绝密★考试结束前
2023学年第二学期浙南名校联盟返校联考
高二数学学科试题
考生须知：
1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级 姓名 考场号 座位号及准考证号.
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 已知抛物线的焦点在直线上，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据标准方程可得焦点坐标，代入直线可得.
【详解】易知抛物线的焦点坐标为，
代入直线方程可得，解得.
故选：B
2. 已知向量，则在上的投影为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出向量，夹角的余弦值，再由投影定义即可求得结果.
【详解】易知，
所以在上的投影为.
故选：C
3. 已知点及直线上一点，则的值不可能是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】求出点到直线的距离，易知即可得出结论.
【详解】易知点到直线的距离为，
所以，
因此的值不可能是1.
故选：A
4. 已知数列是各项为正的等比数列，前项和为，且，则（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用构造方程组可解得公比，代入计算得.
【详解】设数列的公比为，又的各项为正，所以，；
则由可得，
两式相除整理可得，解得或（舍）；
代入可得.
故选：C
5. 若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（ ）
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆和圆的位置关系求解参数即可.
【详解】易知圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
由题意得圆与圆只有一个交点，
可得两圆内切或外切，易得圆心距，半径差与和分别为或，
当两圆内切时，解得或，
当两圆外切时，无解，结合选项
故选：D
6. 已知的三个内角分别为、、，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】证明出，可得出，即可得出合适的选项.
【详解】令，其中，则，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以，，则，
由已知可得、、，
所以，，
故选：D.
7. 圆锥曲线具有丰富的光学性质，在人教版A版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，（如图（1））.如图（2），已知为椭圆的左焦点，为坐标原点，直线为椭圆的任一条切线，为在上的射影，则点的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲性 D. 抛物线
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：利用椭圆的切线方程的结论，进而得到直线的方程，联立切线的方程和直线的方程，化简即可确定点的轨迹；
方法二：设与椭圆相切于点，过右焦点作于，延长与直线交于点，则有全等，所以，设，结合直角三角形边与交的关系可得，，所以，故，即可求解；
【详解】解法一：设切线与椭圆相切于点，则切线的方程是，
切线的斜率为，则直线的方程是，
，
，①
，②
由①②可得，，③
，④
所以由③④可得，，故点的轨迹是圆.
解法二：如图，设切线与椭圆相切于点，
过右焦点作于，延长与直线交于点，
则有，所以全等，所以，
由椭圆光学性质知，
设，则，
，所以，
故，即点的轨迹是圆；
故选：.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意构造函数，判断出其单调性可得，利用函数的单调性可知，再由可求得，即可得出结论.
【详解】由可知，
构造函数
则，
由可得，
因此当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
所以，即恒成立，
所以（当且仅当时取等号）恒成立，故
当时，对两边同时取对数可得（当且仅当时取等号）恒成立，
故（当且仅当时取等号）
即（当且仅当时取等号），故；
构造函数
则，令，则，
令，则，
当时，，
所以上单调递减，可得，
即在上单调递减，可得，
即可得在上单调递减，
即对，
综上，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据中的数字特征构造函数，并利用导数求出函数单调性即可比较得出它们的大小.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 已知，则方程表示的曲线可能是（ ）
A. 两条直线 B. 圆
C. 焦点在轴的椭圆 D. 焦点在轴的双曲线
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据直线、圆、椭圆和双曲线的定义以及方程一一判断求解.
【详解】对A，因为，所以可取，
则有或，表示两条直线，A正确；
对B，因为，所以可取，
则有，表示圆，B正确；
对C，因为，所以可取，
则有，表示焦点在轴的椭圆，C正确；
对D，因为，所以该曲线方程不可能为焦点在轴的双曲线，D错误；
故选:ABC.
10. 如图，已知四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段上一点（含端点），则直线与平面所成角不可能是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，由向量法求出线面角，再根据单调性求出范围，进而可得答案.
【详解】由平面，底面为正方形得两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设正方形的边长为，则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取得，
因为为线段上一点（含端点），
所以设，
所以，
设直线与平面所成角为，
则
明显随着的增大而减小，当时，，当时，，
即，又，
所以，所以不可能是或.
故选：CD.
11. 已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列为等比数列
B. 数列为等差数列
C. 数列中任意三项不能构成等比数列
D. 数列中可能存在三项成等比数列
【答案】BC
【解析】
【分析】设数列的公差为，求出的值，求出、，利用等差数列的定义可判断AB选项；利用反证法结合等比数列的定义可判断CD选项.
【详解】设数列的公差为，则，
所以，，
所以，，则，
所以，数列为等差数列，
所以，，
所以，数列为等差数列，故B正确，A错误；
（反证法）假设数列中存在三项、、能构成等比数列，
即成立，由上可得，
所以，，
整理得：，
所以，，可得，
可得，整理可得，可得，
与已知条件矛盾，所以，数列中任意三项不能构成等比数列，
同理可知，数列中任意三项不能构成等比数列，故C正确，D错误.
故选：BC
12. 如图，已知棱长为2的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（ ）
A. 截面的形状可能是正三角形
B. 截面的形状可能是直角梯形
C. 此截面可以将正方体体积分成1：3
D. 若截面的形状是六边形，则其周长为定值
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A：取相应棱的中点分析判断；对于B：假设成立，结合面面平行的性质以及线面垂直分析判断；对于C：Q为所在棱中点，结合棱柱的体积分析判断；对于D：设为的中点，，结合几何性质求周长，进而分析判断.
【详解】假设正方体棱长为2.
对于选项A：如图，M，N分别为所在棱中点，
可知，即截面的形状是正三角形，故A正确；
对于选项B：由面面平行的性质可知：∥，
如果为直角梯形，例如，
由正方体的性质可知：，可知平面，
又因为平面，则∥或重合，
由图可知不成立，即截面形状不可能是直角梯形，故B错误；
对于选项C： Q为所在棱中点，如图，
则正方体的体积为8，三棱柱的体积为，
所以截面将正方体分成，故C正确；
对于选项D：如图所示，假设为的中点，，
则，
，
可得，
则六边形的周长为，
显然周长与有关，即六边形的周长不是定值，故D错误；
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：对于选项D：取特殊位置，假设为的中点，，结合几何形状求周长，进而分析判断.
非选择题部分
三 填空题（本大题共4小题，共20分.）
13. 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，第一排21个座位，从第2排起后一排都比前一排多两个位置，那么这个报告厅共有______排座位.
【答案】
【解析】
【分析】将各排的座位数依次排成一列，构成等差数列，再利用等差数列的前项和公式求项数．
【详解】设这个报告厅共有排座位，
报告厅的座位从第1排到第排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为．
根据题意，数列是一个首项为21公差为2的等差数列，且．
由，由，解得．
所以这个报告厅共有20排座位.
故答案为：20
14. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】求出函数的导函数，即可表示出切线的斜率，再由两直线垂直斜率之积为求出参数的值.
【详解】因为，所以，则，
因为直线的斜率，所以.
故答案为：
15. 已知正四面体，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】先设正四面体的棱长，设定基底为，表示与，应用用空间向量的数量积求解即可.
【详解】正四面体的棱长设为2，
其中，三个向量间的夹角都为，
则，
由，得，且，
异面直线与所成角的余弦值为.
故答案是：.
16. 已知点是直线上一点，点是椭圆上一点，设点为线段的中点，为坐标原点，若的最小值为，则椭圆的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意先求出直线关于原点的对称直线，然后利用几何知识得，设，在利用点到直线的距离公式，从而可求解.
【详解】直线关于原点的对称直线为，记直线与直线的交点为，连结，，如图，
为的中位线，则，
设，
，或，
当时，与椭圆相交，最小值为0，与矛盾，舍去.
当时，符合要求，此时，，椭圆离心率.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要利用数型结合方法，并巧妙设点，从而求出相应的的值，从而求解.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.）
17. 设，函数.
（1）若有且只有一个零点，求的取值范围；
（2）若的一个极值点为1，求函数的极值.
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】（1）由题意可知函数唯一零点一定是0，故可推出函数无零点，结合判别式，即可求得答案；
（2）根据函数的极值点求出a，结合导数判断函数的单调性，即可确定极值点，求得极值.
【小问1详解】
，若有且只有一个零点，则这个唯一零点一定是0，
由于，
故，即函数无零点，
；
【小问2详解】
，
的一个极值点为，
，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
则为函数的极大值点，为函数的极小值点，符合题意，
.
18. 如图，已知等腰三角形中，是的中点，且.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设所在直线与轨迹的另一个交点为，当面积最大且在第一象限时，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两点间距离公式利用化简整理可得点的轨迹的方程为；
（2）求出面积最大时点，可得的直线方程为，再由弦长公式可得结果.
【小问1详解】
易知，
即，
整理可得，
即点的轨迹的方程为
【小问2详解】
如下图所示:
由题意可得，当到距离最大时，即纵坐标最大时满足题意，此时；
所以所在直线方程为
圆心到直线的距离
可得.
19. 如图，是边长为2的等边三角形，且.
（1）若点到平面的距离为1，求；
（2）若且，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由点到面的距离公式可证平面，再由勾股定理即可得到结果；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
是边长为2的等边三角形，，又，
中，，
点到平面的距离为1，不妨设平面的法向量为，
则，
又，即，
平面，又平面，，
又.
【小问2详解】
由（1）知，
又，且，
且平面，平面，
又，，
设中点为，则，又，且，
，且，平面；
设中点为，则，
因此，两两垂直；
如图建系；则，
，，，
，；
设平面的法向量为，直线与平面所成角为，
则，，
，取，则，
20. 记为数列的前项和，已知，且成等比数列.
（1）写出，并求出数列的通项公式；
（2）记为数列的前项和，若对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】20. ，
21.
【解析】
【分析】（1）根据题意得，再由，再验证，从而可求解.
（2）求出，从而得，即得，从而可求解.
【小问1详解】
由成等比数列得，且，
当时；
当时，，又，
，
经验证当，符合，
.
【小问2详解】
由（1）易得，
设，则，
故，
，
又因为，所以，
所以，即，
故取值范围为.
21. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求证：.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用二次求导法进行求解即可；
（2）利用二次求导法，结合放缩法、构造函数法、函数零点存在原理进行求解即可.
【小问1详解】
当时，，
令，
，故在单调递增，
又时，时，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
【小问2详解】
当时，
令，则，
令
在单调递增，又，
，使得，且是在上的唯一零点，
在上为负，在上为正，
故在处取到极小值，也就是最小值.
，即
当时，.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二次求导法和函数零点存在原理.
22. 已知等轴双曲线过定点，直线与双曲线交于两点，记，且.
（1）求等轴双曲线的标准方程；
（2）证明：直线过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等轴双曲线的性质结合定点求出参数求解即可.
（2）利用题意找到的关系，求出定点后取舍即可.
【小问1详解】
设等轴双曲线C：；
过的标准方程为.
【小问2详解】
直线的方程为；
联立方程：，
设，则
化简整理得：
或
当，直线恒过定点；
当，直线恒过定点，故舍去.绝密★考试结束前
2023学年第二学期浙南名校联盟返校联考
高二数学学科试题
考生须知：
1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级 姓名 考场号 座位号及准考证号.
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分
一 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. 已知抛物线的焦点在直线上，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知向量，则在上的投影为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点及直线上一点，则的值不可能是（ ）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知数列是各项为正的等比数列，前项和为，且，则（ ）
A. B. C. 1 D.
5. 若圆与圆只有一个交点，则实数的值可以是（ ）
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
6. 已知的三个内角分别为、、，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
7. 圆锥曲线具有丰富的光学性质，在人教版A版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，（如图（1））.如图（2），已知为椭圆的左焦点，为坐标原点，直线为椭圆的任一条切线，为在上的射影，则点的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲性 D. 抛物线
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 已知，则方程表示的曲线可能是（ ）
A. 两条直线 B. 圆
C. 焦点在轴的椭圆 D. 焦点在轴的双曲线
10. 如图，已知四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段上一点（含端点），则直线与平面所成角不可能是（ ）
A. 0 B. C. D.
11. 已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列为等比数列
B. 数列为等差数列
C. 数列中任意三项不能构成等比数列
D. 数列中可能存在三项成等比数列
12. 如图，已知棱长为2的正方体，点是棱的中点，过点作正方体的截面，关于下列判断正确的是（ ）
A. 截面形状可能是正三角形
B. 截面的形状可能是直角梯形
C. 此截面可以将正方体体积分成1：3
D. 若截面的形状是六边形，则其周长为定值
非选择题部分
三 填空题（本大题共4小题，共20分.）
13. 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，第一排21个座位，从第2排起后一排都比前一排多两个位置，那么这个报告厅共有______排座位.
14. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______.
15. 已知正四面体，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.
16. 已知点是直线上一点，点是椭圆上一点，设点为线段的中点，为坐标原点，若的最小值为，则椭圆的离心率为______.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.）
17 设，函数.
（1）若有且只有一个零点，求的取值范围；
（2）若的一个极值点为1，求函数的极值.
18. 如图，已知等腰三角形中，是的中点，且.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设所在直线与轨迹另一个交点为，当面积最大且在第一象限时，求.
19. 如图，是边长为2的等边三角形，且.
（1）若点到平面的距离为1，求；
（2）若且，求直线与平面所成角的正弦值.
20. 记为数列的前项和，已知，且成等比数列.
（1）写出，并求出数列的通项公式；
（2）记为数列的前项和，若对任意的恒成立，求的取值范围.
21. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求证：.
22. 已知等轴双曲线过定点，直线与双曲线交于两点，记，且.
