浙江省台州市仙居县白塔中学2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
1．（2023九上·仙居开学考）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·仙居开学考）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2023九上·仙居开学考）一元二次方程的解为（ ）
A． B．，
C．， D．
4．（2023九上·仙居开学考）将方程化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·仙居开学考）方程的左边配成完全平方后所得方程为．（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·仙居开学考）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·仙居开学考）已知，则代数式的值为．（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·仙居开学考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·仙居开学考）电影《流浪地球》讲述了太阳即将毁灭，毁灭之后的太阳系已经不适合人类生存，而面对绝境，人类将开启“流浪地球”计划，试图带着地球一起逃离太阳系，寻找人类新家园的故事．一经上映就获得追捧，第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023九上·仙居开学考）如图是一张矩形纸片，点，分别在边，上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处把沿直线折叠，使点落在线段上的点处，，，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023九上·仙居开学考）方程 的根是 .
12．（2023九上·仙居开学考）若是方程的一个根，则 ．
13．（2023九上·仙居开学考）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程 的解，则这个三角形的周长是 ．
14．（2023九上·仙居开学考）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .
15．（2023九上·仙居开学考）如图，学校准备修建一个面积为的矩形花园它的一边靠墙，其余三边利用长的围栏，已知墙长，则围成矩形的长为 ．
16．（2023九上·仙居开学考）代数学中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小唐按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数解为 ．
17．（2023九上·仙居开学考）用适当方法解方程
（1）；
（2）
18．（2023九上·仙居开学考）已知关于的方程．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根
（2）若该方程有一个根为，求的值．
19．（2023九上·仙居开学考）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
20．（2023九上·仙居开学考）已知关于x的一元二次方程 有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为 ， ，且 ，求 的取值范围．
21．（2023九上·仙居开学考）阅读材料：
由多项式乘法得，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．
示例：
分解因式：．
（1）尝试：分解因式
（2）应用：请用上述方法解方程．
（3）拓展：用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则的值可以为 ．
22．（2023九上·仙居开学考）“杭州亚运三人制篮球”赛将于月月日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服月份平均每天售出件，每件盈利元为了扩大销售、增加盈利，月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
（1）若降价元，求平均每天的销售数量；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
23．（2023九上·仙居开学考）【问题提出】在2020年抗击新冠肺炎的斗争中，某中学响应政府“停课不停学”的号召进行线上学习，七年级一班的全体同学在自主完成学习任务的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，彼此关怀，互相勉励，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班50名同学共通过多少次电话呢？
【模型构建】用点M1、M2、M3、…、M50分别表示第1、2、3、…、50名同学，把该班级人数n与视频通话次数S之间的关系用如图模型表示：
（1）【问题解决】
填写如图中第5个图中S的值为 ．
（2）通过探索发现，通电话次数S与该班级人数n之间的关系式为 ，则当n＝50时，对应的S＝ ．
（3）若该班全体女生相互之间共通话190次，求该班共有多少名女生？
（4）【问题拓展】
若该班数学兴趣小组的同学，每两位同学之间互发一条微信问候，小明统计全组共发送微信110条，则该班数学兴趣小组的人数是 人．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程得标准形式，进行对比，知道选项A符合要求，对于B选项：为一元一次方程；对于C选项：为二元一次方程；对于D选项为一元三次方程.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程得标准形式进行逐项对比即可求解.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴1+m=0，
∴m=-1，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的根结合题意即可求解。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：运用因式分解法解方程：，原方程可变为：即.
故答案为：B.
【分析】运用因式分解法解方程提取公因式将原方程可变为：，然后即可求解.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 将方程 化为一元二次方程得一般形式有：，可得一次项系数为：.
故答案为：C.
【分析】将原方程化为一元二次方程的一般形式，其一次项系数为b，对应求解即可.
5．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 方程 ，移项得：，两边同时加上一次项系数的一半的平方即，得：，即，即.
故答案为：D.，
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤：（1）移项：；（2）将二次项系数化1，本题系数为1，这个步骤可以省略；（3）添加常数：即方程两边同时加上一次项系数的一半的平方即，；（4）写成完全平方形式，观察右边常数是否为非负数，若为负数，则方程无解，若为正数，则直接开方.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】A. 的根的判别式 ，方程有两个不相等的实数根，此项不符题意
B. 的根的判别式 ，方程有两个不相等的实数根，此项不符题意
C. 的根的判别式 ，方程没有实数根，此项符合题意
D. 的根的判别式 ，方程有两个不相等的实数根，此项不符题意
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程的根的判别式 逐项分析即可.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据方程：可得：，代数式可化为：，然后将整体代入得：.
故答案为：C.
【分析】运用整体代入的思想，先将方程变为：，再将代数式变为，然后将等式代入即可求解.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设这种植物每个支干长出 个小分支，
依题意，得： ，
解得： （舍去）， ．
故答案为：C．
【分析】根据题意，可列出一元二次方程，解出结果即可。
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意得：．
故答案为：C．
【分析】根据“ 第三天票房收入达到了亿元 ”直接列出方程即可。
10．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设因为 把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处 ，由折叠关系可得：，因为，则，，因为 把沿直线折叠，使点落在线段上的点处 ，所以由折叠关系有：，
又因为四边形为矩形，所以：，则在中，由勾股定理得： ，即，解得：（舍去）；故，所以矩形的面积：.
故答案为：A.
【分析】首先设，由折叠的关系可以得到：，，还可计算出：
，然后在中运用勾股定理解出x，然后根据矩形的面积公式进行求解即可.
11．【答案】 ，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴ ，
【分析】用直接开平方法解方程.
12．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把代入原方程可得：，解得：.
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根的定义，把代入方程即可求解.
13．【答案】17
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：解方程 得x1=2，x2=6，
当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去；
当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17.
故答案为：17．
【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案．
14．【答案】k＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△ ，
∴ .
故答案为：k＜1.
【分析】由于一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的长为，则宽为，因为矩形的面积为，则可列方程：，方程可化为：即，解得：，因为故矩形的长为
故答案为：.
【分析】设长，，则宽为，然后根据面积为的矩形列出方程即可求解.
16．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：，因为 阴影部分的面积为 ，所以，设，解得：，故同理 先构造一个面积为的正方形 ，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形
，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为
故答案为：4.
【分析】根据题意得，然后计算出增加矩形的边长3，先构造一个面积为的正方形 ，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为在根据题意进行计算即可即可求解.
17．【答案】（1）解：，
移项得，
配方得，即，
，
，；
（2）解：，
移项得，
，
或，
，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）经观察运用配方法解原方程较为合适，然后根据配方法解一元二次方程的步骤：（1）移项：；（2）将二次项系数化1，本题系数为1，这个步骤可以省略；（3）添加常数：即方程两边同时加上一次项系数的一半的平方；（4）写成完全平方形式，观察右边常数是否为非负数，若为负数，则方程无解，若为正数，则直接开方；
（2）经观察原方程含有公因式：，故考虑运用因式分解法解原方程，移项后，提取公因式即可求解.
18．【答案】（1）解：证明：，
方程总有两个不相等的实数根，
（2）解：把代入原方程，得，
即，
，，，
，
解得，．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的判别式：，原方程有两个不相等的实数根，进行求解即可；
（2）把方程得根代入原方程即可求出答案.
19．【答案】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
依题意，得，
即，
解方程，得，（舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了15人，
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】 设每轮传染中平均每人传染了x人， 则第一轮传染x人，第二轮传染x(1+x)人，根据“ 经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒 ”列出方程并解之即可.
20．【答案】（1）解： 一元二次方程有实数根，
，
解得： ；
（2）解： ， 是方程 的两个实数根，
， ，
∵ ，
，解得： ，
由（1）可得： ，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，列出关于m的不等式，即可求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，列出关系m的不等式，即可求解．
21．【答案】（1）2；4
（2）解：，
．
则或．
，．
（3）15、6、0、-6、-15
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1），故答案为：2；4.
（3），当分解成时，当分解成时，当分解成时，当分解成时，当分解成时，故综上所述k的值为15、6、0、-6、-15.
【分析】【分析】（1）根据材料及示例运用十字相乘法即可求解；
（2）运用十字相乘法即可求解即可；
（3）根据再结合十字交叉法进行因式分级即可求解.
22．【答案】（1）解：平均每天的销售数量为：件，
答：平均每天的销售数量件；
（2）解：设每件商品降价元，
根据题意，得：，
解得：，，
答：当每件商品降价元或元时，该商店每天销售利润为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意知 销售单价每降低元，平均每天可多售出件，则降价元 ，多售出50件，再加原来的100件即可；
（2）设每件商品降价元，则多售出10x 件，每件的利润为元，再根据 商店每天销售利润为元 列出一元二次方程即可求解.
23．【答案】（1）15
（2）；1225
（3）解：设该班共有女生x名，根据题意，
得：=190，
解得x1＝20，x2＝-19（不符合题意，舍去），
答：该班共有20名女生．
（4）11
【知识点】一元二次方程的其他应用；探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）根据图形可知S＝15，
故答案为：15．
（2）通过几个图形，可以得出规律：，
∴当n＝50时，代入得S＝1225．
故答案为：，1225．
（4）设该班数学兴趣小组有m人，根据题意，
得m(m-1)＝110，
解方程得m1＝11，m2＝-10（不符合题意，舍去），
则该班数学兴趣小组的人数是11人．
故答案为：11．
【分析】（1）根据图象直接求解即可；
（2）利用（1）的计算结果，可得规律，再求解即可；
（3）设该班共有女生x名，根据题意列出方程=190，再求解即可；
（4）设该班数学兴趣小组有m人，根据题意列出方程m(m-1)＝110，再求解即可。
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1．（2023九上·仙居开学考）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程得标准形式，进行对比，知道选项A符合要求，对于B选项：为一元一次方程；对于C选项：为二元一次方程；对于D选项为一元三次方程.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程得标准形式进行逐项对比即可求解.
2．（2023九上·仙居开学考）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴1+m=0，
∴m=-1，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的根结合题意即可求解。
3．（2023九上·仙居开学考）一元二次方程的解为（ ）
A． B．，
C．， D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：运用因式分解法解方程：，原方程可变为：即.
故答案为：B.
【分析】运用因式分解法解方程提取公因式将原方程可变为：，然后即可求解.
4．（2023九上·仙居开学考）将方程化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 将方程 化为一元二次方程得一般形式有：，可得一次项系数为：.
故答案为：C.
【分析】将原方程化为一元二次方程的一般形式，其一次项系数为b，对应求解即可.
5．（2023九上·仙居开学考）方程的左边配成完全平方后所得方程为．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 方程 ，移项得：，两边同时加上一次项系数的一半的平方即，得：，即，即.
故答案为：D.，
【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤：（1）移项：；（2）将二次项系数化1，本题系数为1，这个步骤可以省略；（3）添加常数：即方程两边同时加上一次项系数的一半的平方即，；（4）写成完全平方形式，观察右边常数是否为非负数，若为负数，则方程无解，若为正数，则直接开方.
6．（2023九上·仙居开学考）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】A. 的根的判别式 ，方程有两个不相等的实数根，此项不符题意
B. 的根的判别式 ，方程有两个不相等的实数根，此项不符题意
C. 的根的判别式 ，方程没有实数根，此项符合题意
D. 的根的判别式 ，方程有两个不相等的实数根，此项不符题意
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程的根的判别式 逐项分析即可.
7．（2023九上·仙居开学考）已知，则代数式的值为．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据方程：可得：，代数式可化为：，然后将整体代入得：.
故答案为：C.
【分析】运用整体代入的思想，先将方程变为：，再将代数式变为，然后将等式代入即可求解.
8．（2023九上·仙居开学考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设这种植物每个支干长出 个小分支，
依题意，得： ，
解得： （舍去）， ．
故答案为：C．
【分析】根据题意，可列出一元二次方程，解出结果即可。
9．（2023九上·仙居开学考）电影《流浪地球》讲述了太阳即将毁灭，毁灭之后的太阳系已经不适合人类生存，而面对绝境，人类将开启“流浪地球”计划，试图带着地球一起逃离太阳系，寻找人类新家园的故事．一经上映就获得追捧，第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意得：．
故答案为：C．
【分析】根据“ 第三天票房收入达到了亿元 ”直接列出方程即可。
10．（2023九上·仙居开学考）如图是一张矩形纸片，点，分别在边，上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处把沿直线折叠，使点落在线段上的点处，，，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理；勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设因为 把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处 ，由折叠关系可得：，因为，则，，因为 把沿直线折叠，使点落在线段上的点处 ，所以由折叠关系有：，
又因为四边形为矩形，所以：，则在中，由勾股定理得： ，即，解得：（舍去）；故，所以矩形的面积：.
故答案为：A.
【分析】首先设，由折叠的关系可以得到：，，还可计算出：
，然后在中运用勾股定理解出x，然后根据矩形的面积公式进行求解即可.
11．（2023九上·仙居开学考）方程 的根是 .
【答案】 ，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴ ，
【分析】用直接开平方法解方程.
12．（2023九上·仙居开学考）若是方程的一个根，则 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把代入原方程可得：，解得：.
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程根的定义，把代入方程即可求解.
13．（2023九上·仙居开学考）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程 的解，则这个三角形的周长是 ．
【答案】17
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：解方程 得x1=2，x2=6，
当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去；
当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17.
故答案为：17．
【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案．
14．（2023九上·仙居开学考）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .
【答案】k＜1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△ ，
∴ .
故答案为：k＜1.
【分析】由于一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可.
15．（2023九上·仙居开学考）如图，学校准备修建一个面积为的矩形花园它的一边靠墙，其余三边利用长的围栏，已知墙长，则围成矩形的长为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的长为，则宽为，因为矩形的面积为，则可列方程：，方程可化为：即，解得：，因为故矩形的长为
故答案为：.
【分析】设长，，则宽为，然后根据面积为的矩形列出方程即可求解.
16．（2023九上·仙居开学考）代数学中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为”小唐按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数解为 ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：，因为 阴影部分的面积为 ，所以，设，解得：，故同理 先构造一个面积为的正方形 ，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形
，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为
故答案为：4.
【分析】根据题意得，然后计算出增加矩形的边长3，先构造一个面积为的正方形 ，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为在根据题意进行计算即可即可求解.
17．（2023九上·仙居开学考）用适当方法解方程
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，
移项得，
配方得，即，
，
，；
（2）解：，
移项得，
，
或，
，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）经观察运用配方法解原方程较为合适，然后根据配方法解一元二次方程的步骤：（1）移项：；（2）将二次项系数化1，本题系数为1，这个步骤可以省略；（3）添加常数：即方程两边同时加上一次项系数的一半的平方；（4）写成完全平方形式，观察右边常数是否为非负数，若为负数，则方程无解，若为正数，则直接开方；
（2）经观察原方程含有公因式：，故考虑运用因式分解法解原方程，移项后，提取公因式即可求解.
18．（2023九上·仙居开学考）已知关于的方程．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根
（2）若该方程有一个根为，求的值．
【答案】（1）解：证明：，
方程总有两个不相等的实数根，
（2）解：把代入原方程，得，
即，
，，，
，
解得，．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的判别式：，原方程有两个不相等的实数根，进行求解即可；
（2）把方程得根代入原方程即可求出答案.
19．（2023九上·仙居开学考）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
【答案】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
依题意，得，
即，
解方程，得，（舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了15人，
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】 设每轮传染中平均每人传染了x人， 则第一轮传染x人，第二轮传染x(1+x)人，根据“ 经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒 ”列出方程并解之即可.
20．（2023九上·仙居开学考）已知关于x的一元二次方程 有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为 ， ，且 ，求 的取值范围．
【答案】（1）解： 一元二次方程有实数根，
，
解得： ；
（2）解： ， 是方程 的两个实数根，
， ，
∵ ，
，解得： ，
由（1）可得： ，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，列出关于m的不等式，即可求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，列出关系m的不等式，即可求解．
21．（2023九上·仙居开学考）阅读材料：
由多项式乘法得，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．
示例：
分解因式：．
（1）尝试：分解因式
（2）应用：请用上述方法解方程．
（3）拓展：用因式分解法解方程时，得到的两根均为整数，则的值可以为 ．
【答案】（1）2；4
（2）解：，
．
则或．
，．
（3）15、6、0、-6、-15
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1），故答案为：2；4.
（3），当分解成时，当分解成时，当分解成时，当分解成时，当分解成时，故综上所述k的值为15、6、0、-6、-15.
【分析】【分析】（1）根据材料及示例运用十字相乘法即可求解；
（2）运用十字相乘法即可求解即可；
（3）根据再结合十字交叉法进行因式分级即可求解.
22．（2023九上·仙居开学考）“杭州亚运三人制篮球”赛将于月月日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服月份平均每天售出件，每件盈利元为了扩大销售、增加盈利，月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
（1）若降价元，求平均每天的销售数量；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
【答案】（1）解：平均每天的销售数量为：件，
答：平均每天的销售数量件；
（2）解：设每件商品降价元，
根据题意，得：，
解得：，，
答：当每件商品降价元或元时，该商店每天销售利润为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意知 销售单价每降低元，平均每天可多售出件，则降价元 ，多售出50件，再加原来的100件即可；
（2）设每件商品降价元，则多售出10x 件，每件的利润为元，再根据 商店每天销售利润为元 列出一元二次方程即可求解.
23．（2023九上·仙居开学考）【问题提出】在2020年抗击新冠肺炎的斗争中，某中学响应政府“停课不停学”的号召进行线上学习，七年级一班的全体同学在自主完成学习任务的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，彼此关怀，互相勉励，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班50名同学共通过多少次电话呢？
【模型构建】用点M1、M2、M3、…、M50分别表示第1、2、3、…、50名同学，把该班级人数n与视频通话次数S之间的关系用如图模型表示：
（1）【问题解决】
填写如图中第5个图中S的值为 ．
（2）通过探索发现，通电话次数S与该班级人数n之间的关系式为 ，则当n＝50时，对应的S＝ ．
（3）若该班全体女生相互之间共通话190次，求该班共有多少名女生？
（4）【问题拓展】
若该班数学兴趣小组的同学，每两位同学之间互发一条微信问候，小明统计全组共发送微信110条，则该班数学兴趣小组的人数是 人．
【答案】（1）15
（2）；1225
（3）解：设该班共有女生x名，根据题意，
得：=190，
解得x1＝20，x2＝-19（不符合题意，舍去），
答：该班共有20名女生．
（4）11
【知识点】一元二次方程的其他应用；探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）根据图形可知S＝15，
故答案为：15．
（2）通过几个图形，可以得出规律：，
∴当n＝50时，代入得S＝1225．
故答案为：，1225．
（4）设该班数学兴趣小组有m人，根据题意，
得m(m-1)＝110，
解方程得m1＝11，m2＝-10（不符合题意，舍去），
则该班数学兴趣小组的人数是11人．
故答案为：11．
【分析】（1）根据图象直接求解即可；
（2）利用（1）的计算结果，可得规律，再求解即可；
（3）设该班共有女生x名，根据题意列出方程=190，再求解即可；
（4）设该班数学兴趣小组有m人，根据题意列出方程m(m-1)＝110，再求解即可。
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