冲刺2024年高考数学模拟卷01（上海专用）（含答案）

冲刺2024年高考数学模拟卷01（上海专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合，集合，则 ．
2．在复平面内，点对应的复数z，则
3．函数的定义域为 .
4．已知抛物线的准线方程为，则其标准方程为 ．
5．参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分）依次如下：56、70、91、98、79、80、81、83、84、86、88、90、72、94、78，则这15人成绩的第80百分位数是 ．
6．已知一个半径为4的扇形圆心角为，面积为，若，则 ．
7．展开式的常数项为 .（用最简分数表示）
8．等比数列的前项和为，且，，成等差数列,若，则 .
9．记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
10．若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是 .
11．如图，已知，是相互垂直的两条异面直线，直线与，均相互垂直，且，动点，分别位于直线，上，若直线与所成的角，三棱锥的体积的最大值为 .
12．定义函数如下：对于实数，如果存在整数，使得，则，已知等比数列的首项，且，则公比的取值范围是 .
二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.
13．，，，，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，随机选取了4天的用电量与当天气温，由散点图可知用电量y（单位：度）与气温x（单位：℃）之间具有相关关系，已知，，由数据得线性回归方程：，并预测当气温是5℃的时候用电量为（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
15．已知点为的外心，且，则为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
16．已知奇函数及其导函数的定义域均为，且对一切成立．关于数列，，…，有以下两个论断：①存在，使得数列中恰有112项为1；②存在，使得数列中恰有448项为0．则（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
如图，平面，四边形为直角梯形，.

(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求二面角的余弦值.
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数，写出函数的单调递增区间并用定义证明.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，）
每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450
天数 10 10 5
(1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；
(2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望．
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分6分.
在平面直角坐标系中，若椭圆的左 右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点.
（1）求的周长；
（2）在轴上任取一点，直线与直线相交于点，求的最小值；
（3）设点在椭圆上，记与的面积分别是，，若，求点的坐标.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题i满分4分，第1小题ii满分6分，第2小题满分8分.
设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质.
(1)设函数，其中为实数.
（ⅰ）判断函数是否具有性质，请说明理由；
（ⅱ）求函数的单调区间.
(2)已知函数具有性质.给定，，设为实数，，，且，，若，求的取值范围.
冲刺2024年高考数学模拟卷01（上海专用）
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．
2．
3．
4．
5．90.5
6．/0.5
7．
8．15．
9．2（满足皆可）
10．
11．/
12．
二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.
13 14 15 16
A B C A
三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据可得异面直线所成的角，利用直角三角形求解即可；
（2）以点为坐标原点，建立坐标系，再由向量法得出二面角的余弦值.
【解析】（1）由，
则异面直线与所成角即为，
由题意知，平面，又平面，
故，所以，即，
即异面直线与所成角为.
（2）因为平面，平面，
所以，又，，
所以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：

则，
则，
设平面的法向量为，
则，取，得，得，
取平面的法向量为，
设二面角的大小为，由图形知，为锐角，
所以，
所以二面角的余弦值为.
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
【答案】(1)答案见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）分、两种情况， 利用函数奇偶性的定义判断出结果；
（2）求得，可以确定的单调递增区间为，之后利用函数单调性证明即可.
【解析】（1）当时，，
定义域为， 任选，都有，
所以时函数为偶函数；
当，
则；
时函数既非奇函数又非偶函数；
（2）函数的单调递增区间为.
证明：，
任取且，
，
由于，则；
由于，则；
所以，即.
函数的单调递增区间为.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
【答案】(1)
(2)的分布列见解析，
【分析】（1）由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解；
（2）根据题意，得到随机变量的可能值为，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解．
【解析】（1）解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为．
（2）解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，
随机变量的可能值为，
可得：，
，
，
所以随机变量的分布为：
0 1 2
所以的数学期望．
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分6分.
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【分析】（1）由椭圆方程的性质可求的周长；（2）设，求出直线方程，解出点坐标，计算，利用二次函数求出最下值；（3）由题意可知：到直线距离是到直线距离的3倍，求出的值，则点的坐标为与直线平行的直线和椭圆的交点，求出直线方程与椭圆联立可解出点.
【解析】解：（1）由椭圆方程可知：.
所以的周长为；
（2）由椭圆方程得，设，则直线方程为，
又，所以直线与的交点为，
，
当时，
（3）若，设到直线距离，到直线距离，
则，即，，，
可得直线方程为，
所以，.
由题意得，点应为与直线平行且距离为的直线与椭圆的交点，
设平行于的直线为，与直线的距离为，求得或，
当时，直线为，联立方程： ，可得，解得或，
当时，直线为，联立方程： 可得：，此时方程无解.
综上所述，点坐标为或.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题i满分4分，第1小题ii满分6分，第2小题满分8分.
【答案】(1)（i）函数具有性质，理由见解析；（ii）答案见解析
(2)
【分析】（1）（i）对求导，可得恒成立，即可证明函数具有性质；（ii），与的符号相同，分，，和，讨论的正负，即可得出函数的单调区间；
（2）对求导，，分析可知其在恒成立，分，和三种情况讨论求解m的取值范围．
【解析】（1）（i）函数具有性质，理由如下，
，
因为，恒成立，所以函数具有性质；
（ii）设，与的符号相同.
当即时，，，
故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，的图象开口向上，对称轴，而，
对于，总有，，所以此时在区间上递增；
当时，的图象开口向上，对称轴，方程的两根为：
，且，，
当时，，，此时在区间上递减；
同理得：在区间上递增.
综上所述：当时，在区间上递增；
当时，在区间上递减，在上递增；
（2）由题意，得：，
又对任意的都有，
所以对任意的都有，在上递增，
又，
当时，，且，
所以，所以或，
若，则，
所以不合题意，
所以，即，解得：，，
当时，，，符合题意.
当时，，且，
同理有，即，解得：，，
综上所述，所求m的取值范围时.
试卷第2页，共22页