5.2.3 简单复合函数的导数 课件（共22张PPT）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

(共22张PPT)
5.2.3 简单复合函数的导数
学习目标
学习目标
1. 了解复合函数的概念．(易混点)
2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．
(重点、易错点)
新课讲解
思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作：y=f(g(x)).
函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无法用现有的方法求它的导数. 下面, 我们先分析这个函数的结构特点.
若设 ，则y=lnu，从而函数y=ln(2x－1)可以看成是由y=lnu和
复合而成的一个复合函数.
把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为 y=f(u)=f(g(x))= ln(2x－1).
复合函数：
例如，函数y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成.
新课讲解
问题 如何求复合函数的导数呢 我们先来研究y=sin2x的导数.
新课讲解
复合函数的导数法则：
一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积.
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
(1)函数y=(2x+1)2的导数是y′=4x+2. ( )
×
解: 根据题意得y′=2(2x+1)×2=8x+4 .
(2)函数y=cos(2x2+x)的导数是y′= (4x+1)sin(2x2+x).( )
√
(3)函数y=ln(2x+1)的导数是y′= .( )
×
解: y′=(2x+1)′= .
解: y′= sin(2x2+x)×(2x2+x)′= (4x+1)sin(2x2+x).
概念辨析
典型例题
例1 求下列函数的导数:
解：
方法归纳
求复合函数的导数的步骤
巩固练习
1. 求下列函数的导数:
解：
巩固练习
1. 求下列函数的导数:
解：
它表示当t=3时，弹簧震子的瞬时速度为0mm/s.
根据复合函数求导法则，有
y′t＝y′u×u′t
典型例题
例2 某个弹簧振子在振动过程中的位移(单位:mm),关于时间(单位:s)的函数满足关系式 . 求函数 y 在 t=3 时的导数，并解释它的实际意义。
典型例题
例2 某个弹簧振子在振动过程中的位移(单位:mm),关于时间(单位:s)的函数满足关系式 . 求函数 y 在 t=3 时的导数，并解释它的实际意义。
解： 可以看作函数的复合函数，根据复合函数的求导法则，有
= ==
当=3时，
它表示当=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s
方法技巧：将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数，反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.
典型例题
例3 (1)若可导函数f(x)满足f′(3)＝9，则f(3x2)在x＝1处的导数值为________．
(2)求证：双曲线C1：x2－y2＝5与椭圆C2：4x2＋9y2＝72在第一象限交点处的切线互相垂直．
解：（1）∵[f(3x2)]′＝f′(3x2)(3x2)′＝6xf′(3x2)，
∴f(3x2)在x＝1处的导数值为6×1×f′(3)＝54.
典型例题
例4 已知曲线C1:y=ex+a和曲线C2:y=ln(x+b)+a2 (a, b∈R), 若存在斜率为1的直线与C1, C2同时相切, 则b的取值范围是( )
A. B.[0, +∞) C.(-∞, 1] D.
解:令f(x)=ex+a, g(x)=ln(x+b)+a2, 则f'(x)=ex, g'(x)= ,
设斜率为1的切线在C1, C2上的切点的横坐标分别为x1, x2, 由题意知, ex1= =1,
∴x1=0, x2=1 b, 两切点分别为(0, 1+a), (1-b, a2);
两切点处的切线方程分别为y (1+a)=x和y a2=x (1 b),
故a+1=a2 1+b, 则b= a2+a+2= (a )2+ ≤ ,
∴b的取值范围是.故选D.
典型例题
A
B
巩固训练
巩固练习
4. 求下列函数在给定点处的导数:
解：
新课讲解
解：
巩固训练
7.已知曲线y=e2xcos3x在点(0, 1)处的切线与直线l间的距离为 ,求l的方程.
∴曲线在点(0, 1)处的切线的斜率为y′|x=0=2,
解: 由题意知，y′=(e2x)′cos3x+e2x (cos3x)′
= (2x)′ e2xcos3x+(3x)′(-sin3x) e2x
=2e2xcos3x 3e2xsin3x
∴切线方程为y-1=2x，即y=2x+1.
设l的方程为y=2x+m, 则 , 解得m= 4或m=6.
当m= 4时, l的方程为y=2x 4; 当m=6时, l的方程为y=2x+6.
所以l的方程为y=2x 4或 y=2x+6.
巩固训练
课堂小结
本节课你有哪些收获？请做一下总结！
小结