第一章 整式的乘除单元测试题（含解析）

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2023-2024学年数学七年级整式的乘除（北师大版）
单元测试 综合卷 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）的运算结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）很多人可能都知道蓝鲸是迄今发现的地球上最大的动物，却都不了解体积最小的动物，世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为 H39的原生动物，它的最长直径也不过才米． 其中数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）已知是完全平方式，则m的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．（本题3分）下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）若，则的值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．0
6．（本题3分）新型冠状病毒，因武汉病毒性肺炎病例而被发现，2020 年 1 月 12 日被世界卫生组织命名“”，冠状病毒是一个大型病毒家族，借助电子显微镜，我们可以看到这些病毒直径约为1250 纳米（1 纳米米），1250 纳米用科学记数法表示等于（ ） 米 ．
A． B． C． D．
7．（本题3分）如果整式恰好是一个整式的平方，那么m的值是（ ）
A． B． C． D．9
8．（本题3分）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）设是正整数，记，则是的一个多项式，下列结论正确的是（ ）
A．的最高次数项系数为1 B．的常数项系数为
C．是的一个三次多项式 D．的三次项系数是
10．（本题3分）关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，
交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”．
给出下列说法：①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”；
②若多项式，则的所有系数之和为；
③若多项式，则；
④若多项式，则．
则以上说法正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）多项式化简后不含项，则k的值为 ．
12．（本题3分）已知，，则= ．
13．（本题3分）若，且，，则 的值等于 ．
14．（本题3分）长方形的面积为，若它的一边长为，则它的周长为 ．
15．（本题3分）若的乘积中不含项，试求 ．
16．（本题3分）已知，，则 ．
17．（本题3分）已知，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（请填写序号）
18．（本题3分）若，则的值为 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）化简：
20．（本题6分）先化简，再求值：，其中，．
21．（本题8分）先化简，再求值：，其中满足．
22．（本题9分）若满足，求的值．
解：设，，则，，
∴．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足，求的值；
(2)，求；
(3)已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．
23．（本题9分）尝试解决下列有关幂的问题：
(1)若，求m的值；
(2)若，求值；
(3)若为正整数，且，求的值．
24．（本题12分）（1）计算：
（）先化简，再求值：，其中，．
25．（本题14分）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如，由图1可以得到：
(1)由图2可以得到：_____
(2)利用图2所得的等式解答下列问题：
①若实数a，b，c满足，，求的值；
②若实数x，y，z满足，，求的值．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则解题即可得到答案．
【详解】解：，
故选D．
2．C
【分析】本题考查科学记数法定义．根据题意利用科学记数法表示方法即可得到本题答案．
【详解】解：，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特点是求解的关键．根据完全平方公式的结构特点求出4的平方即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴．
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则、除法法则以及幂的乘方法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方等法则依次判断即可.
【详解】解：A、，故选项符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：A．
5．A
【分析】本题考查代数式求值，根据单项式乘以多项式和积的乘方将原式变形为是解决问题的关键．
【详解】解：原式，
当时，，
原式，
故选：A．
6．D
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】∵1 纳米米
∴1250 纳米用科学记数法表示等于 米．
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了完全平方式，熟练掌握两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可，注意正负两个．
【详解】∵是一个完全平方式，
∴，
解得：．
故选：C．
8．D
【分析】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方，求代数式的值，利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应值运算即可．解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【详解】解：∵，，
∴
．
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了数字类规律探究，完全平方公式，多项式的定义，根据，进而逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵，，，……，
∴，
A. 的最高次数项系数为，故该选项不正确，不符合题意；
B. 的常数项系数为，故该选项不正确，不符合题意；
C. 是的一个四次多项式，故该选项不正确，不符合题意；
D. 的三次项系数是，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
10．D
【分析】①理解兄弟多项式的含义，对多项式的三项系数进行互换共有6种情况，②③④取和，代入各式中即可得出代数式的值．
【详解】解：①多项式有三项系数，互相交换共有6种不同结果，所以共有6个不同的“兄弟多项式”，故①正确，符合题意；
②若多项式，且，则取时，，即的所有系数之和为，当为偶数时，系数之和为1，当为奇数时，系数之和为，故②正确，符合题意；
③若多项式，，取时，，取时，，两式相加得，解得，故③正确，符合题意；
④若多项式，，取时，，取时，，两式相减得，解得，故④正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查已知字母的值求代数式的值，解题关键在于对进行赋值，即对其取，得到不同的多项式进行加减运算进而求得结果．
11．
【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据整式的加减运算法则将原式化简，然后根据化简后不含项，可知的系数为0即可得出答案．
【详解】解：
多项式化简后不含项，
，解得：，
故答案为：．
12．3
【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：3．
13．15
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则∶同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据同底数幂的乘法法则求解．
【详解】解：当，时，
．
故答案为：15．
14．
【分析】此题考查了整式的除法以及整式的加减运算，直接利用整式的除法运算法则得出另一边长，再利用整式的混合运算法则计算得出答案．正确求出另一边长是解题关键．
【详解】解：∵长方形的面积是，它的一边长为，
∴另一边长为：，
则它的周长是：．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式展开，合并同类项，再根据二次三项式的乘积中不含项，可得进一步计算即可，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
∵的乘积中不含项，
∴，
解得，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了同底数幂的除法和幂的乘方运算的的逆运算，逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
17．①②③
【分析】本题主要考查了代数式的恒等变形及整体代入法求代数式的值，熟练掌握整体代入法是解题的关键．将两边同时除以x可得，由此可得①正确；将①式两边平方再化简可得②正确；由，将①代入其中可得③正确；给①式两边同乘以得，再将①式变形得，然后代入上式即可判断④错误．
【详解】由，得
，
∴，
故①正确；
∵，
，
，
，
故②正确；
∵，
∴，
故③正确；
由，得，
两边同乘以，得，
又由，得，
，
，
，
，
故④错误．
综上，正确的有①②③，
故答案为：①②③．
18．9
【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式．熟练掌握等量代换，完全平方公式是解题的关键．
由题意知，，然后代值求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴原式，
故答案为：9．
19．
【分析】本题考查了整式的混合运算及化简以及完全平方公式和平方差公式，熟练掌握整式的乘除法及加减运算法则是解题的关键．直接利用整式的混合运算法则化简．
【详解】原式
．
20．，．
【分析】本题考查的知识点是整式的四则混合运算、合并同类项、去括号、整式的加减中的化简求值，解题关键是熟练掌握整式的四则混合运算法则．
先去括号，在合并同类项，根据整式的四则混合运算即可化简，将、的值分别代入即可求值．
【详解】解：原式，
，
将，代入，
原式．
21．，
【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键；由题意可先对整式进行化简，然后再整体代值求解即可
【详解】解：原式
；
∵，
∴，
∴原式．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形求值，平方差公式；
（1）设，，根据题意可得，即可得出，则可得出，代入计算即可得出答案；
（2）设，，根据完全平方公式变形，即可求解．
（3）根据题意可得，，，长方形的面积，设，，可得，则，即代入计算即可．
【详解】（1）解：设，，
则，，
；
（2）设，，
则，，
；
（3）根据题意可得，
，，
设，
则，
，
．
阴影部分的面积为．
23．(1)15
(2)11
(3)512
【分析】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘法以及积的乘方，掌握同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘、除法法则，幂的乘方进行计算即可；
（2）根据幂的乘法法则进行计算即可；
（3）根据幂的乘方法则进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴
．
24．（）；（），
【分析】（）根据乘方的运算法则、零次幂，负整数指数幂及绝对值法则进行计算即可；
（）根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式进行化简，再代入求值．
【详解】解：（）原式
（）原式
，
【点睛】本题考查乘方的运算法则、零次幂、负整数指数幂、整式的乘除法运算，熟练掌握乘方运算法则及完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
25．(1)
(2)①；②
【分析】（1）本题考查了完全平方公式的几何背景，通过不同的方法计算图2中几何图形的面积，即通过大正方形面积等于六个小正方形面积之和建立等式，即可解题．
（2）本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法和除法运算，以及因式分解的运用，先将用幂的形式表示出来，再结合（1）的方法即可求解．
【详解】（1）解：由图知，．
（2）解：①由图2得，
∵，，
，，
∴．
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
又，
∴，
∴．
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