四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（含答案）

高二数学
时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过点，且倾斜角为的直线方程为
A． B． C． D．
2．椭圆的焦点坐标为
A．，
B．，
C．，
D．，
3．已知向量，，若，则
A． B． C．4 D．2
4．若抛物线上的一点到焦点的距离为3p，则p的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
5．某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成．其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为
A．5 B．4.5 C．3.5 D．18
6．甲、乙两队进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），假设每局比赛甲队胜乙队的概率均为p，没有平局，且各局比赛相互独立，则甲队以获胜的概率可以表示为
A． B．
C． D．
7．双曲线的两条渐近线与圆没有公共点，则实数m的取值范围为
A． B．
C． D．
8．若点P是直线l：上的一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为
A． B．1 C． D．2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．已知，，是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，点P是椭圆C上的任意一点，则
A． B．的最大值为
C．的最小值为4 D．的最大值为4
11．已知A，B是随机事件，若，且，则下列结论正确的是
A． B．A，B为对立事件
C．A，B相互独立 D．
12．如图，在长方体中，，，动点M在体对角线（含端点）上，则下列结论正确的是
A．当点M为的中点时，为钝角
B．当点M为的中点时，四棱锥的外接球的表面积为
C．存在点M，使得平面
D．直线BM与平面所成角的最大正切值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知一组数据，，，的方差为4，若数据，，，
，的方差为36，则b的值为______．
14．在正方体中，，则点到直线的距离为______．
15．已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于A，B两点，恰使得点P平分AB，则直线l的方程为______．
16．已知双曲线，的上焦点为F，经过点F作直线l与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点M，直线l与双曲线的另一条渐近线相交于点N，若，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
从某校高二年级随机抽取100名学生的期末调研考试的物理成绩进行研究，发现他们的成绩在[50,100]分之间，将成绩分为五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并画出如图所示的频率分布直方图．
（1）估计该校高二年级学生期末调研考试物理成绩的第85百分位数；（精确到0.1）
（2）用分层抽样的方法在成绩区间[80,90)，[90,100]抽样一个样本容量为5的样本，将样本看作一个总体，从中抽取两名学生的物理成绩，求这两名学生中至少有一人的物理成绩在区间[80,90)的概率．
18．（12分）
已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：．
（1）求圆M的一般方程；
（2）求圆M与圆O的公切线方程．
19．（12分）
如图，在三棱柱中，底面ABC为等腰直角三角形，，，，点M，N分别为，的中点．
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积．
20．（12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点O为BD的中点，，．
（1）证明：平面ABCD；
（2）若，求直线AS与平面SBC所成角的正弦值．
21．（12分）
已知动点到定点的距离与动点P到定直线的距离之比为1，若动点P的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）不过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，且，若AB的垂直平分线交x轴于点N，求点N的坐标．
22．（12分）
已知双曲线C：，的实轴长为2，且过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，过点P作双曲线的切线l与圆交于M，N两点（点M在点N的左侧），记AM，BN的斜率分别为，，证明：为定值．
高二数学
参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A A B B A C D C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
BCD ACD AD BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．3或 14． 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
解：（1）设第85百分位数为x，则，， …………………………3分
该校高二年级学生期末调研考试物理成绩的第85百分位数为95.8；………………………5分
（2）在区间[80,90)，[90,100]的频率分别为0.24和0.36，
在区间[80,90)，[90,100]的频率之比为， …………………………7分
抽取样本容量为5的样本，则在区间[80,90)抽取2人，记作a，b，
在区间[90,100]抽取3人，记作A，B，C，
从中抽取两名学生的物理成绩有，，，，，，，，，，共10种取法，两名学生中至少有一人的物理成绩在[80,90)共有7种取法，故． …………………………10分
18．（12分）
解：（1）由题意设圆心为，
，得，
故圆心为，， …………………………4分
圆M的标准方程为：， …………………………5分
圆M的一般方程为：； …………………………6分
（2）由于圆M和圆O的半径均为2，
公切线与OM平行，则， …………………………8分
设公切线方程为，
则，得或， …………………………10分
故公切线方程为或． …………………………12分
19．（12分）
解：（1）设，，，
则，，， …………………………2分
，
即， …………………………4分
又，，
故； …………………………6分
（2）连接AN，求到平面ABC的距离，
即到平面ABC的距离，则在底面ABC上的投影在AN上，
，，，
，，，，
又，故， …………………………10分
三棱锥的体积． …………………………12分
（其他方法正确也给分）
20．（12分）
解：（1）连接AO，
，点O为BD的中点，，， …………………………1分
为直角三角形，，
则，， …………………………4分
又，平面ABCD； …………………………5分
（2）建立如图所示空间直角坐标系，
，则，，
，，，
，，
，， …………………………7分
设平面SBC法向量为，
，，得， …………………………9分
，得， …………………………11分
直线AS与平面SBC所成角的正弦值为． …………………………12分
21．（12分）
解：（1）由题可知：动点P的轨迹为焦点在x轴，开口朝右的抛物线，
，曲线C的方程为：； …………………………4分
（2）设直线AB的方程为，，，
直线与抛物线联立：，
，，，即，
，， …………………………6分
又，即，
又，
，即， …………………………9分
又记点M为AB的中点，则，直线MN的方程为，
令，则，故点N为定点，坐标为． …………………………12分
22．（12分）
解：（1）由题可知：，，将代入，得，
双曲线C的方程为：； …………………………4分
（2）直线l的斜率存在，设直线l的方程为，，，
由，得，，
得，即， …………………………6分
又，得，
，， …………………………7分
，，
， …………………………8分
，代入得，
由于，则，由于点M在点N的左侧，故，
，
代入得， …………………………10分
又，则，
故为定值，定值为3． …………………………12分
部分解析：
10．解：A．，A正确；
B．，当且仅当时取等号，B错误；
C．设，，
，，
，C正确；
D．，D正确．
11．解：，，则AB，相互独立，AB，相互独立，
，即，
，即，
又，故，A正确；
又(*)，由于，，
，即，，代入(*)式子，
则，C错误；
所以，D正确，B错误．
12．解：建立如图所示空间直角坐标系，当点M为中点时，，，，
，，，为锐角，A错误；
设四棱锥的外接球半径为R，则，则，
四棱锥的外接球的表面积为，B正确；
设，，，，则，
，，，得，
存在点M，使得平面，C正确；
设平面的法向量为，直线BM与平面所成角的正切值最大，
则直线BM与平面所成角的正弦值最大即可，，
即，，故，
令，，则，
当时，，
当时，，
故最大正弦值，则最大正切值，D错误．
16．解：由题意：，则，由角平分线定理得：，又，
，，，由勾股定理得：，即，得．