2023-2024学年数学苏科版九年级下册第5章二次函数易错精选题（含解析）

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2023-2024学年数学苏科版九年级下册第5章二次函数易错精选题
一、单选题
1．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的对称轴为直线
C．图象顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
2．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．己知抛物线经过两点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降2.5米时，水面的宽度为米．（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
6．设点是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数的图象如图所示，给出四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，若两点分别从两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．已知一个二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，请你写出一个符合条件的表达式： ．
10．对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ．
11．二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为、，抛物线 (为常数)和线段有公共点时，的取值范围是
13．直线经过第一、二、四象限，则抛物线不经过第 象限．
14．若函数的图象上至少存在一个点，该点关于轴的对称点落在函数的图象上，则称函数为关联函数，这两个点称为函数的一对关联点．若函数与一次函数（为常数）为关联函数，且只存在一对关联点，则的取值范围是 ．
15．如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为 ．
16．如图，，将线段绕原点O顺时针旋转，线段的中点C恰好落在抛物线上，则 ．
三、解答题
17．已知抛物线．
(1)求抛物线与y轴交点的坐标；
(2)点P在抛物线上，且点P到y轴的距离为1，求点P的坐标．
18．二次函数的图象经过，两点．
(1)当时，判断与的大小．
(2)当时，求的取值范围．
(3)若此函数图象还经过点，且b满足时，求的取值范围．
19．某校准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，且墙长为，另外三边用长为30的篱笆围成．设苗圃园垂直于墙的一边长为，苗圃园的面积为．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)求的最大值．
20．如图，已知抛物线经过点．

(1)求的值及此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围．
21．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与 y轴交于点C，直线与y轴交于点D，交抛物线于E，F两点，点P为线段上一个动点（与E，F不重合），轴与抛物线交于点Q．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当P在什么位置时，四边形为平行四边形 求出此时点P的坐标．
22．抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C，直线经过B，C两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，为边的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标．
(3)如图②，P为直线上方的抛物线上一点，轴交于D点，过点D作于E点．设，求m的最大值．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据解析式得出开口向上，对称轴为直线,顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，即可求解．
【详解】解：关于二次函数，，开口向上，对称轴为直线,顶点坐标为，
当时，y随x的增大而减小，
观察四个选项，选项B符合题意．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系．根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过y轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨m的情况，即可求出答案．
【详解】解：∵二次函数为
∴，
∴二次函数的开口方向向上，
∴排除B选项．
∵一次函数，
∴，
∵一次函数经过y轴正半轴，
∴排除A选项．
当时，则
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数经过y轴正半轴，
∴排除C选项．
当时，则
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数经过y轴负半轴，
∴D选项符合题意．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．先求得抛物线的对称轴为直线，，再进行分类讨论即可解决．
【详解】解：抛物线与x轴的交点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
抛物线的对称轴与直线之间的距离小于或等于1，
抛物线经过两点，
当抛物线的对称轴与直线重合时，，此时取最大值3，
当抛物线的对称轴与直线重合时，，此时取最小值0，
的取值范围是，
故选：B
4．D
【分析】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质．掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”求出新抛物线解析式，进而即得出其顶点坐标．
【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得到的新抛物线解析式为，即，
∴平移后抛物线的顶点坐标为．
故选D．
5．B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式求出水面宽度即可，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴轴通过中点且通过点，则通过画图可得为原点，抛物线以轴为对称轴，且经过、两点，和可求出为的一半为米，抛物线的顶点坐标为，
，
设顶点式为，代入点的坐标，
得出，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当水面下降2.5米时，即当时，，
解得：，
水面的宽度为（米），
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数函数值的大小比较．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得．
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为直线，，
∴当时，随着的增大而减小，
∴点关于对称轴对称的点坐标为，
∵，
∴，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能根据所给图象得出a，b，c的正负并巧妙地利用抛物线的对称性是解题的关键．根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称轴为直线和开口向下，即可解决问题．
【详解】解：由图象可知，，
．故①正确．
抛物线的对称轴是直线，
时与时的函数值相等．
又由图象可知，时，函数值大于0．
时，函数值也大于0．即．故②错误．
抛物线与x轴有两个交点，
，即．故③正确．
抛物线对称轴为直线，
，即，故④正确．
由图象可知时，，
，即．故⑤正确．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查的是二次函数的应用，设同时出发后经过，的面积为，
则，，进而得出的表达式，将其化为顶点式，再结合的取值范围即可得出答案，根据题意列出二次函数是解此题的关键．
【详解】解：设同时出发后经过，的面积为，
则，，
则，
，点的运动速度为，点的运动速度为，
，
，
时，有最大值，即的最大面积为．
故选：C．
9．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解题的关键．根据题干提供信息，写出符合题意的二次函数的解析式即可；
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，
∴该抛物线的解析式的二次项系数为负数，不含一次项，
∴这个二次函数的解析式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
10．
【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，根据二次函数的定义得到，由抛物线的性质得到，由此求得m的值．
【详解】解：∵函数为二次函数，且当时，y随x的增大而增大，
∴，，
整理得：，且，
解得：．
故答案为：．
11．1或3
【分析】本题考查根据二次函数图象确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键．由抛物线图象经过点，对称轴是直线，则抛物线一定经过点关于直线的对称点，从而可得答案．
【详解】解：由二次函数图象可得，
抛物线图象经过点，对称轴是直线，
则抛物线一定经过点关于直线的对称点，
当时，关于x的方程的两个解为：，．
∴方程的解为，；
故答案为：1或3．
12．
【分析】本题主要考查二次函数图像与线段的交点问题，抛物线和线段有公共点可知，当点在抛物线上时，可算出此时的的值，当点在抛物线上时，算出此时的的值，由此即可求解．
【详解】解：抛物线（为常数）和线段有公共点，、，
∴，
∴当点在抛物线上时，，解得，，；
当点在抛物线上时，，解得，，；
∴的取值范围是，
故答案为：．
13．三
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质的性质，关键要知道k和b对图象的决定作用．由直线经过一、二、四象限可分析，由此判定抛物线不经过第三象限．
【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限，
∴，
∴抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，经过原点，
∴抛物线不经过第三象限．
故答案为：三．
14．
【分析】本题考查了新定义，二次函数与一次函数交点问题，轴对称的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
设和是这对函数的关联点，只存在一对关联点，根据题意得出，则关于的方程，有两个相等的实数根，得出，代入代数式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：与函数(，为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，
设和是这对函数的关联点，
∴，
即关于的方程，有两个相等的实数根，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是解答本题的关键．根据图象关于x的不等式的解集就是两个函数的交点的横坐标，以及一次函数的图象在二次函数的图象的上边部分对应的自变量的取值范围．
【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于两点，
根据图象可得关于x的不等式的解集是：．
故答案为：．
16．2
【分析】本题考查了旋转的性质，求二次函数解析式， 根据旋转的性质得出点A和点B绕原点O顺时针旋转后的坐标，根据中点坐标公式，得出点C绕原点O顺时针旋转后的坐标为，将其代入，即可求出a的值．
【详解】解：∵，
∴点A和点B绕原点O顺时针旋转后的坐标为，
∴点C绕原点O顺时针旋转后的坐标为，
把代入得：，
解得：，
故答案为：2．
17．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了求二次函数与y轴的交点坐标，二次函数图象上的点的坐标特点：
（1）求出当时，即可得到答案；
（2）根据到y轴的距离为横坐标的绝对值得到点P的横坐标为，据此求出当时和当时，y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴抛物线与y轴交点的坐标为；
（2）解：∵点P到y轴的距离为1，
∴点P的横坐标为，
在中，当时，，
当时，，
∴点P的坐标为或．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，是解题的关键．
（1）根据，用含的代数式表示，判断函数值大小即可；
（2）将点，代入解析式，根据，列出不等式进行求解即可；
（3）根据对称性，求出，将转化为二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：当时，
，
（2），
又
；
（3）二次函数的对称轴为直线，
∵二次函数经过，两点，
∴，
∴，
，
∵，
∴当，有最小值为2；
当时，有最大值为
．
19．(1)；
(2)108．
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是列出函数解析式并求出自变量的取值范围．
（1）根据题意可以写出y与x的函数关系式即可；
（2）根据墙长，可以求得x的取值范围，然后根据（1）中的函数关系式和函数的性质即可解答本题．
【详解】（1）解：由题意，得，
与的函数关系式是．
（2）解：配方，得．
由题意，得．
解得
时，函数值随自变量的增大而减小．
当时，取得最大值，最大值为108．
20．(1)，
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题．
（1）把点代入，求出的值，再化为顶点式，即可作答．
（2）结合二次函数的性质，以及，即可作答．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点．
∴把代入
得
∴
则
∴顶点坐标为；
（2）解：由（1）知
∴开口向下，在时，
则当时，则
当时，则
则当时，直接写出的取值范围
21．(1)
(2)点P的坐标为
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、平行四边形的判定、解一元二次方程等知识，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据题意可得，当时，四边形是平行四边形．求出．则．设，则，再由得到方程，求出m的值，再进一步分析解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图所示，
∵轴，
∴当时，四边形是平行四边形．
∵当时，，
∴．
∴．
设，则．
∴，
解得．
当时，点P与点D重合，不能构成平行四边形，
∴．
∴点P的坐标为．
22．(1)
(2)点N坐标为或
(3)
【分析】（1）利用直线经过、两点，先求出点、的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）求出点A坐标，然后分为平行四边形的边和对角线讨论，即可得出答案；
（3）根据表达式，设出点坐标，，用含的代数式分别表达出线段、，转化成关于的二次函数，再求的最大值即可．
【详解】（1）解：在直线中，当时，；
当时，即，
解得：；
，，
点，在抛物线上，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为：，
当时，即，
解得：，，
∴，
设点，点，
①当为平行四边形的边时，和为对角线，
∴，
解得：，
∴；
②当为平行四边形的边时，和为对角线，
∴，
解得：
∴，
综上：点N的坐标为：或；
（3）如图1，连接，延长交轴于，
轴，
轴，

设，，
，
，且，，，
，
，
，
∵，
∴，
当时，有最大值是．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，坐标与图形性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象和性质，正确分类讨论是解题的关键．
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