5.3.2函数的极值与最大(小)值（共66张PPT） -高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 5.3.2函数的极值与最大(小)值（共66张PPT） -高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-16 08:58:31 | ||
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文档简介
(共65张PPT)
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
观察图, 我们发现, t=a时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么, 函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地, 导数的符号有什么变化规律？
O
t
a
b
h
单调递增
单调递减
放大t=a附近函数h(t)的图像，可以看出，h′(a)=0；
在t=a的附近，当t0；
当t>a时，函数h(t)单调递减，h′(t)<0.
新课引入
新课讲解
可以看出，；在t=a的附近，
当t当t>a时，函数 h(t)单调递减，.
在 t=a 附近，函数值先增后减.
这样当 t 在 a 的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有.
对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？
新课讲解
探究1： 如图示，函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 y=f(x)在这些点的导数值是多少 在这些点附近， y=f(x)的导数的正负性有什么规律
以x=a, b两点为例, 可以发现, 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, f′(a)=0; 而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0, 右侧f′(x)>0.
类似地, 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, f'(b)=0; 而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0, 右侧f'(x)<0.
x
y
O
a
b
c
d
e
新课讲解
我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;
b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
x
y
O
a
b
c
d
e
巩固训练
如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极小值，哪些是极大值？
思考 极大值一定比极小值大吗？
图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6) 是极大值．
极大值与极小值之间无确定的大小关系.
即一个函数的极大值未必大于极小值.
典型例题
例1
解：
x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞)
f′(x)
f(x)
x
y
O
-2
2
新课讲解
思考
导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
提示：
导数值为 0 的点不一定是函数的极值点
例如，对于函数，我们有.
虽然，但由于无论x>0，还是x<0，恒有，
即函数 是增函数，
所以0不是函数 的极值点
一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.
概念辨析
(3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
注意：
(1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值；
(2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件.
(4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;
反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点.
归纳总结
O
a
x0
b
x
y
x x0左侧 x0 x0右侧
f′(x)
f(x)
O
a
x0
b
x
y
x x0左侧 x0 x0右侧
f′(x)
f(x)
增
f′(x) >0
f′(x) =0
f′(x) <0
极大值
减
f′(x) <0
f′(x) =0
增
减
极小值
f′(x) >0
判断f (x0)是极大值或是极小值的方法：
左正右负为极大，左负右正为极小
左增右减为极大，左减右增为极小
小结
求可导函数f(x)极值的步骤：
(2) 求导数f ′(x)；
(3) 求方程f ′(x)=0的根；
(4) 把定义域划分为部分区间，并列成表格：
检查f ′(x)在方程根左右的符号：
如果左正右负（左增右减），
那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正（左减右增），
那么f(x)在这个根处取得极小值；
(1) 确定函数的定义域；
新课讲解
解：
x
f′(x)
f(x)
新课讲解
解：
x (－∞, －3) －3 (－3, 3) 3 (3, ＋∞)
f′(x)
f(x)
新课讲解
解：
x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞)
f′(x)
f(x)
新课讲解
解：
x (－∞, －1) －1 (－1, 1) 1 (1, ＋∞)
f′(x)
f(x)
新课讲解
D
新课讲解
D
新课讲解
课堂小结
函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
本节课你有哪些收获？请做一下总结！
小结
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
复习回顾
如果在 x0 附近的左侧f '(x)>0, 右侧f '(x)<0 ，那么 f (x0)为极大值；
解方程 f '(x) = 0. 当 f '(x0) = 0 时：
如果在 x0 附近的左侧f '(x)<0, 右侧f '(x)>0 ，那么 f (x0)为极小值.
1.求函数 y=f(x)的极值的一般方法：
2.函数最大值和最小值的概念：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M 是函数y=f(x)的最大值.
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
（2）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M 是函数y=f(x)的最小值 .
新课讲解
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.
也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x= x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值.
但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.
如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值.
新课讲解
思考1 下图是函数y=f(x), x∈[a, b]的图象，你能找出它的极小(大)值吗 你能进一步找出函数在区间[a, b]上的最小(大)值吗？
x
y
O
a
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
新课讲解
思考2 在图(1)、图(2)中，观察[a, b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a, b]上有最大值、最小值吗 如果有，最大值和最小值分别是什么
x
y
O
a
b
(1)
(2)
x
y
O
a
b
x1
x2
x3
x4
x5
一般地，如果在区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.由上述例子可知，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
新课讲解
例1
解：
x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3
f′(x)
f(x)
x
y
O
4
2
3
题型一：利用导数求最值
方法归纳
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(2) 将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
(1) f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；
巩固训练
解：
巩固训练
证明：
题型二：利用最值证明不等式
典型例题
题型二：利用最值证明不等式
典型例题
总结升华
重要函数不等式链
典型例题
题型三：利用最值证明恒成立问题
典型例题
题型三：利用最值证明恒成立问题
巩固训练
A
巩固训练
新课讲解
4.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
解: (1)因为
x
f '(x) 0
f (x)
–
+
单调递减
单调递增
又因为f(0)=-2,f(2)=20
所以,当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值20，
当x= 时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值 .
令 解得 .
新课讲解
4.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
x 2 ( 2, 3)
f '(x) 0
f (x)
–
+
单调递减
单调递增
解: (2)因为
又因为
所以,当x=2时，函数f(x)在 上取得最大值20，
当x= 时，函数f(x)在 上取得最小值 .
令 解得 .
课堂小结
2.求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：
（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；
（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1.求最大（小）值的方法
只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值.
3.解决优化问题的基本思路：
优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案→优化问题
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第3课时 含参数的函数的最大(小)值
解决恒成立或有解问题有哪些常见结论？
新课引入
下列是恒成立问题的一些常见结论：
(1)不等式f(x)≥0在定义域内恒成立，等价于f(x)min≥0；
(2)不等式f(x)≤0在定义域内恒成立，等价于f(x)max≤0；
(3)不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)恒成立，等价于F(x)＝f(x)－g(x)>0，x∈(a，b)恒成立．
下列是有解问题的一些常见结论：
(1)不等式f(x)≥0在定义域内有解，等价于f(x)max≥0；
(2)不等式f(x)≤0在定义域内有解，等价于f(x)min≤0；
(3)不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)有解，等价于F(x)＝f(x)－g(x)>0，x∈(a，b)有解．
典型例题
题型一：含参最值问题
典型例题
题型一：含参最值问题
典型例题
题型二：恒成立问题求参数取值范围
典型例题
题型二：恒成立问题求参数取值范围
典型例题
题型三：双变量恒成立问题求参数
典型例题
题型四：存在性问题求参数
直接改为：单调递增
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第4课时 图象与零点问题
新课讲解
1.利用导数解决与函数相关的问题：
例7
解：
新课讲解
例7
解：
x
y
O
1
-1
-2
新课讲解
例7
解：
x
y
O
1
-1
-2
巩固训练
1.
x
y
O
-1
变式：
巩固训练
1.
变式：
1
e
e
新课讲解
由例7可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质. 通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象：
(1) 求出函数f(x)的定义域；
(2) 求导数f′(x)及函数f′(x)的零点；
(3) 用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；
(4) 确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
(5) 画出f(x)的大致图象.
零点问题
新课讲解
2.导数在解决实际问题中的应用
问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
(1) 你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道它的道理吗
(2) 是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大
例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位: cm)是瓶子的半径. 已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
(1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大
(2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小
新课讲解
例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位: cm)是瓶子的半径. 已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
(1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大
(2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小
解：
巩固训练
证明：
x
y
O
1
π
巩固训练
解：
2.如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a m2.为使所用材料最省，圆的直径应为多少 .
新课讲解
3.已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
新课讲解
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，
综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.
新课讲解
新课讲解
新课讲解
课堂小结
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；
（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
观察图, 我们发现, t=a时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么, 函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地, 导数的符号有什么变化规律？
O
t
a
b
h
单调递增
单调递减
放大t=a附近函数h(t)的图像，可以看出，h′(a)=0；
在t=a的附近，当t
当t>a时，函数h(t)单调递减，h′(t)<0.
新课引入
新课讲解
可以看出，；在t=a的附近，
当t
在 t=a 附近，函数值先增后减.
这样当 t 在 a 的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有.
对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？
新课讲解
探究1： 如图示，函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 y=f(x)在这些点的导数值是多少 在这些点附近， y=f(x)的导数的正负性有什么规律
以x=a, b两点为例, 可以发现, 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, f′(a)=0; 而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0, 右侧f′(x)>0.
类似地, 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, f'(b)=0; 而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0, 右侧f'(x)<0.
x
y
O
a
b
c
d
e
新课讲解
我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;
b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
x
y
O
a
b
c
d
e
巩固训练
如下图是函数y=f(x)，x∈[a, b]的图象，找出哪些是极小值，哪些是极大值？
思考 极大值一定比极小值大吗？
图中f(x1), f(x3) , f(x5)是极小值， f(x2) , f(x4) , f(x6) 是极大值．
极大值与极小值之间无确定的大小关系.
即一个函数的极大值未必大于极小值.
典型例题
例1
解：
x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞)
f′(x)
f(x)
x
y
O
-2
2
新课讲解
思考
导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
提示：
导数值为 0 的点不一定是函数的极值点
例如，对于函数，我们有.
虽然，但由于无论x>0，还是x<0，恒有，
即函数 是增函数，
所以0不是函数 的极值点
一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.
概念辨析
(3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
注意：
(1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值；
(2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；
即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件.
(4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0;
反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点.
归纳总结
O
a
x0
b
x
y
x x0左侧 x0 x0右侧
f′(x)
f(x)
O
a
x0
b
x
y
x x0左侧 x0 x0右侧
f′(x)
f(x)
增
f′(x) >0
f′(x) =0
f′(x) <0
极大值
减
f′(x) <0
f′(x) =0
增
减
极小值
f′(x) >0
判断f (x0)是极大值或是极小值的方法：
左正右负为极大，左负右正为极小
左增右减为极大，左减右增为极小
小结
求可导函数f(x)极值的步骤：
(2) 求导数f ′(x)；
(3) 求方程f ′(x)=0的根；
(4) 把定义域划分为部分区间，并列成表格：
检查f ′(x)在方程根左右的符号：
如果左正右负（左增右减），
那么f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正（左减右增），
那么f(x)在这个根处取得极小值；
(1) 确定函数的定义域；
新课讲解
解：
x
f′(x)
f(x)
新课讲解
解：
x (－∞, －3) －3 (－3, 3) 3 (3, ＋∞)
f′(x)
f(x)
新课讲解
解：
x (－∞, －2) －2 (－2, 2) 2 (2, ＋∞)
f′(x)
f(x)
新课讲解
解：
x (－∞, －1) －1 (－1, 1) 1 (1, ＋∞)
f′(x)
f(x)
新课讲解
D
新课讲解
D
新课讲解
课堂小结
函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
本节课你有哪些收获？请做一下总结！
小结
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
复习回顾
如果在 x0 附近的左侧f '(x)>0, 右侧f '(x)<0 ，那么 f (x0)为极大值；
解方程 f '(x) = 0. 当 f '(x0) = 0 时：
如果在 x0 附近的左侧f '(x)<0, 右侧f '(x)>0 ，那么 f (x0)为极小值.
1.求函数 y=f(x)的极值的一般方法：
2.函数最大值和最小值的概念：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M 是函数y=f(x)的最大值.
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：
（2）对于任意的x∈I ，都有f(x)≥M ; （2）存在 x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M 是函数y=f(x)的最小值 .
新课讲解
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.
也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大(小)值点，那么在x= x0附近找不到比f(x0)更大(小)的值.
但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.
如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值.
新课讲解
思考1 下图是函数y=f(x), x∈[a, b]的图象，你能找出它的极小(大)值吗 你能进一步找出函数在区间[a, b]上的最小(大)值吗？
x
y
O
a
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
新课讲解
思考2 在图(1)、图(2)中，观察[a, b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a, b]上有最大值、最小值吗 如果有，最大值和最小值分别是什么
x
y
O
a
b
(1)
(2)
x
y
O
a
b
x1
x2
x3
x4
x5
一般地，如果在区间[a, b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.由上述例子可知，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
新课讲解
例1
解：
x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3
f′(x)
f(x)
x
y
O
4
2
3
题型一：利用导数求最值
方法归纳
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(2) 将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
(1) f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；
巩固训练
解：
巩固训练
证明：
题型二：利用最值证明不等式
典型例题
题型二：利用最值证明不等式
典型例题
总结升华
重要函数不等式链
典型例题
题型三：利用最值证明恒成立问题
典型例题
题型三：利用最值证明恒成立问题
巩固训练
A
巩固训练
新课讲解
4.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
解: (1)因为
x
f '(x) 0
f (x)
–
+
单调递减
单调递增
又因为f(0)=-2,f(2)=20
所以,当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值20，
当x= 时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值 .
令 解得 .
新课讲解
4.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
x 2 ( 2, 3)
f '(x) 0
f (x)
–
+
单调递减
单调递增
解: (2)因为
又因为
所以,当x=2时，函数f(x)在 上取得最大值20，
当x= 时，函数f(x)在 上取得最小值 .
令 解得 .
课堂小结
2.求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：
（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；
（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1.求最大（小）值的方法
只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值和最小值.
3.解决优化问题的基本思路：
优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案→优化问题
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第3课时 含参数的函数的最大(小)值
解决恒成立或有解问题有哪些常见结论？
新课引入
下列是恒成立问题的一些常见结论：
(1)不等式f(x)≥0在定义域内恒成立，等价于f(x)min≥0；
(2)不等式f(x)≤0在定义域内恒成立，等价于f(x)max≤0；
(3)不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)恒成立，等价于F(x)＝f(x)－g(x)>0，x∈(a，b)恒成立．
下列是有解问题的一些常见结论：
(1)不等式f(x)≥0在定义域内有解，等价于f(x)max≥0；
(2)不等式f(x)≤0在定义域内有解，等价于f(x)min≤0；
(3)不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)有解，等价于F(x)＝f(x)－g(x)>0，x∈(a，b)有解．
典型例题
题型一：含参最值问题
典型例题
题型一：含参最值问题
典型例题
题型二：恒成立问题求参数取值范围
典型例题
题型二：恒成立问题求参数取值范围
典型例题
题型三：双变量恒成立问题求参数
典型例题
题型四：存在性问题求参数
直接改为：单调递增
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第4课时 图象与零点问题
新课讲解
1.利用导数解决与函数相关的问题：
例7
解：
新课讲解
例7
解：
x
y
O
1
-1
-2
新课讲解
例7
解：
x
y
O
1
-1
-2
巩固训练
1.
x
y
O
-1
变式：
巩固训练
1.
变式：
1
e
e
新课讲解
由例7可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质. 通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象：
(1) 求出函数f(x)的定义域；
(2) 求导数f′(x)及函数f′(x)的零点；
(3) 用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；
(4) 确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
(5) 画出f(x)的大致图象.
零点问题
新课讲解
2.导数在解决实际问题中的应用
问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
(1) 你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道它的道理吗
(2) 是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大
例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位: cm)是瓶子的半径. 已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
(1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大
(2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小
新课讲解
例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位: cm)是瓶子的半径. 已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.
(1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大
(2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小
解：
巩固训练
证明：
x
y
O
1
π
巩固训练
解：
2.如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a m2.为使所用材料最省，圆的直径应为多少 .
新课讲解
3.已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.
(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
新课讲解
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，
综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.
新课讲解
新课讲解
新课讲解
课堂小结
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；
（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．