第七章 7.1.2 复数的几何意义 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第七章
7.1 复数的概念
7.1.2 复数的几何意义
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解复数的几何意义,了解复数集与平面直角坐标系中的点集、复数与以原点为起点的平面向量的对应关系,理解复平面的概念. 1.类比素养、一一对应数学素养、数形结合素养.
2.通过向量的模掌握复数的模及其表示. 2.归纳类比素养.
3.了解共轭复数的概念,能利用共轭复数解决一些简单的数学问题. 3.数学运算素养
温故知新
数集
扩充原因
1.复数概念
虚单位．
我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位.
全体复数所构成的集合C 叫做复数集.
对复数,
其中把实数叫做复数的实部，把实数b叫做复数的虚部.
对于复数，当且仅当时，它是实数；
当且仅当时，它是实数0；
当时，它叫做虚数；
当且时，它叫做纯虚数.
2.复数相等的充要条件
.
知新探究
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示.复数有什么几何意义呢？
根据复数相等的定义，任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定；反之也对.由此你能想到复数的集合表示方法吗？
因为任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z＝a＋bi与有序实数对(a，b)是一一对应的．而有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系．
有序实数对
复数
一 一对应
一 一对应
复平面内的点Z(a,b)
一 一对应
复数的几何意义
知新探究
Z:a+bi
x
a
O
b
y
复数z=a+bi
有序实数对(a,b)
（数）
（形）
一 一对应
复平面内的点Z(a,b)
如图，点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
复平面
实轴，其上的点表示实数
虚轴
除原点外都表示
纯虚数
看一看：复平面内的原点表示实数 ，实轴上的点表示实数 ，虚轴上的点表示纯虚数 ， 点表示复数 等．
按照这种对应方法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内每一个点有唯一的复数和它对应.
0
2
这是复数的一种几何意义.
复数的几何意义
知新探究
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．你能用平面向量来表示复数吗？
a
x
y
O
b
Z:a+bi
如图，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定．因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系(实数0与零向量对应)，即
复数z=a+bi
复平面内的点Z(a,b)
一 一对应
平面向量
一 一对应
一 一对应
这是复数的另一种几何意义.
为方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数．
复数的几何意义
知新探究
复数z=a+bi
复平面内的点Z(a,b)
一 一对应
平面向量
一 一对应
一 一对应
x
y
O
a
b
Z:a+bi
Z（a，b）
如图中向量的模叫做复数的模(modulus of a complex number)或绝对值，记作．即， 其中．
如果，那么是一个实数，它的模就等于 （的绝对值）．
复数模的几何意义 复数 z=a+bi的模r就是复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
复数的模
知新探究
x
y
O
a
b
Z:a+bi
Z（a，b）
复数的模
， 其中．
⑴;
⑵两个复数的模可以比较大小;
⑶复数z的模即为z对应的平面向量的模，也就是复数
在复平面上对应的点到原点的距离.
实数绝对值的几何意义:
实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离.
x
O
A
a
复数模的几何意义:
复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
知新探究
复数与向量的对应和转化
⑴根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.
⑵解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
⑶复数的模、复数在复平面内对应的点到原点的距离、复数在复平面内所对应的向量的模三者是一致的.
新知探究
【例1】在复平面内,描出表示下列复数的点(每个小正方格的边长为1).
D
C
F
E
O
B
A
x
y
A
B
C
D
E 5
F
初试身手
解：
则的取值范围是(-3,2).
⑴∵z=(m2+m-6)+(m2+4m-12)i在复平面内所对应的点在虚轴上,
∴,解得.
⑵z=(m2+m-6)+(m2+4m-12)i在复平面内所对应的点在轴的正半轴上,
∴,解得.
1.根据复数z=(m2+m-6)+(m2+4m-12)i在复平面内所对应的点,求实数m的值或取值范围：
⑴在虚轴上； ⑵在轴的正半轴上； ⑶位于第三象限.
⑶z=(m2+m-6)+(m2+4m-12)i在复平面内所对应的点位于第三象限,
∴,解得.
新知探究
【例2】设复数．
⑴在复平面内画出复数对应的点和向量；
⑵求复数的模，并比较它们的模的大小．
解：
⑴如图，复数对应的点分别为，对应的向量分别为．
⑵,
,
∴
思考：例2中有怎样的关系？
知新探究
如果是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数（conjugate complex number）．
虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
复数的共轭复数用表示，即如果，那么．
z=a-bi
x
y
O
a
b
z=a+bi
-b
如果是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点关于实轴对称.
设复数,共轭复数,则
⑴.
⑵.
⑶.
新知探究
【例3】设，在复平面内对应的点为，那么满足下列条件的点点的集合是什么图形？
⑴ ；　　　　 ⑵．
解：
⑴由|z|=1得，向量的模等于1，所以满足条件|z|=1的点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆(如图）.
x
y
O
新知探究
【例3】设，在复平面内对应的点为，那么满足下列条件的点的集合是什么图形？
⑴ ；　　　　 ⑵．
解：
⑵不等式可化为不等式
不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合;
不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合;
这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点的集合．
容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以１及２为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界．
x
y
O
初试身手
2.(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是(　　)
A.|z|＝ B.复数z在复平面内对应的点在第四象限
C.z的共轭复数为－1＋2i D.复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上
解：
显然C是正确的；
由z＝－1－2i，则|z|＝,A正确；
显然复数z在复平面内对应的点在第三象限，则B错误；
复数z在复平面内对应的点在直线y＝2x上，则D错误.
故选AC.
AC
初试身手
3.设复数，则|z|的最小值为（ ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.2 D.4
解：
据条件可得|z|=
.
则|z|的最小值为2.故选C.
C
拓展：设复数，在复平面内对应的点为，试判断点的集合是什么图形？
简析：由上面的解答可知,所以点的集合的图形是以原点O为圆心，半径为的圆上及以外区域.(请试画出图形）
课堂小结
1. 复平面 .
2.复数的几何意义：
3.复数的模：
4.共轭复数
复数z=a+bi
复平面内的点Z(a,b)
一 一对应
平面向量
一 一对应
一 一对应
， 其中．
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.复数的共轭复数用表示，即如果，那么．
作业布置
作业： P73-74 习题7.1 第4，5，6,7,8题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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