2023-2024学年数学人教版八年级下册第十七章勾股定理易错精选题（含解析）

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2023-2024学年数学人教版八年级下册第十七章勾股定理易错精选题
一、单选题
1．已知一个直角三角形的两边长分别为和，第三边长是（ ）
A． B． C． D．或
2．如图，是四根长度均为5的火柴棒，均位于一条不完整的数轴上方．若点、点分别对应实数，且，则点所对应的实数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为( )
A． B．
C． D．
4．如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程长是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在中，，点是的中点，点在上，．若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
6．若三边长，，，满足，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长IB交AC于点J，则．④若，则．其中正确的结论个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边上的高为 ．
10．如图，每个小正方形的边长为1，是小正方形的顶点，则的度数为 ．
11．已知在锐角中，，，，则x的取值范围是 ．
12．如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ．
13．如图，在中，，点D，E，F分别在边上，连接，已知点B和点F关于直线对称．若，则 ．
14．“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，标志着中国古代的数学成就．如图是弦图的示意图，四个直角三角形的直角边长均为，斜边长为．若比长2，每个直角三角形的面积为15，则斜边的长为 ．
15．如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔距离均为a，正方形四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 ．
16．如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、．如果，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
17．如图，在中，于点，，．
(1)求的长；
(2)求证：是直角三角形．
18．（1）在第一象限内，画，使，， ；
（2）画出关于y轴对称的图形．
19．如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米，求种植草皮的面积是多少？
20．如图，台风“海葵”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．

(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
21．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．
(1)试说明；
(2)若测得，求的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，两点的坐标分别为，且，点从出发以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒．
(1)求两点的坐标；
(2)连接，当的面积等于的面积的一半时，求的值；
(3)当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标．
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，根据题意，分类讨论，当3和4是直角边时；当3是直角边，4是斜边时；运用勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：当3和4是直角边时，
在直角三角形中，第三边长为；
当3是直角边，4是斜边时，
在直角三角形中，第三边长为；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查求数轴上点对应的实数，涉及等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，过点作于，过点作于，如图所示，利用等腰三角形性质得到相关角与边的关系，再由全等三角形的判定与性质得到，最后由勾股定理求出即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示：
，
，
是四根长度均为5的火柴棒，
、是等腰三角形，
，，
由等腰三角形三线合一可得，，且，
，
在和中，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
，即点所对应的实数为，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查勾股定理；根据勾股定理可得，再由正方形、三角形面积公式可得，，，， ，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点A作AK⊥HI于点K，交BC于点J，
中，，
，
四边形、四边形、四边形均为正方形，
，
正方形与同底等高，
，
，
正方形与同底等高，
，
，
，
，
故选：A．
4．D
【分析】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，利用勾股定理进行求解即可．将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：底面周长为，半圆弧长为，
画展开图形如下：
由题意得：，
根据勾股定理得：．
故选D．
5．A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，连接，由线段垂直平分的性质得出，设，则，在中，，从而得出，求解即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
点是的中点，，
垂直平分，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查非负数的性质，勾股定理逆定理．根据算术平方根，绝对值和平方的非负性求出a、b、c的值，再根据勾股定理逆定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，解得：．
∵，
∴，
∴是直角三角形．
故选C．
7．B
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，由题意可知，，，，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，
由题意可知，，，，
在中，由勾股定理得：，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．
首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；根据全等三角形的性质得到，然后利用勾股定理证明出，同理得到，然后得到，即可判断④．
【详解】∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，
∴，，
∵
∴
∴
∴，故①正确；
如图所示，过点F作交延长线于点O，

∵
∴
又∵，
∴
∴
∵
∵，
∴，故②正确；
如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作

∵，
∴
又∵，
∴
∴
同理可证，
∴
∴
∵，
∴
∴，故③正确；
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∵
∴
∴
同理可证，
∴，故④正确．
综上所述，正确的结论个数是4．
故选：D．
9．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形面积公式，根据勾股定理得出斜边长为，再根据面积相等，即可得出斜边上的高．
【详解】解：根据勾股定理可得：斜边长为，
根据面积相等，设斜边上的高为，则，
解得：，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，连接，利用勾股定理可求出的长，进而可得出，，利用勾股定理的逆定理可得出为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出．
【详解】解：连接，
根据题意，可知：．
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了解不等式及锐角三角形的特征，熟练求解不等式是解题的关键．由锐角三角形的特征得，求解即可得解．
【详解】解：根据题意得，
即，
由得，由得，由得，
∴，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查勾股定理，在数轴上表示无理数．
根据勾股定理可求得正方形对角线的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点A表示的数即可．
【详解】解：由勾股定理得：
正方形的对角线为，
设点A表示的数为x，
则，
∵，
∴，
即点A表示的数是．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查轴对称的性质、勾股定理的应用的综合应用．
点B和点F关于直线对称，可得，，由，得出，即可证得，，在Rt和Rt，由勾股定理即可求得的值．
【详解】解：连接，
，
∵点B和点F关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt和Rt，由勾股定理得：
∵，
∴，解得：，
故答案为：．
14．8
【分析】本题考查勾股定理的应用．由直角三角形的面积可求出，再把两边平方得，再结合勾股定理可知，从而可求出结论．
【详解】解：∵每个直角三角形的面积为15，
∴，
∴，
由题意得，
∴，
整理得，，
又，
∴，
解得，或（负值舍去），
故答案为：8．
15．
【分析】过点C作，交于点E，交于点F，则有，结合正方形的性质得和，进一步可得，即可证，有，利用勾股定理求得，即可求得正方形的面积．
【详解】解：过点C作，交于点E，交于点F，如图，
∵直线，，
∴，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是利用平行线的性质和构造全等三角形．
16．6
【分析】本题主要考查了勾股定理以及以直角三角形三边为边长的图形面积，根据题意得到，再由勾股定理得到，则由已知条件可推出，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
17．(1)
(2)见解析
【分析】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
（）利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长即可；
（）根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
在中，，
在中，；
（2）证明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形．
18．（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了勾股定理，作图—轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）根据勾股定理，即可在第一象限内，画，使，， ；
（2）根据轴对称的性质即可画出关于y轴对称的图形．
【详解】解：（1），，，
如图，即为所求；
（2）如图，即为所求．
19．96平方米
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
，
∵，
∴，
在中，，
而，
∴，
∴是直角三角形，，
∴种植草皮的面积为（平方米）．
20．(1)海港C受台风台风影响，理由见解析
(2)小时
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、勾股定理实际生活的应用等知识点，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）先根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，过点C作于D，再根据等面积法求得，然后再与比较即可解答；
（2）根据勾股定理求出斜边为的直角边，然后根据行程问题即可解答．
【详解】（1）解：海港C受台风台风影响． 理由如下：
，
，
是直角三角形， ，
过点C作于D，

是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心以内为内为受影响区，
海港C受台风影响．
（2）解：当时，正好影响C港口，
，
，
台风风的速度25干米/小时时
（小时）．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握相关定理和性质，是解题的关键．
（1）证明，即可；
（2）根据全等三角形的性质和勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
又，，
，
，
．
在和中，
，，，
，
．
（2），
，，
，
在中，（cm）
．
22．(1)，
(2)或
(3)，，
【分析】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性，坐标与图形，勾股定理，等腰三角形；
（1）根据偶次方和算术平方根的非负性得出，，求出即可；
（2）求出，再分两种情况进行讨论求解；
（3）需要分三种情况讨论，即或或，设，然后根据条件建立等式求解即可．
【详解】（1）解：，
，，
，，
的坐标是，的坐标是；
（2）解：依题意，
，的面积等于的面积的一半
，
，
当到的左边时，则，
，
解得：，
当到的右边时，则，
，
解得：，
故当的面积等于的面积的一半时， 的值为或；
（3）解：当时，为等腰三角形，如下图：
设，则，
解得：（舍去），
故；
当时，为等腰三角形，如下图：
设，则，
解得：（舍去），
故；
当时，为等腰三角形，如下图：
设，则，
解得：，
故；
满足条件的点的坐标为，，．
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