2023-2024学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】由可得：，解得：，
由可得，即，即，
解得：或，
故，，所以.
故选：D.
2. 已知复数满足（为虚数单位），且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，结合共轭复数的定义和复数的模公式求出即可.
【详解】设，，则，
因为，则，又，
则，解得或，
所以或，
所以或，
故选：B.
3. 已知随机变量，分别满足二项分布，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由二项分布的方差公式求出，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以，
所以，则，
若，则.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
4. 若，则的最小值是（ ）
A. B. 6 C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】由，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，可得，且，
则 ，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：A.
5. 冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：）（ ）
A. 3小时 B. 4小时 C. 5小时 D. 6小时
【答案】C
【解析】
【分析】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟，则，两边同时取对数得，结合对数的运算性质求解即可.
【详解】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟，
则，两边同时取对数得，，
所以，所以大约需要小时.
故选：C.
6. 已知定义在上的函数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，，求导得到其单调性，从而得到，化简后得到答案.
【详解】令，，
故恒成立，
故在上单调递增，
故，即.
故选：B
7. 已知数列，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据递推关系，归纳出数列的奇数项与偶数项分别为公比为的等比数列，进而可得数列的通项公式.
【详解】因为，，则，
又，则，
所以数列的奇数项与偶数项分别为公比为的等比数列，
由可得，
则数列的各项为，
其中奇数项的通项公式为，
偶数项的通项公式为，
所以数列的通项公式为.
故选：D
8. 已知四面体，是边长为6的正三角形，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出图形，找出外接球球心的位置，利用以及图形几何关系表示出相应的线段长度，结合勾股定理列方程求出外接球半径即可得解.
【详解】如图，
取中点，连接，因为是边长为6的正三角形，，
则由三线合一可知，
所以二面角的平面角为，
取三角形的外心，设外接球的球心为，则平面，
且，其中为四面体外接球的半径，
过点作垂直平面，垂足为点，由对称性可知点必定落在的延长线上面，
由几何关系，设，
而由正弦定理边角互换得，
进而，
由勾股定理得，
从而，，
所以，，
所以由得，，解得，
所以四面体的外接球的表面积为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：关键是合理转换二面角的大小为，并求出外接球半径，由此即可顺利得解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知平面向量，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.由共线向量定理求解判断；B.利用向量的数量积运算求解判断；C.利用向量的模公式求解判断；D.由向量的夹角公式求解判断.
【详解】A.若，则，解得，故正确；
B若，则，解得，故正确；
C.若，或，故错误；
D.若，则，解得，故正确，
故选：ABD
10. 已知四棱柱的底面为菱形，且，，，为的中点，为线段上的动点，则下列命题正确的是（ ）
A. 可作为一组空间向量的基底
B. 可作为一组空间向量的基底
C. 直线平面
D. 向量在平面上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A，找到，容易判断共面，从而做出判断即可；选项B，先找到含有两个向量的平面，判断与平面的关系即可；选项C，证明平面平面即可；选项D，证明垂直平面即可.
【详解】如图所示，四棱柱，
对于选项A，，三个向量都在平面，
即三个向量共面，则也共面，
不可作为一组空间向量的基底，选项A错误；
对于选项B，两个向量都在平面，
显然直线与平面是相交关系，不与平面平行，
故三个向量不共面，可作为一组空间向量的基底，选项B正确；
对于选项C，由于，，
易得平面，平面，
从而有平面平面，且平面，
所以直线平面，选项C正确；
对于选项D，取作为一组空间向量的基底，
，
，
，
其中，
因为底面为菱形，且，，，
得，，
所以，即，，
其中，
显然，
，
所以，即，，
因为，，且平面，平面，，
所以平面，
所以向量在平面上的投影向量为，选项D正确；
故选：BCD.
11. 已知函数，，则（ ）
A. 将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
B. 将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
C. 函数与的图象关于直线对称
D. 函数与的图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】由三角函数的平移变换可判断A，B；由可判断C；由可判断D.
【详解】因为，
将函数的图象右移个单位可得到，
将函数的图象右移个单位可得到，
故A正确，B错误；
由A选项可知，，所以函数与的图象关于直线对称，故C正确；
若函数与的图象关于点对称，
则在上取点关于的对称点必在上，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
12. （多选）已知数据，若去掉后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，记，，，的平均数与方差为，，记，，，的平均数与方差为，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平均数的大小列出不等式变形即可判断AB，根据方差公式作差后变形，利用，即可判断CD.
【详解】因为，
所以，所以，所以，故A正确，B错误；
，故C正确，D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直线的倾斜角是___________.
【答案】0
【解析】
【分析】根据斜率得到倾斜角.
【详解】的斜率为0，设倾斜角为，则，解得，
故倾斜角0
故答案为：0
14. 已知二项式的展开式中含的项的系数为84，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】应用二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】二项式中含的项为：，
该项的系数为，
由于该项的系数为84，得方程，即，
解得或（舍去），
故答案为：.
15. 位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高为___________米.（结果保留整数，参考数据：）
【答案】310
【解析】
【分析】设米，进而可得， 在中由正弦定理求出，求解即可得出答案.
【详解】设米，因为在点C测得塔顶A的仰角为80°，
所以，在中，，所以，
在中，因为，，
所以，
由正弦定理得，所以，
则，
所以米.
故答案为：310.
16. 已知点P是双曲线C：与圆在第一象限的公共点，若点P关于双曲线C其中一条渐近线的对称点恰好在y轴负半轴上，则双曲线C的离心率___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，联立双曲线与圆的方程，求得点的坐标，再求得其对称点的坐标，再由，化简即可得到的关系，再由离心率公式，即可得到结果.
【详解】
联立，取，解得，即，
设点P关于双曲线C的渐近线的对称点为，则恰好在轴负半轴上，
且，所以，
由点与点关于渐近线对称，所以直线的斜率为，
所以，即，化简可得，
所以.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，角C为锐角，已知的面积为.
（1）求c；
（2）若为上的中线，求的余弦值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可；
（2）因为为上的中线，所以，对其两边同时平方可求出，再由余弦定理求解即可.
【小问1详解】
由的面积为可得：，
因为，，解得：得，
由角为锐角得，
故，解得.
【小问2详解】
因为为上的中线，所以，
所以，
，
解得：.
故.
18. 已知为公差为2的等差数列的前项和，若数列为等差数列.
（1）求；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由等差中项的性质可得，再由等差数列的通项公式和前项和公式代入化简可求得，即可求出答案；
（2）由（1）得，则，再由等比数列的前项和公式和分组求和法求解即可.
【小问1详解】
因为数列为等差数列，所以，
因为为公差为2的等差数列的前项和，
则，解得.
故.
【小问2详解】
由（1）得，故，
故数列的前项和为.
19. 已知直三棱柱，，，D，E分别为线段，上的点，.
（1）证明：平面平面；
（2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）建系，分别求出平面和平面法向量，利用两法向量垂直，两面垂直即可证明；
（2）设出点坐标，由已知点面距离利用向量法解出点坐标，再代入线面角的向量公式求出即可.
【小问1详解】
证明：在直三棱柱中，，平面，
所以以为原点，，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则点，，，，，
则，，，
设，则，
设平面和平面的法向量分别为，
则，取，则；
，取，则，
因为，
所以平面平面.
【小问2详解】
设点，
由，得平面的法向量，
由得点到平面的距离，
解得，
由，得，直线与平面所成的角的正弦值为.
20. 已知点，为椭圆C：的左，右焦点，椭圆C上的点P，Q满足，且P，Q在x轴上方，直线，交于点G.已知直线的斜率为.
（1）当时，求值；
（2）记，的面积分别为，，求的最大值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由椭圆的性质可得，再利用弦长公式求解即可；
（2）利用已知条件将表示出来，在利用基本不等式即可求解.
【小问1详解】
设直线与椭圆的另一个交点为，由椭圆的对称性得，关于原点对称.
设点，.
因为C：中，所以，
所以当时，直线的方程为：，
联立直线与椭圆的方程得，
所以，
所以，
所以.
【小问2详解】
由题可设直线的方程为：，
联立直线与椭圆得：，
所以，
，
，
所以当即时等号成立，取到最大值.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的面积问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于y的一元二次方程的形式,得到韦达定理；
②表示出的面积，将韦达定理代入，再借助基本不等式即可求出面积的最大值.
21. 我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下：
中秋天气 元宵天气 合计
降水 无降水
降水 19 41 60
无降水 50 90 140
合计 69 131 200
（1）依据的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？
（2）从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求.
参考公式与数据：.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）无关 （2）
【解析】
【分析】（1）计算的值，与临界值比较得出结论；
（2）利用条件概率公式求解.
【小问1详解】
零假设为：元宵节的降水与中秋节的降水无关.
，
因为，所以没有充分证据推断不成立，故元宵节的降水与中秋节的降水无关.
【小问2详解】
中秋节的降水状况为一降水一无降水概率为，
中秋节、元宵节的降水状况均为一降水一无降水概率为，
故.
22. 定义满足的实数为函数的然点.已知.
（1）证明：对于，函数必有然点；
（2）设为函数的然点，判断函数的零点个数并证明.
【答案】（1）证明见解析
（2）2个零点，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数零点存在原理，结合导数的性质、题中定义进行运算证明即可；
（2）根据（1）的结论，结合函数零点存在原理、结合放缩法进行求解即可.
小问1详解】
，由得.
令，
因为在上单调递增，故至多一个零点，
又因为，，
所以使，故对于，函数有唯一然点.
【小问2详解】
由（I）得，
令，因为在上单调递减，且，
，故使，
在上单调递增，在上单调递减.
因为，故，
将代入，得
，
所以有2个零点.
【点睛】关键点睛：根据题中定义，运用零点存在原理是解题的关键.2023-2024学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足（为虚数单位），且，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知随机变量，分别满足二项分布，，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若，则的最小值是（ ）
A B. 6 C. D. 9
5. 冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：）（ ）
A. 3小时 B. 4小时 C. 5小时 D. 6小时
6. 已知定义在上的函数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知数列，满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知四面体，是边长为6的正三角形，，二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知平面向量，，则下列命题正确是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10. 已知四棱柱的底面为菱形，且，，，为的中点，为线段上的动点，则下列命题正确的是（ ）
A. 可作为一组空间向量的基底
B. 可作为一组空间向量的基底
C. 直线平面
D. 向量在平面上的投影向量为
11. 已知函数，，则（ ）
A. 将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
B. 将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
C. 函数与的图象关于直线对称
D. 函数与的图象关于点对称
12. （多选）已知数据，若去掉后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，记，，，的平均数与方差为，，记，，，的平均数与方差为，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直线的倾斜角是___________.
14. 已知二项式的展开式中含的项的系数为84，则___________.
15. 位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高为___________米.（结果保留整数，参考数据：）
16. 已知点P是双曲线C：与圆在第一象限的公共点，若点P关于双曲线C其中一条渐近线的对称点恰好在y轴负半轴上，则双曲线C的离心率___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，角C为锐角，已知的面积为.
（1）求c；
（2）若为上的中线，求的余弦值.
18. 已知为公差为2的等差数列的前项和，若数列为等差数列.
（1）求；
（2）求数列的前项和.
19. 已知直三棱柱，，，D，E分别为线段，上的点，.
（1）证明：平面平面；
（2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值.
20. 已知点，为椭圆C：的左，右焦点，椭圆C上的点P，Q满足，且P，Q在x轴上方，直线，交于点G.已知直线的斜率为.
（1）当时，求的值；
（2）记，的面积分别为，，求的最大值.
21. 我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下：
中秋天气 元宵天气 合计
降水 无降水
降水 19 41 60
无降水 50 90 140
合计 69 131 200
（1）依据的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？
（2）从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求.
参考公式与数据：.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
22. 定义满足的实数为函数的然点.已知.
（1）证明：对于，函数必有然点；
（2）设为函数的然点，判断函数的零点个数并证明.
