4.1正弦和余弦
第1课时 正弦的概念和正弦值的求法
教学目标
【知识与技能】
1.使学生理解锐角正弦的定义.
2.会求直三角形中锐角的正弦值.
3.会用计算器计算任意一个锐角的正弦值.
【过程与方法】
使学生经历探索正弦定义的过程.逐步培养学生观察、比较、分析、归纳的能力.
【情感态度】
通过探索、发现,培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
【教学重点】
根据定义求锐角的正弦值.
【教学难点】
探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程.
教学过程
一、情景导入，初步认知
1.下图是上海东方明珠电视塔的远景图，你能想办法求出旗杆的高度吗？
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2.学习了本章内容你就能简捷地解决这类问 ( http: / / www.21cnjy.com )题，本章将介绍锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”.
【教学说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望，有利于引导学生进行数学思考.
二、思考探究，获取新知
1.画一个直角三角形，其中一个锐角为65°,量出65°角的对边长度和斜边长度，计算：
65°角的对边/斜边=_______=_______.
（1）与同桌和邻桌的同学交流，看看你们计算出的比值是否相等.
（2）根据计算的结果，你能得到什么结论？
（3）这个结论是正确的吗？
（4）若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？
2.如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α、∠C=∠F=90°,则BC/AB=EF/DE成立吗？请说出你的证明过程.
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通过我们的证明，这就说明，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
【归纳结论】在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦.记作sinα.
3.计算sin30°、sin45°、sin60°的值.
【教学说明】引导学生利用“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”和“勾股定理”进行计算.
【归纳结论】sin30°=1/2；sin45°=/2；sin60°=/2.
4.我们已经知道了三个特殊角（30°、45°、60°）的正弦值，而对于一般锐角α的正弦值，我们应该如何来计算呢？
5.利用计算器计算sin50°的值.
在计算器上依次按键sin 5 0，则屏幕上显示的就是sin50°的值，
6.如果已知正弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数.
例如：已知sinα=0.7071，求α的度数.我们可以依次按键2ndF sin 0 . 7 0 7 1，则屏幕上显示的就是α的度数.
【教学说明】学生先了解计算器各按键的功能，为利用计算器正确求锐角三角函数值打下基础.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P110例1、P113例2.
2.在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于()
A.6 B.2 C.3 D．26
【答案】 A
3.计算sin36°=_____. (保留四个有效数字)．
【答案】 0.5878
4.若sinA=0.1234sinB=0.2135,则A_____B（填＜、＞、＝）
解析：根据sin30°=1/2,sin45°=/2,sin60°=/2，我们可以发现锐角的度数越大，正弦值越大.
【答案】 ＜
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
(1)求∠A的正弦sinA.
(2)求∠B的正弦sinB.
分析：先利用勾股定理算出AB的长，再利用正弦的计算方法进行计算.
解：(1) ∠A的对边BC=3，斜边AB=5 ， 于是sinA= 3/5.
(2)∠B的对边是AC， 因此sinB= AC/AB=4/5.
6.在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的正弦值（）
A.不变化 B.扩大3倍
C.缩小1/3 D.缩小3倍
分析：因为各边值都扩大3倍，所以锐角A的对边与斜边的比值不变.
【答案】 A
7.已知：在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=2，求BC的长．
分析：作△ABC的一条高，把原三角形转化成直角三角形，并注意保留原三角形中的特殊角．
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8.求sin63°52′41″的值.（精确到0.0001）
解：先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
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所以sin63°52′41″≈0.8979.
【教学说明】收集学生在课堂上学习的时候出现 ( http: / / www.21cnjy.com )的易错点和难点，引导学生查找、 分析原因，并且有针对性补充练习，促进提高，由基础慢慢进入到提高，照顾每个层次的学生的能力，提高学生学习数学的积极性和主动性.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题4.1”中第3、4 题.
教学反思
本节课重难点就是对比值的理解，可以从以下几 ( http: / / www.21cnjy.com )方面着手研究：（1）讨论角的任意性（从特殊到一般），（2）运用相似三角形性质，让学生领悟到：在直角三角形中，对于固定角，无论直角三角形大小怎么样改变，都影响不到其对边与斜边的比值.第2课时 余弦的概念和余弦值的求法
教学目标
【知识与技能】
1.使学生理解锐角余弦的定义.
2.会求直三角形中锐角的余弦值.
3.会用计算器求一般锐角的余弦值.
【过程与方法】
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
【情感态度】
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
【教学重点】
求直三角形中锐角的余弦值.
【教学难点】
求直三角形中锐角的余弦值.
教学过程
一、情景导入，初步认知
1.什么叫作正弦？
2.sin30°、sin45°、sin60°的值分别是多少？
【教学说明】对上节课的内容进行复习.
二、思考探究，获取新知
1.如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α,∠C=∠F=90°,则成立吗？为什么？
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由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
【归纳结论】在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦.记作cosα.即cosα=角α的邻边/斜边.
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有cosα=sin(90°-α),从而有：
sinα=cos(90°-α).
2.计算cos30°，cos45°，cos60°的值.
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3.我们已经知道了三个特殊角（30°、45°、60°）的余弦值，而对于一般锐角α的余弦值，我们可以用计算器来计算.
例如，求cos50°角的余弦值，我们可以在计算器上依次按键，则屏幕上显示的就是cos50°的值.
4.如果已知余弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数.
例如：已知cosα=0.8661，求α的度数.我们可以依次按键，则屏幕上显示的就是α的度数.
【教学说明】学生先了解计算器各按键的功能，为利用计算器正确求锐角三角函数值打下了基础.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P115例4.
2.下列说法正确的个数有( )
(1)对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1
(2)对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2
(3)如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2
(4)对于任意锐角α，都有sinα=cos(90°-α)
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】 C
3.在△ABC中，∠C=90°，若2AC=AB，求∠A的度数及cosB的值．
分析:利用三角形中边的比值关系，结合三角函数的定义解决问题，注意对特殊角三角函数值的逆向应用．
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4.计算：
（1）｜-｜-2sin60°+sin45°·cos45°;
(2)cos260°+cos245°+sin30°·sin45°.
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5.用计算器求值(保留四位小数)：
(1)sin38°19′；(2)cos78°43′16″．
解：（1）按MODE，出现：DEG，按sin，38，“．”，19，“．”，=，显示：0.620007287,则结果为0.6200.
（2）按MODE，出现：DEG，按cos，78，“．”，43，“．”，16，“．”=，显示：0.195584815,则结果为0.1956.
6.若sin40°=cosα，求α的度数．
解：∵sin40°=cosα，
∴α=90°-40°=50°.
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3/5，求BC/AB的值.
解：∵sin2B+cos2B=1，∠B为Rt△ABC的内角，
∴cosB= =4/5，
即cosB=BC/AB=4/5．
8.正方形网格中，∠AOB如图放置，求cos∠AOB的值.
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解：如图，在OA上取一点E,过点E作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．
【教学说明】引导学生分析问题，作出辅助线，再写出解答过程.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题4.1”中第6、7、8题.
教学反思
教学中，我一直比较关注学生的情感态度， ( http: / / www.21cnjy.com )对那些积极动脑，热情参与的同学都给予鼓励和表扬，促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态，从而保证施教活动的有效性.在学生“心求通而未得，口欲言而不能”的状态下，适时导出概念，自然而合理，符合新课标的理念.若干年后，或许对余弦概念的表达式已经彻底忘记，但对探索概念的过程，创新意识，数学思想，将深深铭刻在他们的脑海中.第3课时 正弦和余弦
教学目标
【知识与技能】
1.进一步认识正弦和余弦；
2.正弦和余弦的综合应用.
【过程与方法】
通过合作交流，能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算.
【情感态度】
经过探索，引导、培养学生观察，分析、发现问题的能力.
【教学重点】
直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用.
【教学难点】
直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用.
教学过程
一、情景导入，初步认知
1.正弦和余弦的定义是什么？
2.正弦和余弦之间有什么关系？
【教学说明】复习有关知识，为本节课的教学作准备.
二、思考探究，获取新知
一个小孩荡秋千，秋千链子的长 ( http: / / www.21cnjy.com )度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
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分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
解：根据题意(如图)
可知，∠BOD=60°，
OB=OA＝OD=2.5 m，
∠AOD＝1/2×60°＝30°，
∴OC=OD·cos30°
=2.5×≈2.165(m).
∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).
所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m.
【教学说明】通过例题的教学，使学生掌握正弦、余弦在具体问题中的应用.
三、运用新知，深化理解
1.求下列式子的值.
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2.在Rt△ABC中, ∠C=90°,BC=6, sinA=3/5,求cosA.
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3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝12/13，AC＝10，AB等于多少 sinB呢
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4.已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)
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解：在Rt△ABC中，
sinA=BC/AB，
在Rt△BCD中，
cosB=BD/BC
根据上题中的结论，可知：
在Rt△ABC中,sinA=cosB，
BC/AB=BD/BC
即：BC2＝AB·BD.
【教学说明】使学生掌握正弦、余弦的综合应用.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题4.1”中第9、10 题.
教学反思
传统教学存在弊端，同时也具有不合理的元 ( http: / / www.21cnjy.com )素，因此，我的课堂教学特别强调通过情景引导，使学生学会应用知识，通过探究，将学生引向知识深处，在整个过程中体现了教师的主导作用，学生的主体地位.在教学过程中，如何保证每位学生都得到发展，如何给予每个学生以发展平台，这是每位教师在课堂教学中必须做到的.
