中考数学二轮专题复习

宝应县安宜镇沿河中学数学组 专题复习：几何综合型问题
第11课 几何论证型综合问题
【考点分析】
目前使用的数学新课程、新教材，虽然对几何论证的要求有所降低，但几何论证型综合问题仍是历年数学中考中的一种重要题型，也是命题者首要考虑命制的题型之一. 有的是教材中的例习题的变式，有的是原中考题的改编，有的题就考查一条关键的辅助线，有的是传统题的变式等等. 这类题是考查学生思维能力，特别是逻辑思维能力的一种重要手段. 解决这类问题关键要有一定的几何论证知识基础，当遇到求证困难时，能从已知和未知不同的角度思考问题，画一个标准的图帮助理解题意，调动已有的解题经验，还是可以完成的，但也要注意解题时间的把握. 所以，在复习中要注意此类题型的解题经验积累与总结。
【典型例题】
例1 已知，如图4.2—1，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC边于点E. 求证：BE=CD. （2007年常州市中考题）
【解题分析】 对基本几何论证题的求证，一要明确需用到哪些知识，二要有条理地写出推理步骤. 本题涉及3个知识点：平行四边形的对边相等，两直线平行内错角相等，等角对等边.
例2 如图4.2—4，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，若CF⊥AD，AB=2，求CD的长. （2007年广东省中山市中考题）
【解题分析】 越是基本的图形，条件越少，可能求证的思路越不好找，有时会感到是不是“条件少了？”. 在这种情况下，要认真分析题目中的已知条件，看从这些已知条件中都能推出什么，还要学会从多角度看问题，能否添加辅助线？哪一条最为关键？在本题中，连接OD最为关键，由已知条件可推出OD平分∠ADE，则∠A=∠ADO=∠ODE，而∠A+∠ADO+∠ODE=900，所以∠ODE=300，在直角三角形ODE中，由OD=1，可以求出DE的长.求解之后再看看题图，实质上就是⊙O中内接等边三角形ACD
【当堂反馈】
1．如图4.2—2，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE，交AD于F.
（1）求证：∠DEF=∠CBE；
（2）请找出图中与BE相等的线段（不另添加辅助线和字母），并说明理由.
（2007年淮安市中考题）
2．如图4.2—3，在平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M.
（1）试证明：AE⊥BF；
（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以证明.
（2006年宿迁市中考题）
3．已知：如图4.2—5（1），等边三角形ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD.
（1）若AP过圆心O，如图4.2—5（1），请你判断PDC是什么三角形，并说明理由；
（2）若AP不过圆心O，如图4.2—5（2），⊿PDC又是什么三角形，为什么？
（2007年呼和浩特市中考题）
【巩固提高】
1、如图4.2—7，已知AB是半圆O的直径，弦AD、 BC相交于点P，若∠DPB=，那么等于（ ）. （2007年烟台市中考题）
A. B. C. D.
2、已知矩形ABCD，分别以AD和CD为一边向矩形外作正三角形ADE和正三角形CDF，连接BE和BF，则的值等于 . （2007年天津市中考题）
3、已知：如图4.2—11，与的度数之差为200，弦AB与CD交于点E，∠CEB=600，则∠CAB等于（ ）.
A.500 B. 450
C. 400 D. 350
（2007年天津市中考题）
4、图4.2—12（1）是一个边长为的正方形，小颖将图（1）中的阴影部分拼成图（2）的形状，由图（1）和图（2）能验证的式子是（ ）.
A. B. C. D.
（2007年辽宁省十二市中考题）
5、如图4.2—13，在直角三角形ABC中，∠ACB=900，AC=6，AB=10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（ ）.
A.点P在⊙O内 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O外 D.无法确定
（2007年浙江省湖洲市中考题）
6、如图4.2—14，过正方形ABCD的顶点B作直线，过A、C作的垂线，垂足分别为E、F，若AE=1，CF=3，则AB的长度为 . （2007年长春市中考题）
7、如图4.2—15，四边形ABCD中，AD不平行BC，现给出三个条件：①∠CAB=∠DBA，②AC=BD，③AD=BC. 请你从上述三个条件中选择两个条件，使得加上这两个条件后能够推出ABCD是等腰梯形，并加以证明（只需证明一种情况）. （2007年韶关市中考题）
8、如图4.2—16，点A、B、C、D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE= ED，延长DB到点F，使FB= BD，连接AF.
（1）证明BDE∽FDA；
（2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明.
（2007年聊城市中考题）
9、如图4.2—17，D、E分别是⊿ABC的边BC和AB上的点，⊿ABD与⊿ACD的周长相等，
⊿CAE与⊿CBE的周长相等，设
（1）求AE和BD的长；
（2）若∠BAC=900，⊿ABC的面积为S，求证：S=AE·BD. （2007年安徽省中考题）
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第15 课 概率的综合运用
【考点分析】
近年来，这部分内容主要考点有：①探索图形变换与点的坐标变化之间的关系，②计算有关角的度数、线段的长度、图形的面积，③研究图形的形状、图形与图形之间的位置关系。解决好这些问题的关键在于抓住图形变化过程中的不变量，以不变应万变。
【典型例题】
例1 如图，将边长为8cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动三次后，正方形ABCD的中心经过的路线长是________cm。
图7．2-1
（2007年湖北省中考试题）
[解题分析]设正方形的中心为0，第一次翻动时点O经过的路线是以点C为圆心，CO长为半径的弧，后两次翻动与第一次翻动情况完全相同。
例2 如图，ABCD的矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上，设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点。
（1）求证：四边形AECG是平行四边形。
（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长。
图7.2—3
（2007年吉林省中考试题）
[解题分析]翻折前后的两个图形是全等图形，对应角相等，对应边相等，我们要以此为切入点寻找解决问题的方法。另外，在有直角三角形的问题中求线段的长度，要想到使用勾股定理。
例3如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。
（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N。
①证明DM=DN；
②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。
图7.2—5
（2007年临沂市中考试题）
[解题分析]
说明两条线段相等的方法很多，有全等三角形对应边相等，等角对等边，平行四边形对边相等等等。但我们要能够根据题目的条件、图形选择适当的方法，本题应该选用证明三角形全等的方法。
例4 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D’处，折痕为EF。
（1）求证：△ABE≌△AD’F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。
图7.2—4
（2007年青岛市中考试题）
【课后巩固】
1、如图，将Rt△ABC绕O点旋转90°得Rt△BDE，已知∠ACB=∠BED=90°，AC=3，DE=5，则OC的长为 （2007年安徽省芜湖市中考试题）
2、已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC平移到△A’B’C’，使B’和C重合，连结AC’交AC于D，则△C’DC的面积为（ ）（2007年嘉兴市中考试题）
A、6 B、9、 C、12、 D、18
3、如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A’处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于__________度。（2007年苏州市中考试题）
4、已知：如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，BD>AD，∠A=∠ACD，
（1）若∠A=∠B=30°，BD=√3，求CB的长；
（2）过D作∠CDB的平分线DF交CB于F，若线段AC沿着AB方向平移，当点A移到点D时，判断线段AC的中点E能否移到线段DF上，并说明理由。（2007年福建省厦门市中考试题）
5、如图①，将一组对边平行的纸条沿EF折叠，点A、B分别落在A’、B’处，线段FB’与AD交于点M。
（1）试判断△MEF的形状，并证明你的结论。
（2）如图②，将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C、D分别落在C’、D’处，且使MD’经过点F，试判断四边形MNFE的形状，并证明你的结论。
（3）当∠BFE=________度时，四边形MNFE是菱形
6、在平面内，先将一个多边形以P为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P’在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过放缩和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k,θ）,其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角。
（1）填空：
①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（_____，__________）；
②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作为旋转相似变换A（√3，90°），得到△ADE，则线段BD的长为_______cm；
（2）如图3，分别以锐角三角形ABC的三边AB、BC、CA为边向外作正方形ADEB、BFGC、CHIA，点O1、O2、O3分别是这三个正方形的对角线交点。试分别利用△AO1O3与ABI、△CIB与△CAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系。
第 1 页 共 4 页宝应县安宜镇沿河中学数学组 专题复习：方程与图形的综合运用
第13课 函数与图形的综合运用
【考点分析】
通过分析几何图形,根据相关性质定理建立变量间函数关系式的中考数学试题,综合几何、代数、三角知识,将函数思想融于几何问题之中,旨在考查学生的数形结合等基本数学思想,以及阅读理解能力、思维能力和空间观念.解决这类问题的关键在于抓住题设图形、分析已知条件,从几何图形的结构中寻求建立函数关系式所需要的数量关系。
【典型例题】
例1． (2007甘肃陇南) 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；
（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
例2 （2005 桂林课改）某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为米，宽为米，且（如图所示）．
（1）如果用18米的建筑材料来建绿地的边框（即周长），求与的函数关系式，并求出的取值范围；
（2）现根据小区的规划要求，所修建的矩形绿地面积必须是平方米，在满足（1）的条件下，问矩形的长和宽各为多少米？
【解题分析】
例3（2006年南充市）已知点A（0，-6），B（-3，0），C（m，2）三点在同一直线上，试求出图象经过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象．（要求标出必要的点，可不写画法）．
【解题分析】
本题是一道一次函数和反比例函数图象和性质的小综合题，题目设计新颖、巧妙、难度不大，但能很好地考查学生的基本功．
【当堂反馈】
1.有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的
矩形最大面积为_______ (围墙厚度不计).
2.（2007南充市）平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P在直线y＝－x＋m上，且AP＝OP＝4．求m的值．
【课后练习】
1．把一根长16cm的铁丝分成两部分，然后分别围成两个正方形，这两个正方形的面积和最小是多少？
分析：如果设一个正方形的边长的边长为xcm，那么另一个正方形的边长是 ，由题意得S= ，整理为一般式S= ，当x= ，时S有 值为 。
2．已知矩形的面积为8, 那么它的长y与宽x之间的关系用图像大致可表示为 ( )．
3.（2006　吉林非课改）某塑料大棚的截面如图所示，曲线部分近似看作抛物线．现测得米，最高点到地面的距离米，点到墙的距离米．借助图中的直角坐标系，回答下列问题：
（1）写出点，的坐标；
（2）求墙高．
4．（2007浙江杭州）抛物线的顶点为，已知的图象经过点，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为 。
5.（2007山东枣庄）反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为（　）
(A)2　　 (B)-2
(C)4　　 (D)-4
6．（2007浙江金华）一次函数与的图象如图，则下列结论①；②；③当时，中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．等腰三角形ABC的周长为10cm，底边BC为ycm ， 腰AB的长为x cm ，（1）写出y关于x的函数的解析式；（2）求x的取值范围；（3）求y的取值范围。
8．（安徽省2007年）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；
（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。
（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；
（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k　(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）
O
A
y
x
第7题
3
O
y
x
光线
第 1 页 共 4 页宝应县安宜镇沿河中学数学组 专题复习：代数应用型
第2 课 不等式（组）应用问题
【考点分析】
利用不等式（组）解决某些实际生活中的问题是近几年中考应用题的热点。不等式（组）的应用题常与方程、函数和几何知识结合起来考查。解决这类题关键是抓住以下几点：
1、认真审题，把握问题中表示不等关系的关键语句。
2、根据题意，恰当地设置未知数。
3、准确地用代数式表示相关的量。
4、根据不等关系列出不等式（组）。
【典型例题】
例1（2006年新疆乌鲁木齐）某中学九年级甲、乙两班在“美化、绿化家乡”的活动中，两班栽树的总棵数相同，均多于300棵且少于400棵。已知甲班有一人栽了6棵，其余每人都栽了9棵；乙班有一人栽了13棵，其余每人都栽了8棵。求甲、乙两班学生总人数。
【解题分析】本题的取材与学生息息相关，贴近学生的生活。根据题目中“总棵树相同”,“多于”“少于”这些关键词，把它们转化为符号语言，从而得到方程和不等式。可用消元法，进而再求出未知数的整数解。
例2（2007年青岛）某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示。现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶。设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：
（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；
（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与 x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最少？
甲 乙
A 20克 40克
B 30克 20克
【解题分析】（1）观察图表，可知生产A、B两种饮料分别用甲、乙原料的量，由题意可得，甲、乙原料各2800克，所以由甲、乙原料总和均小于或等于2800克，得不等式组。（2）用一次函数的性质等知识可以解决。
例3（2007年山东临沂）某工程机械厂根据市场需求，计划生产A，B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产此两型挖掘机，所生产的此两型挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：
A B
成本（万元/台） 200 240
售价（万元/台） 250 300
（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？
（2）该厂如何生产能获得最大利润？
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价高m万元（m＞0），该厂应该如何生产可以获得最大利润？（注：利润=售价-成本）
【解题分析】①恰当地设置未知数。把握“不少于”、“不超过”关键字，把它们转化为不等关系，列出不等式，再选取其中符合题意的非负整数。②求最大利润，先求利润的表达式，利用公式：利润=售价-成本，得到一个一次函数，把①问中的值代入比较或根据一次函数的性质即可。③已知m＞0，根据所得的关系式，分情况讨论。
【当堂反馈】
1．为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人，求这个中学共选派值勤学生多少？共有多少个交通路口安排值勤？
2．（2007年黑龙江）某房地产开发公司计划建A，B两种户型的住房80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：
A B
成本（万元/套） 25 28
售价（万元/套） 30 34
（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
（2）该公司如何建房获得利润最大？
（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变。每套A型住房的售价将会提高a万元（a＞0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？（注：利润=售价-成本）
【课后巩固】
1、小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板，爸爸坐在跷跷板的一端，小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，他们都不用力时，爸爸那端着地，已知爸爸的体重为70千克，妈妈的体重为50千克，则小明的体重是（ ）千克。
A、18千克 B、22千克 C、28千克 D、30千克
2、班级组织有奖知识竞赛，小明用100元班费购买笔记本和钢笔共30件，已知笔记本每2元，钢笔每支5元，那么小明最多能买钢笔（ ）。
A、50支 B、20支 C、14支 D、13支
3、（2005年济南）某商场计划每月销售900台电脑，5月1日至7日黄金周期间，商场决定开展促销活动，5月的销售计划又增加了30%，已知黄金周这7天平均每天销售54台，则这个商场本月后24天平均每天至少销售 台才能完成本月计划。
4、（2006年贵州铜仁）铜仁市内的土车收费的标准是：起步价（在3千米以内的收费）是1人4元，2人以上5元，超过3千米以后，每增加1千米，加收1元（不足1千米，按1千米计算），某人乘这种的土车从甲地到乙共用8元，设此人从甲地到乙地经过的路程为x千米，那么x的范围是（ ）
A、5≤x≤6 B、5＜x≤6 C、6≤x≤7 D、6＜x≤7
5、（2006年湖北宜昌课改）深受海内外关注的沪杭磁悬浮交通项目近日获得国务院批准，沪杭磁悬浮线建成后，分为中心城区段与郊区段两部分，其中中心城区段的长度为60千米，占全程的40%。沪杭磁悬浮列车的票价预定为0.65元/千米～0.75元/千米，请你估计沪杭磁悬浮列车全程预定票价的范围。
6、博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票，按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）按7折优惠，甲班有56名学生，乙班有54名学生。
（1）若两班学生一起前往参观博物馆，请问购买门票最少共需花多少元？
（2）当两班实际前往该博物馆参观总人数多于30人且不足100人，至少要多少人，才能使得按7折优惠，购买100张门票比实际人数按8折优惠购买门票更便宜？
（2007年广州）
7、（2007年梅州）为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划，如果实际每天比计划多用2度电，那么本学期的用电量将会超过2530度；如果实际每天比计划节约2度电，那么本学期用电量将会不超过2200度电，若本学期的在校时间按110天计算，那么学校每天用电量应控制在什么范围内？
8、（2007年山西）某酒厂生A，B两种品牌的酒，每天两种酒共生产700瓶，每种酒每瓶的成本和利润如下表示，设每天共获利y元，每天生产A种品牌的酒x瓶。
A B
成本（元） 50 35
利润（元） 20 15
（1）请写出y关于x的函数关系式；
（2）如果该厂每天至少投放成本30000元，那么每天至少获利多少元？
（3）要使每天的利润率最大，应生产A、B两种酒各多少瓶？
参考资料：利润率=×100%
原
料
名
称
饮
料
名
称
第 1 页 共 4 页宝应县安宜镇沿河中学数学组 专题复习：几何应用型
第4课 三角形全等与相似的应用
【考点分析】
三角形的全等与相似是解决数学中图形问题的两个重要的工具，也是初中数学的重点内容，因此也是中考的重要考查内容。主要考查以下几方面的内容：1．会运用三角形全等、相似的性质与判定进行有关的计算和推理。2．能运用三角形全等与相似的知识解决相关的实际问题。3．能探索解决一些与三角形全等、相似有关的综合性题型。
【典型例题】
例1 如图2.1-1，△ABC与△ABD中， AD与BC相交于O点，∠1=∠2,请你添加一个条件(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，使AC=BD,并给出证明.
你添加的条件是: ．
证明:
【解题分析】可以添加的条件有：AD＝BC；OC＝OD；∠C＝∠D；∠CAO＝∠DBC等.
以添加条件AD＝BC为例证明：
∵ AB=AB，∠1＝∠2，BC＝AD，
∴ △ABC≌△BAD．
∴ AC=BD．
例2 如图2.1-3,在梯形中，，，，点分别在线段上（点与点不重合），且，设，．
⑴　求与的函数表达式；
⑵　当为何值时，有最大值，最大值是多少？
【解题分析】⑴　由和
得．
从而可得与的函数表达式是
例3．如图2.1-5，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2.1-6），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图2.1-7的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图2.1-7至图2.1-10中统一用F表示）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。
⑴　将图2.1-7中的△ABF沿BD向右平移到图2.1-8的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；
⑵　将图2.1-7中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图2.1-9的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
⑶ 将图2.1-7中的△ABF沿直线AF翻折到图2.1-10的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH
【解题分析】⑴　图形平移的距离就是线段BC的长
又∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC=30，∴BC=5cm，
∴平移的距离为5cm．
⑵　解Rt△EFD即可
⑶　证明△≌△
【当堂反馈】
1．如图2.1-2，相交于，现给出如下三个论断：
①；②；③．
请你选择其中两个论断为条件，另外一个论断为结论，构造一个命题．
（1）在构成的所有命题中，真命题有　　　　　个．
（2）在构成的真命题中，请你选择一个加以证明．
你选择的真命题是：（用序号表示）．
2．如图2.1-4，中，，，，为上一动点（不与重合），作于，，的延长线交于点，设，的面积为．
（1）求证：；
（2）求用表示的函数表达式，并写出的取值范围；
（3）当运动到何处时，有最大值，最大值为多少？
3．如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE。过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ。
⑴　求证：△PBE∽△QAB；
⑵　你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如补相似请说明理由；
⑶　如果直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？
【课后巩固】
1．如图5，点分别在线段上，相交于点，要使，需添加一个条件是 （只要写一个条件）．
2．某学生想利用树影测量校园内的树高，他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因为大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上，经过测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么，这棵大树高为　　　米.
3．如图：分别是的中点，，，分别是，，的中点这样延续下去．已知的周长是，的周长是，的周长是的周长是，则 ．
4．如图， 在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3、AE=4，则CH的长是 ( )
A． 1 B． 2 C． 3 D．4
5．如图2.1-17，△ABC是不等边三角形DE＝BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形可以画出 （ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
6．如图2.1-18,在矩形ABCD中,E为CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,则图中全等的直角三角形共有( )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
7．小华在距离路灯6米的地方，发现自己在地面上的影长是2米，如果小华的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是 米.
8.（2007年青岛）如图2.1-19是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为 cm.
9．如图2.1-15，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．
10．如图2.1-16，在矩形中，，．直角尺的直角顶点在上滑动时（点与不重合），一直角边经过点，另一直角边交于点．我们知道，结论“”成立．
⑴　当时，求的长；
⑵　是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
11．如图2.1-20，在等边中，点分别在边上，且，与交于点．
⑴ 求证：；
⑵ 求的度数．
6．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？
⑴ 阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略)
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC、△均为锐角三角形，AB=，BC=，∠C=∠，证明：△ABC≌△.(请你将下列证明过程补充完整)
证明：分别过点B、，作BD⊥CA于D，于，
则∠BDC==90 ，∵BC=，∠C=∠
∴△BCD≌△ ∴BD=
⑵ 归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你写出这个结论。
图2.1-1
图2.1-3
Ｂ
Ｃ
Ｆ
Ｄ
Ｅ
Ａ
图2.1-10
图2.1-9
图2.1-8
图2.1-7
图2.1-6
图2.1-5
图2.1-2
A
D
C
E
B
图2.1-4
A
图2.1-11
D
C
B
N
M
A
D
C
B
Q
E
P
N
图2.1-12
图2.1-13
图2.1-14
A
B
C
D
F
E
图2.1-15
P
A
E
B
C
D
图2.1-16
E
F
D
C
B
图2.1-18
A
图2.1-17
图2.1-19
D
A
E
F
B
C
图2.1-20
图2.1-21
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第14课 统计的运用
【考点分析】
随着新课程、新教材的实施，统计观念不断得到强化，中考中的统计知识的考查已由以往注重技能的考查向注重观念考查转变. 要求能正确理解和掌握平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差等特征量的意义，能够结合实际问题的需要有效地表达数据特征，会根据数据的分析作出合理的预测. 不仅强调统计图表信息的表示，而且强调统计图表的信息交流和问题的转换. 在中考中，本部分内容均作为“中档题”呈现，重点考查对数据信息的提取、表示、分析以及分析结果的表达与解释，关注“样本估计总体”思想. 解决这类问题，要读懂题目的意思，在准确分析特征量的基础上作出合理的判断，细心地求解和画图，有些实际问题背景知识的掌握还要靠平时生活经验积累，这就是说“数学就在我们身边”。
【典型例题】
例1 一组数据，若每个数据都是这组数据的众数，则这组数据的平均数是 . （2007年黑龙江省伊春市中考题）
例2 将100个个体的样本编成组号为①～⑧的8个组，如下表：
组 号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
频 数 14 11 12 13 13 12 10
那么第⑤组的频率为（ ）.
A.14 B.15 C. 0.14 D.0.15
（2006年宁波市中考题）
【解题分析】
∵ 第⑤组的频数为：100-（14+11+12+13+13+12+10）=15，
∴ 第⑤组的频率应为：，故选D.
例3为调查某校九年级学生右眼的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行视力检查，检查结果如表所示：
视力 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.2 1.5
人数 1 1 3 4 3 4 4 5 9 10 6
（1）求这50名学生右眼视力的众数与中位数；
（2）求这50名学生右眼视力的平均值，据此估计该校九年级学生右眼视力的平均值.
（2007年天津市中考题）
【解题分析】 明确众数、中位数、平均数的意义是准确计算的基础，在计算时要有耐心，做到准确、迅速.
例4 某城区举行“八荣八耻”演讲比赛，中学组根据初赛成绩在七、八年级分别选出10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩如图6.1—2所示.
根据图提供的信息，解答下列问题：
（1）请你把下边的表格填写完整：
团体成绩 众数 平均数 方差
七年级 85.7 39.6
八年级 85.7 27.81
（2）考虑平均数与方差，你认为 年级的团体成绩更好些；
（3）假设在每个年级的决赛选手中，分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强一些，请说明理由. （2006年南宁市中考题）
【解题分析】 众数反映了一组数据的集中趋势，方差反映一组数据的离散程度. 注意题目的意思是从这10名中选出3人参加决赛，要从这3人的得分情况看哪个年级的实力更强.
【当堂反馈】
下表是某校初三（1）班20名学生某次测验的成绩统计表：
成绩（分） 60 70 80 90 100
人数（人） 1 5 2
（1）若这20名学生成绩的平均分数为82分，求和的值；
（2）在（1）的条件下，设这20名学生本次测验成绩的众数为，中位数为，求、的值.
【课后练习】
1、有关部门需要了解一批食品的质量情况，通常采用的调查方式是 .
（填：抽样调查或普查） （2006年南宁市中考题）
2、在一个扇形统计图中，某部分占总体的，则该部分所对扇形的圆心角是 度.
3、现有甲、乙两支球队，每支球队队员身高数据的平均数均为1.70米，方差分别为，则身高较整齐的球队是 队（填“甲”或“乙”）
（2007年云南省中考题）
4、已知样本：14，16，21，14，17，17，19，18，20，18，21，20，那么这组数据落在范围14.5～19.5内的频率是（ ）.
A.0.5 B.5 C. 0.6 D.6
5、为考察某校新生的体重情况，从全校初一新生抽取60名学生调查每人的体重，在这个问题中，总体是 ，样本是 ，
采用的调查方式是 .
6、已知数据的平均数为，数据的平均数为，则数据，，的平均数为 .
7、已知数据的平均数是8，其中= ，这组数据的中位数是 ，
众数是 .
8、已知样本的平均数是1，则样本的方差是 ，极差是 .
9、两个小组进行定点投篮对抗赛，每组6名队员，每人投10次，两组组员进球数统计结果如下表：
组 别 6 名 队 员 的 进 球 数 平均数
甲 组 8 5 3 1 1 0 3
乙 组 5 4 3 3 2 1 3
则组员投篮水平较整齐的小组是 组. (2007年安徽省中考题)
10、2008年奥运会将在北京举行，某校学生会为了了解全校同学喜欢收看奥运会比赛项目的情况，随机调查了200名同学，根据调查结果制作了频数分布表：
最喜欢收看项目 频数（人数） 频 率
足球 16%
篮球 56 28%
排球 20 10%
羽毛球 34 17%
乒乓球 20 10%
游泳
跳水 18 9%
田径 8 4%
合计 200
（1）补全频数分布表；
（2）在这次抽样调查中，最喜欢收看哪个奥运会比赛项目的同学最多？最喜欢收看哪个比赛项目的同学最少？
（3）根据以上调查，试估计该校1800名学生中，最喜欢收看羽毛球比赛的人数.
（2007年南宁市中考题）
11、某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）.
方案1：所有评委所给分的平均数；
方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均分；
方案3：所有评委所给分的中位数；
方案4：所有评委所给分的众数.
为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲进行了统计实验，下面是这个同学的得分统计图：
（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；
（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学的最后得分.
（2007年江西省中考题）
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第1课 方程（组）应用问题
【考点分析】
近年来与学生生活实际相结合的应用题成了中考的热点。这些问题大多与方程、函数、不等式等知识相结合。
方程（组）应用题解题步骤为：审题、设元、列方程、解方程、检验答案。解应用题的关键是：寻找题目中的等量关系，尤其是从语言中挖掘等量关系。找等量关系实际上就是从实际问题到建立数学模型的一个过渡阶段，其分析方法常有：图示法、列表法、文字表达关系式法等。另外，列方程解应用题要注意检验以及单位的统一。
【典型例题】
例1 (2007年江苏省连云港市中考试题) 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500元，预计2008年投入3600万元。设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A. 2500x2=3600 B. 2500（1+x）2=3600
C. 2500（1+x﹪）2=3600 D. 2500（1+x）+2500（1+x）2=3600
【解题分析】
关于连续两个时段的平均平均增长（降低）率，常用的公式表示为：
a（1±x）2=b(平均增长率问题中，a＜b；平均降低率问题中，a＞b).
例2 （2006湖南省长沙市）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造。已知这项工程中甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成。
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合做完成这项工程所需的天数。
【解题分析】
例3（2007福州）李晖到“宇泉牌”服装专卖店做社会调查。了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的办法，并获得如下信息：
假设月销售件数为x件，月总收入为y元，那么
销售每件奖励a元，营业员月基本工资为b元。
（1）求a、b的值；
（2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，小俐当月至少要卖服装多少件？
【当堂反馈】
1．(2007.西宁)某商品连续两次降价10﹪后价格为a元，则该商品的原价为（ ）。
A. 元 B. 1.12a元
C. 元 D. 0.81a元
2．（2007沈阳）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合做10天就能完成全部工程。已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
3．（2007河南）某商场用36万元购进A、B两种商品共获利6万元，其进价和售价如下表：
（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；
（2）商场第二次以原价购进A、B两种商品。购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的两倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折出售。若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？
【课后练习】
1．（2007江苏淮安）第六次火车大提速后，从北京到上海的火车运行速度提高了25％，运行时间宿短了2h。已知北京到上海的铁路全长为1462km，设火车原来的速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是 （ ）
2.（2007河北）炎炎夏日，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台。设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
3.（2007江苏无锡）某商场今年五月份的销售额是200万元，比去年五月份销售额的2倍少40万元，那么去年五月份的销售额是＿＿＿＿万元。
4.（2007江苏苏州）某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩。星期二下午4点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学有＿＿＿名。
5.（2007江苏扬州）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品每次降价的百分率是＿＿＿＿。
6.（2007江苏宿迁）某公司在中国意杨之乡——宿迁，收购了1600m3杨树，计划用20天完成这批杨树的加工任务。已知该公司每天能够精加工杨树50 m3或者粗加工杨树100 m3。
（1）该公司应如何安排精加工、粗加工的天数，才能按期完成任务？
（2）若每立方米杨树精加工、粗加工后的利润分别是500元、300元，则该公司售这些加工后的木材共可获利多少元？（结果保留两个有效数字）
7.（2007天津）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程。如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可。
甲乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时。问二人每小时各走几千米？
（1）设乙每小时走x千米，根据题意，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表。
（要求：填上适当的代数式，完成表格）
速度（千米/时） 所用时间（时） 所走的路程（千米）
甲 15
乙 x 15
(2)列出方程（组），并求出问题的解。
8.（2007江苏徐州）某通信运营商的短信收费标准如下：发送网内短信0.1元/条，发送网际短信0.15元/条。该通信运营商的用户小王某月发送以上两种短信共计150条，依据该收费标准共支出短信费用19元，问小王该月发送网内、网际短信各多少条？
9.（2007 保山）某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用了100元，按该书定价2.8元出售，并很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价比第一次提高0.5元，用去150元，所购书数量比第一次多10本，当这批书售出时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书，该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
第 3 页 共 4 页宝应县安宜镇沿河中学数学组 专题复习：几何综合型问题
第10课 几何计算型综合问题
【考点分析】
几何计算型综合问题，是历年数学中考中的一种重要题型. 它涉及面广，综合性强，计算技能与逻辑推理技能要求高，在数学中考试题中占有相当的比重，也是命题者青睐的一种题型. 从近年全国各地的中考情况看，考查的题型不仅有选择题、填空题、几何推理计算题，以及代数与几何的综合计算题，还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的计算题，涉及方案设计的计算题等.
几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：（1）与三角形有关的知识；（2）等腰三角形，等腰梯形的性质；（3）直角三角形的性质与三角函数；（4）平行四边形性质；（5）全等三角形，相似三角形的性质；（6）垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；（7）弧长公式与扇形面积公式等等.
此类试题的题图一般都是采用特殊图形（特殊三角形、特殊四边形、特殊角）及其组合，因为好的图形往往具有好的性质，这些组合图形，看似常规，又不常规，只要抓住这些特殊的边或角，灵活运用数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法，还是很容易求解的。
【典型例题】
例1 如图4.1—1，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，∠OAB=300.
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA=3时，求AP的长.
（2006年宿迁市中考题）
【解题分析】 （1）由于PA、PB是⊙O的切线，故∠APB的度数可以通过四边形PAOB的内角和来求得，也可以利用切线的性质及切线长定理，先求∠PAB的度数，然后再求出∠APB的度数；（2）要计算AP的长，我们可连接OP，把PA放在直角三角形PAO中解决.
例2 如图4.1—3，ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将CDE绕点C按顺时针方向旋转得到（使∠），连接，设直线与AC、分别交于点O、F.
（1）若ABC为等边三角形，则的值为 ，∠AFB的度数为 ；
（2）若ABC满足∠ACB=600，.
①求的值和∠AFB的度数；
②若E为BC的中点，求OBC面积的最大值. (2007年徐州市中考题)
【解题分析】 本题的第（1）问和第（2）问中的①，都是由∽得到的，因为，而又是很显然的事实，所以，
而∠=∠也是显然的，所以，在解答本题时，你若能识别出来∽，又会觉得如此简单；对于第（2）问中的②，在“E为BC的中点”的条件下，要求“OBC面积的最大”，即O点到BC的距离最大即可，所以，当∠时，OBC面积才最大.
【当堂反馈】
如图4.1—8，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC，翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF，已知CE⊥AB.
（1）求证：EF∥BD；
（2）若AB=7，CD=3，，求线段EF的长. (2007年威海市中考题)
【巩固提高】
1、如图4.1—9，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设AFC的面积为S，则（ ）.
A.S=2 B.S=2.4 C.S=4 D. S与BE长度有关 （2006年淮安市中考题）
2、正ABC的边长为3㎝，边长为1㎝的正RPQ的顶点R与点A重合，点P、Q分别在AC、AB上，将⊿RPQ沿着边AB、BC、CA顺时针连续翻动（如图4.1—10所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为 ㎝（结果保留）.
（2007年连云港市中考题）
3、如图4.1—11，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE、DE.
（1）求证：∠BED=∠C；
（2）若OA=5，AD=8，求AC的长.
（2007年陕西省中考题）
4、如图4.1—12，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E.
（1）求证：AB=DC；
（2）若，求边BC的长.
（2007年上海市中考题）
5、如图4.1—13，则∠1的正切值等于 . （2007年长春市中考题）
6、如图4.1—14，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2= .
（2007年甘肃省六市中考题）
7、如图4.1—15，矩形ABCD的周长为20㎝，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线，分别交AD、BC于E、F点，连接CE，则CDE的周长为（ ）.
A.5㎝ B.8㎝ C.9㎝ D.10㎝
（2007年山东潍坊市中考题）
8、如图4.1—16，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设⊿CDH、⊿GHE的面积分别为、，则（ ）.
A. B.
C. D.
（2007年四川绵阳市中考题）
9、如图4.1—17，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4㎝，矩形ABCD的周长为32㎝，求AE的长. （2007年辽宁省十二市中考题）
10、如图4.1—18，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过B点作BE∥CD，交AC的延长线于点E，连接BC.
（1）求证BE为⊙O的切线；
（2）如果CD=6，，求⊙O的直径. （2007年济宁市中考题）
第 1 页 共 4 页宝应县安宜镇沿河中学数学组 培优 专题复习：几何应用型
第5课 特殊四边形及圆的应用
【考点分析】
特殊四边形主要包括梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等，中考中有关考题大多以容易题或中档题为主，因此更多体现了对基础知识的考查。近年的中考题中也出现了一些探究题、折痕问题、图形变换问题等新题型。
圆是初中几何的重要学习内容，它具有很多主要性质，知识的前后联系密切，能考查学生综合应用数学知识的能力，是历年中考的重点。主要包括以下几种类型：圆的有关性质的考查，以基础题为主；圆与三角形的有关知识（全等、相似等）相联系的题型，此类试题要求通过圆的有关性质得出两个三角形对应角相等或对应边相等或成比例，进而证明三角形全等或相似；考查与圆有关的位置关系的掌握情况，这类问题考查的重点是相切关系的性质和判定，试题常由课本习题改编而成，解答时需要合理联想课本习题原型；圆与函数和方程相联系，这类题需综合函数、方程、几何的相关知识，融计算、证明于一体，具有较强的综合性；圆与特殊四边形相联系这类题主要是计算弧长、扇形面积、阴影部分面积等。
【典型例题】
例1已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长．
【解题分析】
本题有机的将等边三角形、正方形、圆融合在一道题中，解法一．如图2.1-1，将正方形BDEC上的等边△ABC向下平移得等边△ODE，其底边与DE重合．得出OD =OA=OE即可。解法二．如图2，作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．设⊙O的半径为r，可得方程．解得ｒ＝2．∴该圆的半径长为2
例2如图2.2-4，四边形ABCD中，AD不平行BC，现给出三个条件：①∠CAB=∠DBA，②AC=BD，③AD=BC.请你从上述三个条件中选择两个条件，使得加上这两个条件后能够推出ABCD是等腰梯形，并加以证明（只需证明一种情况）.
【解题分析】 第一种选择：①∠CAB=∠DBA，②AC=BD. 可以得出ABCD是等腰梯形；第二种选择：②AC=BD，③AD=BC.也可以得出ABCD是等腰梯形，如图2.2-4；第三种选择①∠CAB=∠DBA，③AD=BC不能推出ABCD是等腰梯形，反例见图2.2-5：
例3．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．
（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
【当堂反馈】
1．如图2.2-3，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q．求正方形的边长AB．
2．已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA.请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD为菱形”作为命题的结论.
⑴.写出一个真命题，并证明；
⑵.写出一个假命题，并举出一个反例说明
3．如图2.2-28是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面l上两个半径均为2米的半圆与半径为4米的⊙A构成．点B、C分别是两个半圆的圆心，⊙A分别与两个半圆相切于点E、F，BC长为8米．求EF的长．
【课后巩固】
1．如图2，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于 （　　）
A．　 B．　　 C． D．８　　
2．国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（ ）
A．红花、绿花种植面积一定相等； B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等； D．蓝花、黄花种植面积一定相等
3．如图2.2-20，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中为，长为8cm，长为12cm，则阴影部分的面积为（ ）
A． ；B．；C．；D．
4．如图2.2-21，把一张矩形纸片沿折叠后，点分别落在的位置上，交于点．已知，那么 ．
5．如图2.2-22，已知是⊙O的直径，弦，，，那么的值是 ．
6．如图2.2-23，从P点引⊙O的两切线PA、PA、PB，A、B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P＝60°，则图中阴影部分的面积为 。
7．如图2.2-25，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为弧BC上的一动点．⑴ 问添加一个什么条件后，能使得？请说明理由；
⑵ 若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；
⑶ 如图2.2-26，在⑴和⑵的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．
8．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（6，）、C（0，），有两点P、Q同时从A点出发分别作匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位，当这两个点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两点从A点出发运动了t秒。
（1）动点P与Q哪一点先到达自己的终点？此时t为何值？
（2）若⊙B的半径为1，t为何值时以PQ为半径的⊙P既与⊙B相切又与AD相切。
（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能求出t的值或t的取值范围，若不可能请说明理由。
图2.2-2
O
图 3
P
N
M
C
B
A
O
图 2
D
N
M
C
B
A
O
图 1
P
N
1 2 3 4 5 6 7 8
x
Q
P
4
3
2
1
C
D
y
B
A
图2.2-26
D
图2.2-25
·
E
C
O
A
B
图2.2-22
图2.2-23
图2.2-21
图2.2-19
图2.2-20
B
O
C
A
图2.2-18
图2.2-5
图2.2-4
B
图2.2-1
A
B
C
D
图2.2-4
A
B
C
D
图2.2-28
C
B
l
F
E
A
图2.2-3
M
C
B
A
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第8 课 函数的综合运用
【考点分析】
函数是体现数形结合思想的主要载体，是初中数学中的一个十分重要的内容. 函数的综合运用是中考的热点，它涉及的知识点多，分值重，思维量大，综合性强，解题的灵活性要求高，突出对能力的考查. 题型丰富多彩，内容都是常见的一次函数、反比例函数、二次函数，但呈现方式多样化，应引起高度重视. 解决此类问题要有耐心，在读懂题意的基础上，作一个准确的图帮助理解和预测，书写时要做到推理有据，一步一步地做，一分一分地拿。
【典型例题】
例1 例1 已知：如图3.2—1，动点P在函数的图象上运动，PM⊥轴于点M，PN⊥轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：交于点E、F，则AF·BE的值是（ ）.
A.4 B.2
C.1 D.
（2005年武汉市）
【解题分析】 由点P在函数的图像上，所以，即PM·PN=，
由于直线AB：的特殊性，可得∠OAB=∠OBA=450，我们就利用这一特性，得到：
，∴.
例2 （直线PA是一次函数的图象，直线PB是一次函数的图象，PA与轴交于Q点（如图3.2—3所示），若四边形PQOB的面积是，AB=2.
（1）用或表示A、B、Q的三点的坐标；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）求直线PA与PB的解析式. (2005年贵州省贵阳市中考题）
【解题分析】 第（1）小题根据直线的性质可以得到A、B、Q三点坐标；第（2）小题把直线与直线的交点问题转化为解方程组的问题，再根据已知面积关系运用化整体为部分的方法，计算出的值，从而求出直线PA与PB的解析式.
例3已知抛物线的部分图象如图3.2—5所示.
（1）求的取值范围；
（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线的解析式；
（3）若反比例函数的图象经过（2）中抛物线上点，试在图3.2—6所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较与的大小.
（2006年北京市海淀区中考题）
【解题分析】 这道题目考查了二次函数、反比例函数、一元二次方程的判别式等知识，是一道综合题. 第（1）小题，用一元二次方程的判别式求的取值范围；第（3）小题要通过作图，然后观察图象，即得的取值范围，再比较与的大小.
【当堂反馈】
已知两个关于的二次函数与，，
，当时，，且二次函数的图象的对称轴是直线.
（1）求的值；
（2）求函数、的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，函数的图象与的图象是否有交点？请说明理由.
（2006年广东省肇庆市中考题）
【课后巩固】
1、如图3.2—7，直线与双曲线交于、两点，则的值等于 . （2006年南通市中考题）
2、下表是满足二次函数的五组数据，是方程的一个解，则下列选项正确的是（ ）.
1.6 1.8 2.0 2.2 2.4
－0.80 －0.54 －0.20 0.22 0.72
A. B. C. D.
3、如图3.2—8，在直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点坐标A(3，0)，B(3，2)，对角线AC所在直线为，求直线对应的函数解析式. （2007年广东省中山市中考题）
4、如图3.2—9，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为1，点D在轴的正半轴上，且OD=OB，BD交OC于点E.
（1）求∠BEC的度数；
（2）求点E的坐标；
（3）求过B、O、D三点的抛物线的解析式.
（2007年深圳市中考题）
6、平面直角坐标系中有六个点、、、、、，其中有五个点在同一反比例函数图象上，不在这个反比例函数图象上的点
是（ ）.
A.点C B.点D C.点E D.点F
（2007年贵阳市中考题）
7、在平面直角坐标系中，是坐标原点，点在反比例函数的图象上，若，则= ；若，且此反比例函数满足：当时，随的增大而减小，则= . （2007年厦门市中考题）
8、如图3.2—10，在10×10的正方形网格中，已知点，，，，依次连结、、、四点得到四边形，则四边形的形状是 ，
在所给的10×10的网格纸中画出到AB和CD所在直线距离相等的所有网格点（网格线的交点）P，并写出P点的坐标 .
8、已知，如图3.2—11，为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙经过点，且与、轴分别交于点、，点的坐标为，的延长线与⊙的切线交于点.
（1）求的长和∠的度数；
（2）求过点的反比例函数的表达式.
（2007年济南市中考题）
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第6课 锐角三角函数的应用
【考点分析】
直角三角形边角关系的应用类型主要归结为：求解距离、测量物体高度、度量角度、计算面积等解直角三角形的数学问题.解题步骤通常为：画出示意图，把实际问题抽象成数学问题；找出直角三角形或通过作辅助线构造直角三角形；利用直角三角形边角关系求解.如果有多个直角三角形，则就需要分清求解的先后次序。
【典型例题】
例1 （2007十堰）某数学兴趣小组在学习了《锐角三角函数》以后，开展测量物体高度的实践活动。他们在河边的一点A测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶C的仰角为66°、塔底B的仰角为60°，已知铁塔的高度BC为20cm(如图2.3-1)，你能根据以上数据求出小山的高BD吗？若不能，请说明理由；若能，请求出小山的高BD(精确到0.1m)。
【解题分析】 分别在Rt△ABD和Rt△ACD中利用三角函数关系表示出AD的长，就可以获得关于BD的方程。用两种方法表示同一个量，这是获得相等关系的有效途径之一。
例2．如图2.3-4，某学校的教室A点东240米的O点处有一货场，经过O点沿北偏西60°方向有一条公路，假定运货车辆形成的噪音影响的范围在130米以内。
⑴ 通过计算说明这条公路上车辆的噪音必然对学校造成影响；
⑵ 为了消除噪音对学校的影响，计划在公路边修筑一段消音墙，请你计算消音墙的长度（只考虑声音的直线传播）。
【解题分析】
例3（2007潍坊）如图2.3-5，某居民小区内两楼之间的距离米，两楼的高都是20米，楼在楼正南，楼窗户朝南．楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离米，窗户高米．当正午时刻太阳光线与地面成角时，楼的影子是否影响楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由．
（参考数据：，，）
【解题分析】如图，设光线影响到楼的处，
作于，解Rt△FGE，得FG长即可
【当堂反馈】
1．（2007乐山）如图2.3-2，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端到水平地面的距离．
要求：
（1）画出测量示意图；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）根据（2）中的数据计算．
2．2007长沙）如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin27 ≈0.45，cos27 ≈0.89 ，tan27 ≈0.51，）
【课后巩固】
1．（2007湖州）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15 的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75 ，如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道___ _________m．（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15 ≈0.26，cos15 ≈0.97）
2．（2007茂名）如图2.3-10是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底 面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．　　B． C．　　 D．
3．（2007台州）一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在处测量时，测角器中的（量角器零度线和铅垂线的夹角，如图2.3-11）；然后她向小山走50米到达点处（点在同一直线上），这时测角器中的，那么小山的高度约为（　 ）
Ａ．68米 Ｂ．70米 Ｃ．121米 Ｄ．123米
（注：数据，供计算时选用）
4．（2007佛山）如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点的距离是 ．
5．（2007牡丹江）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点处，折痕交另一直角边于，交斜边于，则的值为 ．
6．（07成都）如图2.3-14，甲、乙两栋高楼的水平距离为90米，从甲楼顶部点测得乙楼顶部点的仰角为，测得乙楼底部点的俯角为，求甲、乙两栋高楼各有多高？（计算过程和结果都不取近似值）
7．（07湖北荆门）如图2.3-15，不透明圆锥体DEC放在水平面上，在A处灯光照射下形成影子．设BP过底面圆的圆心，已知圆锥体的高为m，底面半径为2m，BE=4m．
(1)求∠B的度数；
(2)若∠ACP=2∠B，求光源A距水平面的高度(答案用含根号的式子表示)．
8．（2007南宁）如图2.3-16所示，点P表示广场上的一盏照明灯．⑴请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）；⑵若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，）
B
图2.3-8
C
27°
B
4m
4m
A
4m
一楼
图2.3-2
B
A
图2.3-5
30m
图2.3-1
66°
60°
D
C
图2.3-15
图2.3-16
灯柱
Ｂ
Ｑ
P
M
A
Ｏ
4.5米
小丽
小敏
图2.3-14
图2.3-12
图2.3-11
图2.3-10
F
N
M
A
G
D
Ｅ
Ｃ
M
图2.3-4
O
60°
A
二楼
楼
B
楼
A
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第9 课 函数与其他代数知识的综合运用
【考点分析】
函数与其他代数知识的综合运用仍然是中考的热点之一，有的与方程、三角函数等知识相结合，有的是传统函数题的新探究，有的是函数与新的数学知识相结合. 这类题目多安排在最后几道，主要考查综合运用知识的能力，其难度比较深，运算量比较大，对式的恒等变形、用字母表示数的代数知识及数学思想方法等要求特别高。
【典型例题】
例1 如图3.3—1，已知直线与抛物线交于A、B两点.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求线段AB的垂直平分线的解析式.
(2006年长沙市中考题)
【解题分析】 本题以函数知识为框架，以方程知识为工具，将函数与方程揉和为一体. 第（1）小题把求直线与抛物线的交点问题转化为解方程组问题可求得A、B两点的坐标；第（2）小题把求点的坐标问题转化为三角形相似问题，由C、D两点坐标求出线段AB的垂直平分线的解析式.
例2 （有一个直角三角形ABC，∠A=900，∠B=600，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边BC在轴上，直角顶点A在反比例函数的图象上，求点C的坐标.
（2005年常州市中考题）
【解题分析】
例3已知抛物线.
（1）当时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）若代数式的值为正整数，求的值；
（3）当时，抛物线与轴的正半轴相交于点，当时，抛物线与轴的正半轴相交于点，若点在点的左边，试比较与的大小. （2007年大连市中考题）
【解题分析】 第（1）小题是把抛物线解析式的一般形式化为顶点式，必须熟练掌握，；第（2）小题求解必须明确，开口向下的抛物线，它的最高点是它的顶点，即它的最大函数值为，那么代数式的正整数值就只有1或2，再分别求出的值；第（3）小题对代数式的恒等变形要求很高，要谨慎分别用的代数式表示，用求差法就可以比较与的大小，但要注意题目条件“”有效合理利用.
【当堂反馈】
1．如图3.3—2，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A、B两点.
（1）求线段AB的长；
（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，
当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大？
最大面积是多少？ （2007年深圳市中考题）
2．如图3.3—3，已知反比例函数的图象经过点A，过点A作AB⊥轴于点B，且AOB的面积为.
（1）求和的值；
（2）若一次函数的图象经过点A，并且与轴相交于点C，求∠ACO的度数和︱AO︱：︱AC︱的值. （2006年成都市中考题）
【课后巩固】
1、如图3.3—4所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是 .
（2007年成都市中考题）
2、如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在轴、轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点G为矩形对角线的交点，经过点G的双曲线在第一象限的图象与BC相交于点M，则CM：MB= . （2007年大连市中考题）
3、设抛物线与直线的交点为A，与直线的交点为B. 过点A引与OB平行的直线，与抛物线交点为C，再经过点C引与OA平行的直线，与的交点为D. 用最简单的整数比来表示下列线段的比：OA：AC：CD.
4、已知点位于第二象限，并且，为整数，写出一个符合上述条件的点的坐标 . （2007年南京市中考题）
5、如图3.3—6，直线与双曲线交于点A、B，过点A作AM⊥轴，垂足为M，连接BM，若，则的值是（ ）.
A.1 B.
C.2 D.
（2007年威海市中考题）
6、二次函数都是常数），自变量与函数的对应值如下表：
－1 0 1 2 3
－2 1 2 1 －2
（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；
（2）一元二次方程都是常数）的两个根，的取值范围是下列选项中的哪一个？ .
①；②；
③；④. （2007年宁夏中考题）
7、若设关于的一次函数与，则称为函数
（其中）为此两个函数的生成函数.
（1）当时，求函数与的生成函数的值；
（2）若函数与的函数交点为P，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由. （2007年绍兴市中考题）
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第7课 方程与不等式的综合运用
【考点分析】
在历年中考试题中，代数综合题经久不衰，它常牵涉数与式、方程与不等式、函数与图象、应用与探索等多方面的内容．大家普遍认为它具有“综合性强、难度大、区分度高”等特点，这部分题目所涉及的知识点多，覆盖面大，有的题目对式的恒等变形与字母表示数的要求很高，对能力的考察较突出.
方程与不等式知识的综合运用，主要以方程的知识为主要背景，同时结合不等式和函数的有关知识，考查综合运用这几方面知识分析问题和解决问题的能力. 题目呈现方式比较直接，要求也很明确. 解答这类问题的关键是正确理解题目中已知和未知之间的关系，理顺已知和未知之间关系式，综合运用方程中根的性质、不等式的性质和函数图象有关性质建立关系式，从而达到解决问题的目的.
【典型例题】
例1.若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 .
【解题分析】 对于一元二次方程.（1）当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）当时，一元二次方程有两个相等的实数根；（3）当时，一元二次方程无实数根. （1）（2）合起来，当≥0时，一元二次方程有两个实数根. 上述结论，反过来也成立. 对于本题，，即.
例2已知，，，其中.
(1)求证：；
(2)试比较、、三者之间的大小关系，并说明理由.
【解题分析】 比较大小，通常约定：当时，则有；当时，则有；当时，则有. 上述约定，反过来也成立. 这就是我们采用“求差法”比较大小的根据. 值得注意的是，在式的恒等变形过程中，因式分解、配方、分类讨论是常用的也是重要的变形方法. 对于（1）的结果可分解为，因为，所以，即；（2）由（1）知，我们自然想到求的结果，的结果可以因式分解为，因为，所以，即；再求的结果，的结果可配方为，显然大于0，即. 故.
例3．已知关于的一元二次方程有两个实数根、，且满足，.
（1）试证明：；
（2）证明：.
【解题分析】 把已知方程进行整理是必要的环节. 原方程可以化为，题目中已知方程根的两个关系式：①，②，根据方程根的情况可得：③，又根据方程根与系数关系又可得：④，⑤. 这样就有了5个关系式，如何理顺并利用这5个关系式是解决本题的关键. 对于（1），利用①②⑤3个关系式可得，∵①，，∴，而，∴；
对于（2）利用②③④⑤可得，∵，∴，∴=，∴，即，.由此看来，恒等式在第（2）问的求解中起到关键作用.
【当堂反馈】
1．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. 且 D. 且
2．已知，其中.
（1）求证：；
（2）指出与哪个大？说明理由.
【课后巩固】
1、下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）.
A. B. C. D.
2、关于的方程的解是负数，则的取值范围是 .
3、已知，且，求的取值范围.
4、某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元或超过200元就可享受打折优惠. 一名同学为班级买奖品，准备买6本影集和若干支钢笔，已知影集每本15元，钢笔每支8元，问他至少买多少支钢笔才能打折？
5、如图3.1—1，直线交坐标轴与A、B两点，则不等式的解集是 .
6、如图3.1—2，已知函数和的图象交于点P（－2，－5），则根据图象可得不等式的解集是 .
7、给出三个命题：①点在抛物线上；②点能在抛物线上；③点能在抛物线上. 若①为真命题，则（ ）.
A.②③都是真命题 B. ②③都是假命题
C. ②是真命题，③是假命题 D. ②是假命题，③是真命题
8、已知、是一元二次方程的两个实根.
（1）求实数的取值范围；
（2）如果满足不等式，且为整数，求的值.
9、已知关于的一元二次方程有两个非零实数根.
（1）求的取值范围；
（2）两个非零实数根能否同时为正数或负数？若能，请求出相应的的取值范围；若不能，请说明理由.
10、某通讯器材商场，计划用60 000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为：甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元．
（1）若商场同时购进某两种不同型号手机共40部，并将60 000地恰好用完，请你帮助商场计算一下，如何购买．
（2）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60 000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号手机购买的数量．
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函数的综合运用
【考点分析】
利用一次函数，正比例函数、反比例函数和二次函数解决实际问题大致有以下几种类型：（1）根据实际问题判断相应的函数关系图象；（2）根据实际问题中给出的数据列相应的函数表达式；（3）根据函数的性质解决问题；（4）利用实际问题的函数图象解决实际问题，近年函数的应用题常与方程、不等式联系起来。
【典型例题】
例1 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP＝，AE
＝，则能反映与之间函数关系的大致图象是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解题分析】
例2 某公司专销产品A，第一批产品A上市后40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图10中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系：图11中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系。
（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间的关系式；
（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
【解题分析】 观察图像（1）可知0≤t≤30时，y是t的正比例函数，30≤t≤40时，y是t的一次函数正比例函数图象过（30，60），一次函数图象过（30，60），（40，0）可求得y与t的关系式。
例3)化工商店销售某种新型化工原料，其市场指导价是每千克160元（化工商店的售价还可以在市场指导价的基础上进行浮动），这种原料的进货价是市场指导价的75%．
（1）为了扩大销售量，化工商店决定适当调整价格，调整后的价格按八折销售，仍可获得实际售价的20%的利润．求化工商店调整价格后的标价是多少元？打折后的实际售价是多少元？
（2）化工商店为了解这种原料的月销售量y（千克）与实际售价x（元/千克）之间的关系，每个月调整一次实际售价，试销一段时间后，部门负责人把试销情况列成下表：
实际售价x（元/千克） … 150 160 168 180 …
月销售量y（千克） … 500 480 464 440 …
① 请你在所给的平面直角坐标系中，以实际售价x（元/千克）为横坐标，月销售量y（千克）为纵坐标描出各点，观察这些点的发展趋势，猜想y与x之间可能存在怎样的函数关系；
② 请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x之间的函数表达式，并验证你在①中的猜想；
③ 若化工商店某月按同一实际售价共卖出这种原料450千克，请你求出化工商店这个月销售这种原料的利润是多少元？
【解题分析】 （1）略（2）描点画图的得到这些点的趋势，猜想y与x之间函数关系是y=kx+b，将2个点坐标代入求出表达式，检验其他的值是否符合进行验证。
【当堂反馈】
1、甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程
为20km．他们行进的路程s（km）与甲出发后的时间t（h）之间
的函数图像如图5所示．根据图像信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲的速度是4 km/ h B．乙的速度是10 km/ h
C．乙比甲晚出发1 h D．甲比乙晚到B地3 h
2、在二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数y与
自变量x的部分对应值如下表：
x －2 －1 0 1 2 3 4
y 7 2 －1 －2 m 2 7
则m的值为__________．
3、如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数的图象交于A(1，4)、B(3，m)两点。
(1)求一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积。
【课后练习】
1、写出具有“图象的两个分支分别位于第二、四象限内”的反比例函数__ _（写出一个即可）．
2、已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．
3、图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)三角形的个数，则下列函数关系式中正确的是（ ）．
A、y＝4n－4 B、y＝4n C、y＝4n＋4 D、y＝n2
4、在梯形中，，，，点分别在线段上（点与点不重合），且，设，．
（1）求与的函数表达式；
（2）当为何值时，有最大值，最大值是多少？
4、已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（的实数）
其中正确的结论有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5、某工厂有甲、乙两个相邻的长方体的水池，甲池的水均匀地流入乙池；如图，是甲、乙两个水池水的深度y(米)与水流动时间x(小时)的函数关系的图象．
(1)分别求两个水池水的深度y(米)与水流动时间x(小时)的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
(2)水流动几小时，两个水池的水的深度相同？
6、如图，在锐角中，，于点，且，点为边上的任意一点，过点作，交于点．设的高为，以为折线将翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为（点关于的对称点落在所在的直线上）．
（1）分别求出当与时，与的函数关系式；
（2）当取何值时，的值最大？最大值是多少？
乙
甲
(6，4)
y
x
6
1
2
O
4
Ｂ
Ｃ
Ｆ
Ｄ
Ｅ
Ａ
y
x
B(3，m)
A(1，4)
O
10
t/h
s/km
O 1 2 3 4
20
甲
乙
第 1 页 共 4 页宝应县安宜镇沿河中学数学组 专题复习：方程与图形的综合运用
第12课 方程与图形的综合运用
【考点分析】
一元一次方程与一元一次方程组是初中有关方程的基础，在各地中考题中，多数以填空、选择和解答题的形式出现，大多考查一元一次方程及一次方程组的概念和解法。一元二次方程是二次函数的一种特殊 形式，两者有着密切的关系，实验区各地中考题主要以填充、选择、解答题、综合题的形式考查一元二次方程的概念、解法。方程和图形的综合应用题是中考的热门题，考查学生建模能力和分析问题和解决问题的能力，以贴进生活的题目为主。
【典型例题】
例1．下图是学校化学实验室用于放试管的木架，在每层长29 cm的木条上钻有6个圆孔，每个圆孔的直径均为2．5 cm．两端与圆孔边缘及任何相邻两孔边缘之间的距离都相等并设为x cm，则x为 ( )
A．2 B．2.15 C．2.33 D．2.36
【解题分析】 考查列一元一次方程并解方程7x+2.5×6=29,选择A .
例2 ．(2005年吉林)一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形。若两个正方形的面积和等于160cm2，求两个正方形的边长。
【解题分析】 这个题目主要考查在计算几何图形面积时方程思想的应用。
例3（2007四川眉山）黄金周长假推动了旅游经济的发展．下图是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图．
(1)根据图中提供的信息．请你写出两条结论；
(2)根据图中数据，求2002年至2004年的“十一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率(精确到0．1)
【解题分析】 这个是跟实际生活紧密结合的题目，首先要读懂图中各信息的含义，然后分析再联系生活总结出一些结论，另外还有运用所学的方程思想通过列出一元二次方程解决问题。
【当堂反馈】
如图，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格. 将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n－1）×（n－1）的正方形. 如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：
（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：
纸片的边长n 2 3 4 5 6
使用的纸片张数
（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.
①当n=2时，求S1∶S2的值；
②是否存在使得S1=S2的n值，若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由.
【课后练习】
1.（陕西省2004）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( )
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
2.（2005泰州）如下图，正方形是由k个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置的矩形，中间竖放若干个矩形，则k= .
3.（泸州市2006）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地. 根据图中数据，计算耕地的面积为（ ）
A．600m2　　　　　　　B．551m2
C．550 m 2　　 　　　D．500m2
4.（2005年常德）右边给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研
究，发现这三个数的和不可能是（ D ）
A．69 B．54
C．27 D．40
5.（07武汉市）为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0.01m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236)是 ．
6. （2007·湘西自治州）如图，平行四边形的周长是48，对角线与相交于点，的周长比的周长多6，若设，，则可用列方程组的方法求，的长，这个方程组
是： （　　）
7.（2006·南平市）在下图中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：
（1）观察图形，请填写下列表格：
正方形边长 1 3 5 7 … （奇数）
黑色小正方形个数 …
正方形边长 2 4 6 8 … （偶数）
黑色小正方形个数 …
（2）在边长为（）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数，使P2=5P1？若存在，请写出的值；若不存在，请说明理由。
8．（07重庆市）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：
（1）用含、的代数式表示地面总面积；
（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？
（两张方格纸供作草稿用）
……
1m
1m
30m
20m
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ｏ
50cm
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80cm
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