5.3.1函数的单调性 课件（共41张PPT）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

(共41张PPT)
5.3.1 函数的单调性
第一课时
新课讲解
在必修第一册中， 我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.
在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化. 能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢 本节我们就来讨论这个问题.
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.
新课讲解
t
h
a
O
b
(1)
t
h
a
O
b
(2)
思考1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象.
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别 如何从数学上刻画这种区别
观察图象可以发现:
(1) 从起跳到最高点，运动员的重心处于上升
状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，
即h(t)单调递增. 相应地，v(t)=h'(t)>0.
(2) 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减. 相应地，v(t)=h'(t)<0.
新课讲解
思考2 我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢
对于高台跳水问题，可以发现:
当t∈(0, a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0, a)内单调递增；
当t∈(a, b)时，h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a, b)内单调递减.
这种情况是否具有一般性呢
t
h
a
O
b
(1)
t
h
a
O
b
(2)
新课讲解
思考3 观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
x
y
O
(1)
x
y
O
(2)
x
y
O
(3)
x
y
O
(4)
新课讲解
函数的单调性与导数的正负的关系：
如图示，导数f'(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0, f(x0))处的切线的斜率，可以发现:
在x=x0处，f'(x0)>0，切线是“左下右上”的上升式，函数f(x)的图象也是上升的，函数f(x)在x=x0附近单调递增；
在x=x1处，f'(x1)<0，切线是“左上右下”的下降式，函数f(x)的图象也是下降的，函数f(x)在x=x1附近单调递减.
x
y
O
(x0, f(x0))
(x1, f(x1))
新课讲解
函数的单调性与导数的关系：
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:
在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增;
在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减.
思考2 存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有f ′(x)>0, 则f(x)有什么特性
概念辨析
函数的单调性与导数的关系：
思考1 如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性
函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.
f(x)仍为增函数.
例如: 对于函数y=x3，y′=3x2.
当x=0时，y′=0，当x>0时，y′>0，
而函数y=x3在R上单调递增.
x
y
O
新课讲解
例1.利用导数判断下列函数的单调性：
(1)；(2)；(3)
l
解：(1)因为，所以
所以，函数在上单调递增，如图所示.
(2)因为，所以
所以，函数在上单调递减，如图所示.
l
(3)因为，所以
所以，函数在和上单调递增，如图所示.
题型一：利用导数判断单调性
归纳小结
巩固训练
D
(0，＋∞)
小结
1. 函数的单调性与导数的正负的关系；
在某个区间（a，b）内，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增；
在某个区间（a，b）内，如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减；
2. 用导数判断函数单调性的步骤；
(1)求函数的定义域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;
3.应用导数判断函数图象；
新课讲解
例2. 求函数的单调区间.
l
解：函数的定义域为R，
令，解得，或.
和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及的单调性如表所示.
题型二：利用导数求函数的单调区间
单调递增 单调递减 单调递增
所以，在和上单调递增，在内单调递减.
归纳总结
判断函数y=f(x)的单调性的步骤：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
巩固训练
1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间:
解：
新课讲解
巩固训练
3. (1)函数f(x)=x2 4ln x在定义域上的单调性是( 　)
A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减
(2)函数f(x)=ln(x+1)+e-x的单调递增区间为( 　)
A.(-1,+∞) B.(0,+∞) C.(e,+∞) D.
B
A
(3)函数f(x)= 的单调递减区间为( 　)
A.(-∞, 0) B.(0,+∞), (-1, 0) C.(-∞,-1)∪(-1, 0) D.(-∞,-1), (-1, 0)
解:∵f(x)= , ∴ f'(x)= ,
由f'(x)<0得x<0且x≠-1,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1), (-1, 0) . 故选D.
D
新课讲解
题型三：利用导数研究研究含参函数的单调性
新课讲解
1.函数单调性与导数符号的关系是：
2.判定函数单调性的步骤：
①求出函数的定义域；
②求出函数的导数f (x)；
③判定导数f (x)的符号；
④确定函数f(x)的单调性.
1. 函数f(x)=(x2 ax)lnx x2+2ax+1, x∈(0,+∞), 求f(x)的单调区间.
解：f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=(x a)lnx+ x a x+2a=(x a)lnx x+a=(x a)(ln x 1).
②当00, 解得0e, 令f'(x)<0, 解得a∴f(x)的单调递增区间为(0, a), (e,+∞), 单调递减区间为(a, e);
①当a≤0时, x a>0, 令f'(x)>0, 解得x>e, 令f'(x)<0, 解得0∴f(x)的单调递增区间为(e, +∞), 单调递减区间为(0, e);
③当a=e时, f'(x)≥0恒成立, ∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞), 无单调递减区间;
④当a>e时, 令f'(x)>0, 解得0a, 令f'(x)<0, 解得e巩固训练
2. 已知函数f(x)=x2 a(x+aln x)(a≠0), 讨论f(x)的单调性.
若a>0, 当x∈(0, a)时, f'(x)<0, 当x∈(a,+∞)时, f'(x)>0, 所以f(x)在(0, a)上单调递减, 在(a,+∞)上单调递增;
解: 由题意知函数f(x)的定义域为(0, +∞),
巩固训练
新课讲解
探究 研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,＋∞)上增长快慢的情况.
x
y
O
(2)
x
y
O
1

(1)
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
新课讲解
例4. 已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，.
试画出函数图象的大致形状.
l
解：当时，，可知在区间内单调递增；
当或时，，可知在区间和上都单调递减；
当或时，，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.
综上，函数图象的大致形状如图所示.
题型四：利用导数研究函数的图像
新课讲解
例5
x
y
O
1

解：
题型四：利用导数研究函数的图像增长快慢
小结归纳
总结：函数的单调性与其导函数的正负的关系：
注意：此关系常常用于已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围.
在某个区间(a, b)内
反之
巩固训练
C
题型四：利用导数研究函数的图像
巩固训练
B
题型四：利用导数研究函数的图像
巩固训练
解：
x
y
O
a
b
c
x
y
O
a
b
c
题型四：利用导数研究函数的图像
1. 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
(A)
(B)
(C)
(D)
h
t
O
h
t
O
h
t
O
h
t
O
巩固训练
巩固训练
2. 函数y=f′(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象的大致形状.
x
y
O
a
b
e
d
c
解：
x
y
O
a
b
e
d
c
3. 已知定义域为R的函数f(x)的导函数图像如图所示, 则下列函数值的大小关系中, 一定正确的是(　)　　　　　　　　　　　
A.f(a)>f(b)>f(0) B.f(0)C.f(b)解:由f(x)的导函数的图像可知, f(x)在(a, b), (c, +∞)上单调递增, 在(b, c)上单调递减.
所以f(a)f(b)>f(0)>f(c), B, C错误;
f(c)巩固训练
新课讲解
题型五：由单调性求参数的范围
解：由已知得
因为函数在（0，1]上单调递增
巩固训练
在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增
（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而
仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0
也能使f（x）在这个区间上单调，
所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
巩固训练
练习: (1)已知f(x)=x3 ax在 ( ∞, 1] 上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. a>3 B. a≥3 C. a<3 D. a≤3
解：（1）由已知可得f′(x)=3x2-a在 ( ∞, 1]上满足f′(x)≥0，
即a≤3x2在 ( ∞, 1]上恒成立，
又因为y=3x2-a在 ( ∞, 1] 上的最小值为3×( 1)2=3 ,
所以a ≤ 3 ，故选D.
巩固训练
(2)已知函数f(x)=x3 3x2+1, 若函数f(x) 在区间(m, 2m )
上单调递减, 求实数 m 的取值范围.
(2)已知函数f(x)=x3 3x2+1, 若函数f(x) 在区间(m, 2m )
上单调递减, 求实数 m 的取值范围.
解: ∵ f(x)=x3 3x2+1, ∴f′(x)=3x2 6x. 令f′(x)=3x2 6x<0 ,
解得 0< <2, 则f(x)的单调递减区间为(0, 2),
∵f(x)在区间(m, 2m )上单调递减,
(3)已知函数f(x)=x3+3x2 ，若函数f(x)在区间[m, m+1]上不单调, 求实数m的取值范围.
解: ∵ f(x)=x3+3x2 , ∴ f′(x)=3x2+6x.
令f′(x)=3x2+6x ≥0, 解得x≥0或x≤ 2,
∵ f(x)在区间[m, m+1]上不单调,
∴m< 2解得 3故实数m的取值范围是( 3, 2)∪( 1, 0).
3. 函数f(x)=ex e-x+sin x, 若f(t)+f(1 3t)<0, 则实数t的取值范围是(　)
A. (, +∞) B. ( , ) C. (, +∞) D. ( ∞, )
解: 因为函数f(x)=ex e-x+sin x的定义域为R,
f( x)=e-x ex+sin( x)=e-x ex sinx= (ex e-x+sinx)= f(x),
所以函数f(x)为奇函数, 所以f(t)< f(1 3t)=f(3t 1).
因为f'(x)=ex+e-x+cosx≥2+ cosx=2+cosx>0(当且仅当x=0时取等号), 所以函数f(x)在R上单调递增,
所以t<3t 1, 解得t > . 故选A.
巩固训练
4. 已知函数f(x)=e|x|+cos x, 则使得f(2x)≤ f(x 1)成立的x的取值范围是　　　　.
解: 函数f(x)的定义域为R,
f( x)=e|-x|+cos( x)=e|x|+cos x=f(x), 所以函数f(x)为偶函数.
所以由f(2x)≤ f(x 1)可得f(|2x|)≤ f(|x 1|),
当x≥0时, f(x)=ex+cos x, f'(x)=ex sin x≥1 sin x≥ 0,
所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以|2x|≤|x 1|, 即4x2≤(x 1)2, 即3x2+2x 1≤0, 解得 1≤x≤ .
因此, 使得f(2x)≤f(x 1)成立的x的取值范围是[ 1, ] .
巩固训练
5. 已知函数f(x)=||, 若a=f, b=f, c=f(2e), 则a, b, c的大小关系是(　)
A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.c>a>b
解: 函数的定义域为(0,+∞), 当x∈(0, 1)时, f(x)= ,
f'(x)=, f'(x)<0, ∴f(x)在(0, 1)上单调递减,
∵0<< <1, ∴f>f, 即b>a,
∵a=f>f=2ln2 =ln4>1.
当x∈[1,+∞)时, f(x)=| |= ,
∵c=f(2e)=<= <1, ∴a>c,
∴b>a>c. 故选C.
巩固训练
归纳小结
2.利用导函数的正负画函数图像的大致形状；
利用函数图象判断导函数的正负，进而画出导函数图象的大致形状.
1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：
在某个区间(a, b)上，如果f′(x) >0，那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增；
在某个区间(a, b)上，如果 f′(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减.
3.利用导函数的正负判断函数f(x)的单调性的一般步骤.
归纳小结