第3单元长方体和正方体重难点检测卷-数学五年级下册人教版（含解析）

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第3单元长方体和正方体重难点检测卷-数学五年级下册人教版
一、选择题
1．下面四个图形中，不是正方体表面展开图的是（ ）。
A． B．
C． D．
2．把4个棱长1厘米的正方体排成一排，变成一个长方体，表面积比原来减少（ ）平方厘米。
A．4 B．6 C．8 D．3
3．有两盒同样大小的巧克力，下面四种方式包装，你认为最省包装纸的是（ ）。
A．B．
C．D．
4．一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，它的体积就（ ）。
A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的6倍 C．扩大到原来的8倍 D．扩大到原来的10倍
5．把60升水倒入一个棱长为5分米的正方体容器中，水的高度是（ ）分米。
A．2 B．2.4 C．12 D．15
6．李师傅计划用5块玻璃（如图）粘成一个无盖鱼缸。如果接缝处都要涂上玻璃胶，涂胶的长度至少是（ ）分米。
A．40 B．38 C．60 D．42
二、填空题
7．在括号里填上合适的单位。
“天和”核心舱空间约50( ) 电饭锅的体积约25( )
一瓶眼药水约8( )
8．3.4立方分米＝( )升；440毫升＝( )升。
9．两个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了50平方厘米，原来每个正方体的表面积是( )平方厘米。
10．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，已知长方体长是7厘米、宽是6厘米、高是5厘米，那么正方体棱长是( )厘米。两者相比较，( )的体积比较大。
11．一个长方体形状的铁盒，长1.2分米，宽0.8分米，高15厘米，如果围着它的侧面贴一圈商标纸，至少需要商标纸( )平方分米。
12．把一瓶15L的酒精分装在容积为250mL的塑料瓶中，可以分装( )瓶。
三、判断题
13．体积相等的长方体，表面积一定相等。( )
14．一个物体的体积是1立方分米，它的占地面积是1平方分米。( )
15．我国古代数学名著《九章算术》中，集中而正确在给出了立体图形的体积计算公式。( )
16．把3个相同的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积减少了，但体积不变。( )
17．正方体的棱长是1cm，它的表面积比体积大。( )
四、计算题
18．计算下面图形的表面积。
19．求下面几何体的表面积和体积。
五、解答题
20．修路工人把10.5立方米的沙子铺在一段长25米、宽3米的路上，可以铺多厚？（用方程解）
21．一个抽屉（如图），底面是一个边长20厘米的正方形，高6厘米，至少需要多少平方厘米的木板？
22．一个舞蹈教室，铺设了1600块长50厘米，宽10厘米，厚3厘米的木质地板。这个舞蹈教室的面积是多少平方米？铺设地板用了多少立方米木材？
23．一个长方体鱼缸长米，宽米，里面的水深5分米，把一些观赏石头放入这个鱼缸后，这时的水深10分米，这些石头的体积是多少？
24．李浩和王乐各从家里拿来一根长48厘米的铁丝、胶带、剪刀等材料，准备制作一个长方体学具框架和一个正方体学具框架。如果铁丝不剩余，接头处忽略不计，请你和李浩、王乐一起解决以下数学问题：
（1）李浩准备制作长方体框架，他先确定长方体的长是8厘米，那么长方体的宽和高可以是多少厘米？（取整厘米数）
（2）王乐准备制作一个正方体框架，正方体的棱长是多少厘米？
25．下图是李师傅为小明做的一个底面为正方形，内高是20厘米的无盖玻璃容器。

（1）把1升水倒入玻璃容器，水深10厘米，再把一个苹果沉入容器（苹果被水全部淹没），结果水面上升了3厘米，这个苹果的体积是多少立方厘米？
（2）制作这个玻璃容器至少需要玻璃多少平方厘米？
参考答案：
1．A
【分析】正方体的展开图类型：（1）“1—4—1”型：中间4个一连串，两边各一随便放；
（2）“2—3—1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便；
（3）“2—2—2”型：两两相连各错一；
（4）“3—3”型：三个两排一对齐；
不能围成正方体的展开图类型：（1）一条线上超过四；（2）“田字形”“七字型”“凹字型”，据此解答。
【详解】A．属于“凹字型”不是正方体的表面展开图；
B．属于“1—4—1”型是正方体的表面展开图；
C．属于“1—4—1”型是正方体的表面展开图；
D．属于“2—2—2”型是正方体的表面展开图。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查正方体的展开图，掌握正方体展开图的常见类型是解答题目的关键。
2．B
【分析】如下图：把4个棱长1厘米的正方体排成一排，变成一个长方体，表面积减少了6个正方形的面。先求出正方体1个面的面积，再乘6即可。
【详解】1×1×6＝6（平方厘米）
所以表面积比原来减少6平方厘米。
故答案为：B
【点睛】解决此题也可用4个正方体表面积的和减去长方体的表面积。
3．A
【分析】通过观察发现：一个巧克力盒子的长＞宽＞高，也就是上面（或下面）的面积＞前面（或后面）的面积＞左面（或右面）的面积。每个巧克力盒子的表面积相同。据此分析四种包装的表面积。
【详解】A．1个巧克力盒子的表面积×2－上、下面的面积和。
B．1个巧克力盒子的表面积×2－左、右面的面积和。
C．1个巧克力盒子的表面积×2－前、后面的面积和。
D．1个巧克力盒子的表面积×2
因为上、下面的面积和最大，所以A选项中的包装表面积最小，即最省包装纸。
故答案为：A
【点睛】把同样多的物体包装成长方体，长、宽、高越接近，表面积越小。
4．C
【分析】假设出原来长方体的长、宽、高，利用“长方体的体积＝长×宽×高”表示出原来和现在长方体的体积，最后用除法求出它的体积扩大到原来的几倍，据此解答。
【详解】假设原来长方体的长为a，宽为b，高为h。
（2a×2b×2h）÷（a×b×h）
＝8abh÷abh
＝8
所以，它的体积扩大到原来的8倍。
故答案为：C
【点睛】熟练掌握长方体的体积计算公式是解答题目的关键。
5．B
【分析】先根据“1升＝1立方分米”把容积单位转化为体积单位，再根据“正方形的面积＝边长×边长”表示出容器的底面积，水的高度＝水的体积÷容器的底面积，据此解答。
【详解】60升＝60立方分米
60÷（5×5）
＝60÷25
＝2.4（分米）
所以，水的高度是2.4分米。
故答案为：B
【点睛】灵活运用长方体的体积计算公式是解答题目的关键。
6．A
【分析】看图，围成的无盖鱼缸的长、宽、高分别是60厘米、40厘米和50厘米。由于是无盖的鱼缸，那么涂上玻璃胶时，上面不涂，只需要涂2条长、2条宽以及4条高。据此列式解题即可。
【详解】60×2＋40×2＋50×4
＝120＋80＋200
＝400（厘米）
400厘米＝40分米
所以，涂胶的长度至少是40分米。
故答案为：A
【点睛】本题考查了长方体有关棱长的计算，解题关键是要明确是求哪一些棱长的和。
7． m3/立方米 L/升 毫升/mL
【分析】棱长1米的正方体，体积是1立方米；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米；棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米；1立方分米＝1升，1立方厘米＝1毫升，据此根据体积和容积单位的认识，以及生活经验进行填空。
【详解】“天和”核心舱空间约50立方米 电饭锅的体积约25升
一瓶眼药水约8毫升
【点睛】关键是建立单位标准，可以利用身边熟悉的事物建立单位标准。
8． 3.4 0.44
【分析】1立方分米＝1升；1升＝1000毫升；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。
【详解】3.4立方分米＝3.4升
440毫升＝0.44升
【点睛】熟记进率是解答本题的关键。
9．150
【分析】根据题意可知，将两个相同的正方体拼成了一个长方体，拼成的长方体表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了50平方厘米，也就是拼成的长方体表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了正方体的2个面的面积，据此可以求出正方体的一个面的面积，然后根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。
【详解】50÷2×6
＝25×6
＝150（平方厘米）
即原来每个正方体的表面积是150平方厘米。
【点睛】此题主要考查立体图形的切拼、正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
10． 6 正方体
【分析】利用“（长＋宽＋高）×4”求出长方体的棱长之和，正方体的棱长之和等于长方体的棱长之和，利用“棱长＝正方体的棱长之和÷12”求出正方体的棱长，再根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”和“长方体的体积＝长×宽×高”求出正方体和长方体的体积，最后比较大小，据此解答。
【详解】（7＋6＋5）×4
＝18×4
＝72（厘米）
72÷12＝6（厘米）
7×6×5＝210（立方厘米）
6×6×6＝216（立方厘米）
210立方厘米＜216立方厘米
所以正方体的体积比长方体的体积大。
即正方体棱长是6厘米。两者相比较，正方体的体积比较大。
【点睛】掌握正方体、长方体的棱长之和、体积计算公式是解答题目的关键。
11．6
【分析】根据题意，围着长方体铁盒的侧面贴一圈商标纸（上下面不贴），那么贴商标纸的是长方体的前后面、左右面共4个面；根据“长×高×2＋宽×高×2”求出这4个面的面积之和，即是这张商标纸的面积。
【详解】15厘米＝1.5分米
1.2×1.5×2＋0.8×1.5×2
＝3.6＋2.4
＝6（平方分米）
即至少需要商标纸6平方分米。
【点睛】关键是先弄清贴商标纸的是长方体的哪些面，缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。
12．60
【分析】1L＝1000mL，先统一单位，酒精体积÷塑料瓶容积＝可以分装的瓶数，据此列式计算。
【详解】15L＝15000mL
15000÷250＝60（瓶）
可以分装60瓶。
【点睛】关键是掌握容积单位间的进率，会进行单位换算。
13．×
【分析】假设其中一个长方体的长5厘米、宽4厘米、高3厘米，另一个长方体的长12厘米，宽5厘米，高1厘米，根据长方体的体积公式和长方体的表面积公式，代入数据解答，再比较即可。
【详解】长5厘米、宽4厘米、高3厘米长方体的体积是：
5×4×3＝60（立方厘米）
长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体的表面积是：
（5×4＋5×3＋4×3）×2
＝（20＋15＋12）×2
＝47×2
＝94（平方厘米）
长12厘米，宽是5厘米，高是1厘米的长方体的体积是：
12×5×1＝60（立方厘米）
长12厘米，宽是5厘米，高是1厘米的长方体的表面积是：
（12×5＋5×1＋12×1）×2
＝（60＋5＋12）×2
＝77×2
＝154（平方厘米）
它们的体积相等，表面积不相等。原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查了长方体表面积公式、长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。
14．×
【分析】占地面积指的是底面积，体积指的是所占空间的大小。
【详解】体积是1立方分米指的是所占空间的大小是1立方分米，占地面积不一定是1平方分米，
例如：一个长方体的长宽高分别是0.1分米，0.2分米，50分米，占地面积可能是0.02平方分米。
故答案为：×
【点睛】考查体积与占地面积的概念，要知道占地面积指的是底面积，体积指的是所占空间的大小。
15．√
【分析】我国古代数学名著《九章算术》中，集中而正确地给出了立体图形的体积计算公式。书中在求底面是正方形的长方体体积时，是这样说的：“方自乘，以高乘之即积尺。”就是说先用边长乘边长得底面积，再乘高就得到长方体的体积。
【详解】由分析可知：
我国古代数学名著《九章算术》中，集中而正确在给出了立体图形的体积计算公式。说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查常识知识，平时应多注意积累。
16．√
【分析】根据题意，把3个相同的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积比原来减少正方体的4个面的面积，拼成的长方体的体积等于3个正方体的体积之和，据此判断。
【详解】把3个相同的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积减少了，但体积不变。
原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查立体图形的拼接，明确把小正方体拼成一个长方体，表面积会变化，体积不变。
17．×
【分析】表面积和体积单位不同，无法进行比较，据此判断。
【详解】正方体的棱长是1cm，它的表面积和体积的单位不同，无法比较大小。原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】表面积和体积是两种不同的量，是无法比较大小的，不要被所给数据迷惑。
18．76cm2；294cm2
【分析】（1）观察图形可知，这是一个长为5cm，宽为4cm，高为2cm的长方体，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可；
（2）根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此代入数值进行计算即可。
【详解】（1）
＝（20＋10＋8）×2
＝38×2
＝76（cm2）
（2）7×7×6
＝49×6
＝294（cm2）
19．表面积：432m2；体积：528m3
【分析】根据长方体的体积、表面积的意义，从长方体的顶点上挖掉一个小长方体，因为这个小长方体原来外露3个面，挖掉这个小长方体后又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积不变，体积减少了一个小长方体的体积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，长方体的体积公式：V＝abh，据此解答即可。
【详解】（12×6＋12×8＋6×8）×2
＝（72＋96＋48）×2
＝216×2
＝432（m2）
12×6×8－6×2×4
＝72×8－12×4
＝576－48
＝528（m3）
20．0.14米
【分析】可以把所铺的道路形状看作是一个长为25米，宽为3米，高（厚）未知的长方体，根据长方体的体积公式（长方体的体积＝长×宽×高），求出长方体的高即道路的厚度。
【详解】解：设可以铺x米。
3×25x＝10.5
75x＝10.5
75x÷75＝10.5÷75
x＝0.14
答：可以铺0.14米厚。
【点睛】本题考查长方体的体积公式在实际生活中的应用以及根据等量关系列方程解决问题。
21．880平方厘米
【分析】根据题意，抽屉是一个无盖的长方体，求至少需要木板的面积，就是求抽屉的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可求解。
【详解】20×20＋20×6×2＋20×6×2
＝400＋240＋240
＝880（平方厘米）
答：至少需要880平方厘米的木板。
【点睛】关键是先弄清抽屉缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。
22．80平方米；2.4立方米
【分析】根据长方形面积＝长×宽，求出一块地板的底面积，乘总块数就是舞蹈教室的面积；根据长方体体积＝长×宽×高，先求出一块地板的体积，再乘总块数即可求出木材体积，根据1平方米＝10000平方厘米，1立方米＝1000000立方厘米，统一单位即可。
【详解】50×10×1600＝800000（平方厘米）＝80（平方米）
50×10×3×1600＝2400000（立方厘米）＝2.4（立方米）
答：这个舞蹈教室的面积是80平方米，铺设地板用了2.4立方米木材。
【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式，注意统一单位。
23．600立方分米
【分析】水面上升的体积就是石头的体积，鱼缸长×宽×水面上升的高度＝石头体积，据此列式解答。
【详解】1.5米＝15分米
0.8米＝8分米
15×8×（10－5）
＝120×5
＝600（立方分米）
答：这些石头的体积是600立方分米。
【点睛】关键是利用转化思想，将不规则物体的体积转化为规则的长方体进行计算。
24．（1）宽是3厘米，高是1厘米；或者宽是1厘米，高是3厘米；或者宽和高都是2厘米。
（2）4厘米
【分析】（1）由长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4可知，长＋宽＋高＝长方体的棱长和÷4，48厘米是长方体的棱长和，先用48÷4求出长、宽、高的和是12厘米；再用12厘米减去8厘米求出宽、高的和是4厘米；最后把4厘米拆为两个整数的和，可求出宽、高的长度。
（2）由正方体的棱长和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长和÷12，48厘米是正方体的棱长和，用48÷12可求出正方体的棱长。
【详解】（1）48÷4＝12（厘米）
12－8＝4（厘米）
4＝3＋1
4＝2＋2
答：长方体的宽是3厘米，高是1厘米；或者宽是1厘米，高是3厘米；或者长方体的宽和高都是2厘米。
（2）48÷12＝4（厘米）
答：正方体的棱长是4厘米。
【点睛】此题考查了长方体和正方体的棱长和公式。明确长方体和正方体的特征是解决此题的关键。
25．（1）300立方厘米
（2）900平方厘米
【分析】（1）已知把1升水倒入玻璃容器，水深10厘米，先根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位，然后根据长方体的底面积S＝V÷h，求出这个容器的底面积；
再把一个苹果完全沉入容器，水面上升了3厘米，则水上升部分的体积等于这个苹果的体积；根据长方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算，即可求出这个苹果的体积。
（2）已知这个容器的底面为正方形，由上一题可知容积的底面积为100平方厘米，根据正方形的面积＝边长×边长，确定容器的底面边长为10厘米；
因为这个容器是一个无盖的长方体，求制作这个玻璃容器至少需要玻璃的面积，就是求长方体的底面和4个侧面的面积之和，4个侧面都是长为20厘米、宽为10厘米的长方形，求出一个面的面积，再乘4即是4个侧面的面积之和，最后加上底面积即可。
【详解】（1）1升＝1000立方厘米
1000÷10＝100（平方厘米）
100×3＝300（立方厘米）
答：这个苹果的体积是300立方厘米。
（2）100＝10×10
所以，这个长方体容器的底面是边长为10厘米的正方形。
100＋10×20×4
＝100＋800
＝900（平方厘米）
答：制作这个玻璃容器至少需要玻璃900平方厘米。
【点睛】（1）本题考查长方体体积公式的灵活运用以及体积、容积单位的换算，把求苹果的体积转移到求水上升部分的体积是解题的关键。
（2）弄清无盖长方体容器缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。
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