速度；
(2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度
课堂小结
平均速度与瞬时速度的关系：
1. 平均速度：
运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为
当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为
2. 瞬时速度：
两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值．
课堂小结
平均速度与瞬时速度的关系：
1. 平均速度：
运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为
当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为
2. 瞬时速度：
新课讲解
其中 y＝f(x0＋Δx)－f(x0).
把平均变化率的极限，即 叫做瞬时变化率.
函数的平均变化率与瞬时变化率
典型例题
方法归纳
新课讲解
问题2 抛物线的切线的斜率
我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢 下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究.
探究 你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线
与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线，我们通常在点P0(1, 1)的附近任取一点P(x, x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况.
课堂探究
x
y
1
2
1
2
3
4
O
P
P0
观察 如图示，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于
点P0(1, 1)时，割线P0P有什么变化趋势
T
我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线.
课堂探究
探究 我们知道，斜率是确定直线的一个要素. 如何求
抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0呢
由切线定义可知，抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系. 记 x＝x－1 ，则点P的坐标是(1+ x, (1+ x)2)，于是，割线P0P的斜率为
注： x可以是正值，也可以是负值，但不为0.
x
y
1
2
1
2
3
4
O
P
P0
T
新课讲解
x <0 x >0 x x
通过观察可得，当 x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2.
我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以
通过不断缩短横坐标间隔| x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：
新课讲解
事实上，由 可以发现，当 x在无限趋近于0时，
无限趋近于2，我们把 2 叫做“当△x无限趋近于0时， 的极限”，记为
切线的斜率：
也就是说，当点P无限靠近点P0，即 x无限趋近于0时，割线P0P无限趋近于切线P0T，因此切线P0T的斜率为
典型例题
例2 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处切线的斜率.
变式 求抛物线f(x)=x2+2x在点P (1, 3)处的切线方程.
新课讲解
例3 求抛物线f(x)=2x2－1在x=1处的切线方程.
新课讲解
思考 观察问题1中的函数 的图象，平均速度
的几何意义是什么 瞬时速度v(1)呢
t
h
1
O
(1, h(1))
(1+ t, h(1+ t))
巩固训练
巩固训练
巩固训练
课堂小结
1. 平均速度：
运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为
当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为
2. 瞬时速度：
平均变化率的极限，即 叫做瞬时变化率.
3. 平均变化率：
4. 瞬时变化率：
课堂小结
5.高台跳水运动员平均速度及瞬时速度
6.抛物线的割线及切线的斜率
本节课你有哪些收获？请做一下总结！
小结