5.1.2 导数的概念及其几何意义 课件（共34张PPT）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

(共34张PPT)
5.1.2 导数的概念及其几何意义
（第1课时）
学习目标
学习目标
1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．
2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．
新课引入
前面我们研究了两类变化率问题：
一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；
另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率.
这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式.
下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.
新课讲解
1. 平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋ x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋ x). 这时，x的变化量为 x，y的变化量为
y＝f(x0＋ x)－f(x0).
我们把比值 ，即
叫做函数y＝f(x)从从x0到x0＋ x的平均变化率.
新课讲解
2. 导数的概念
如果当 x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即
例如问题1中运动员在t=1时的瞬时速度为v(1)就是函数h(t)在t=1处的导数h′(1)，即
问题2中抛物线f(x)＝x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0就是函数f(x)＝x2在x＝1处的导数f′(1)，即
新课讲解
2. 导数的概念
如果当 x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即
概念强化：
1. f′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同；
2. f′(x0)与 x的具体取值无关；
3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称；
4. 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率 .
典型例题
例1 设 ，求
分析：
因为
所以
为了便于计算，我们可以先求出 ，再对它取极限.
典型例题
解：
思考 你能总结出求函数y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤吗？
例1 设 ，求
求函数y＝f (x)在 x＝1处导数
求y’| x＝1
查看导数定义，思考题目还可以怎么表述？
方法总结
第一步，写出 并化简；
第二步，求极限 ，
若 存在，则
思考 你能总结出求函数y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤吗？
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
典型例题
这个实际问题与导数有什么关系？
导数是瞬时变化率的数学表达.
解：
在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是 和
所以
因为
同理，
探究思考
在本题中 是原油温度在时刻 x0 的瞬时变化率，它反映的是原油温度在时刻 x0 附近的变化情况.
表示在第2h时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h. 这说明在第2h附近，原油温度大约以3℃/h的速率下降.
导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势.
和 在这个实际问题中的意义是什么？
表示在第6h时，原油温度的瞬时变化率为5℃/h，这说明在第6h附近，原油温度大约以5℃/h的速率上升.
导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.
典例例题
瞬时加速度就是速度的瞬时变化率.
例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度（单位：m/s）为 y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
速度与瞬时加速度的关系是什么？
探究思考
在本题中 是t0时刻汽车的瞬时加速度，反映了速度在t0时刻附近的变化情况.
表示在第2s时，汽车的瞬时加速度是2m/s2，这说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s.
导数(瞬时变化率)为正，体现了增加的变化趋势.
和 在这个实际问题中的意义是什么？
表示在第6s时，汽车的瞬时加速度是-6m/s2，这说明在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s.
导数(瞬时变化率)为负，体现了减少的变化趋势.
新课讲解
瞬时速度是位移的瞬时变化率，瞬时加速度是速度的瞬时变化率.
根据路程关于时间的函数求速度与加速度是一类基本问题，它和求已知曲线的切线这两类问题直接促进了导数的产生.
典例例题
例4 若函数 y＝f (x)在 x＝x0 处可导，则
A. B. C. D.0
变式训练
1. 若 ，则 ________
2. 若 y＝f (x) 是可导函数，且 ，则 ________ .
新课讲解
1.函数y＝1在[2，2＋Δx]上的平均变化率是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.Δx
答案　A
A.4 B.4x C.4＋2Δx D.4＋2(Δx)2
答案　C
3.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于________.
又f′(1)＝3，∴a＝3.
3
新课讲解
本节课你有哪些收获？请做一下总结！
小结
5.1.2 导数的概念及其几何意义
（第2课时）
学习目标
学习目标
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．
2.根据导数的几何意义会求切线方程
新课讲解
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我们知道，导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况.那么导数的几何意义是什么？
思考1：观察函数的图象，平均变化率表示什么？瞬时变化率表示什么？
新课讲解
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容易发现，平均变化率表示割线的斜率.
如图，在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.
x
f (x)
新课讲解
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与问题2中抛物线的割线和切线之间的关系类似，容易知道，割线的斜率.记，当点沿着曲线无限趋近于点时，即当时，无限趋近于函数在处的导数.
因此，函数在处的导数就是切线的斜率，即
.这就是导数的几何意义.
新课讲解
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继续观察前面的图，可以发现点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线.进一步地，利用信息技术根据将点附近的曲线不断放大，可以发现点附近的曲线越来越接近于直线.因此，在点附近，曲线可以用点处的切线近似代替.
微积分中重要的思想方法——以直代曲
典型例题
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例4.图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象.根据图象，请描述，比较曲线在附近的变化情况.
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(1)当时，曲线在处的切线平行于轴，.这时，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
(2)当时，曲线在处的切线的斜率.这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减.
解：我们用曲线 在 的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况
(3)当时，曲线在处的切线平行于轴，.这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减.
从图可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢.
典型例题
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例5.图是人体血管中药物浓度(单位：)随时间(单位：)变化得函数图象.根据图象，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).
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解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率.
典型例题
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如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时药物浓度瞬时变化率的近似值.
作处的切线，并在切线上取两点，如，，则该切线的斜率，所以.
新课讲解
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下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.
0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬时变化率 0.4 0 -0.7 -1.4
从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个唯一确定的数.
这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数(简称导数).的导函数有时也记作，即
巩固练习
x
y
1
2
O



3
1. 函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( ).
(A) f'(1)>f'(2)>f'(3)>0
(B) f'(1)(C) 0(D) f'(1)>f'(2)>0>f'(3)
A
新课讲解
3. 吹气球时，气球的半径r (单位: dm)与体积V (单位: L)之间的函数关系是 利用信息技术工具，画出0≤V≤5时函数的图象，并根据其图象估计V=0.6, 1.2 L时，气球的瞬时膨胀率.
x
y
0.6
1.2
O


3
4
5
新课讲解
课堂小结
3. 求切线方程的步骤：
1. 导数的几何意义：
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线 y=f(x)在P(x0 , f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0 , f(x0)) 处的切线的斜率是 .
2. 切线的斜率：
本节课你有哪些收获？请做一下总结！
小结