冲刺2024年高考数学模拟卷02（上海专用）（含答案）

冲刺2024年高考数学模拟卷02（上海专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。
1、已知集合S＝，T＝{x|x＝4t＋1，t∈Z}，则两集合间的关系是：T S；
2、已知向量，向量，则
3、不等式的解集为
4、已知圆，其面积是，则
5、已知事件 相互独立，事件是的对立事件，且，，
则
6、已知x>2，则y＝x＋的最小值为________．
7、若200辆汽车通过某段公路时的速度频率直方图如图所示，则速度在区间内的汽车大约有 辆；
8、已知，其中，
若存在，使得成立，则的最大值是 。
9、已知函数，则不等式的解集是
10、某三位数密码，每位数字可在这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是
11、若|z1－z2|＝1，则称z1与z2互为“邻位复数”．已知复数z1＝a＋i与z2＝2＋bi互为“邻位复数”，a，b∈R，则a2＋b2的最大值为
12、已知正方体的棱长为2，动点在正方形内，则下列正确命题的序号是
①若，则三棱锥的的外接球表面积为
②若平面，则不可能垂直
③若平面，则点的位置唯一
④若点为中点，则三棱锥的体积是三棱锥体积的一半
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13、已知定义在R上的函数f(x)，若f(x)是奇函数，f(x＋1)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2 021)＝（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．2 0192
14、为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
15、设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线（ ）
A．有无数条 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
16、已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，PA＝AB＝2CD＝2，∠ADC＝90°，E，F分别为PB，AB的中点．
（1）求证：CE∥平面PAD；
（2）求点B到平面PCF的距离.
18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
（1）证明：A＝2B；
（2）若△ABC的面积S＝，求角A的大小.
19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离(单位：米)分别为d0，d1，d2，d3，如图所示.当车速为v(单位：米/秒)，且v∈(0，33.3]时，通过大数据统计分析得到表中给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，k∈[1，2]).
阶段 准备 人的反应 系统反应 制动
时间 t0 t1＝0.8秒 t2＝0.2秒 t3
距离 d0＝10米 d1 d2 d3＝米
（1）请写出报警距离d与车速v之间的函数关系式，并求出当k＝1，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间(精确到0.1秒)；
（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度限制在多少千米/时内？
20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知、分别为椭圆的左、右焦点，且右焦点的坐标为，点在椭圆上，为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程；
（3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为，（，不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，那么是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．
已知定义在上的函数的导函数为，若对任意恒成立，则称函数为“线性控制函数”；
（1）判断函数和是否为“线性控制函数”，并说明理由；
（2）若函数为“线性控制函数”，且在上严格增，设为函数图像上互异的两点，设直线的斜率为，判断命题“”的真假，并说明理由；
（3）若函数为“线性控制函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意都有.
冲刺2024年高考数学模拟卷02（上海专用）
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。
1. T S 2. 4 3. 4.
5. 6.6 7. 8.49
9. 10. 11.8＋2 12.③④
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案.
13 14 15 16
B C A A
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
【解析】（1）证明　连接EF(图略)，
∵E，F分别为PB，AB的中点，∴EF∥PA，
∵直线EF不在平面PAD内，PA 平面PAD，∴EF∥平面PAD，
∵AB∥CD，AB＝2CD，∴AF∥CD，且AF＝CD.
∴四边形ADCF为平行四边形，即CF∥AD，
∵直线CF不在平面PAD内，AD 平面PAD，∴CF∥平面PAD，
∵EF∩CF＝F，EF，CF 平面EFC，
∴平面PAD∥平面EFC，CE 平面EFC，则CE∥平面PAD.
（2）方法1：设到平面的距离为，
因为平面，所以，
由于，所以四边形是平行四边形，
由于，所以，由于，
所以平面，则，
由得，
即；
方法2：∵∠ADC＝90°，AB∥CD，∴AB⊥AD，CF⊥AB，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CF，又PA∩AB＝A，∴CF⊥平面PAB，∴CF⊥PF.
设CF＝x，则S△AFC＝×1×x＝，S△PFC＝××x＝x，
设点A到平面PCF的距离为h，由VP－AFC＝VA－PFC，
得××2＝××h，则h＝.
∵点F为AB的中点，∴点B到平面PCF的距离等于点A到平面PCF的距离，为；
18、【解析】（1）证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
（2）由S＝，得absin C＝，故有
sin Bsin C＝sin 2B＝sin Bcos B，
因为sin B≠0，所以sin C＝cos B，
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝；
19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
【解析】（1）由题意得d(v)＝d0＋d1＋d2＋d3，
所以d(v)＝10＋0.8v＋0.2v＋＝10＋v＋.
当k＝1时，d(v)＝10＋v＋，
设汽车撞上固定障碍物的时间与车速v的函数关系为t(v)，
则t(v)＝＋＋1≥1＋2＝1＋2×≈2.4(秒)，
当且仅当＝，即v＝10时，取等号.
故所求最短时间约为2.4秒.
（2）根据题意得，对于任意k∈[1，2]，d(v)<50恒成立，
即对于任意k∈[1，2]，10＋v＋<50，即<－恒成立，
等价于－>，k∈[1，2].
由k∈[1，2]，得∈.
所以－>，所以v2＋20v－800<0，
解得－40所以00)，
20×＝72(千米/时)，
所以汽车的行驶速度应限制在72千米/时内.
20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
【解析】（1）椭圆的右焦点的坐标为，椭圆的左焦点的坐标为，
由椭圆的定义得，所以，，
，，由题意可得，即，
即椭圆的方程为；
（2）直线与椭圆的两个交点坐标为，，
①当直线垂直轴时，方程为：，代入椭圆可得，，则，不合题意，舍去；
②当直线不垂直轴时，设直线
联立，消得，，
则，，
恒成立.
，
又，则，
化简得，，即，解得或（舍去），
所以，直线方程的方程为或.
（3）
是定值，定值为2.
设点，，，连接，，
，，则有，.
，不在坐标轴上，则，，
则，，
直线的方程为，即，①
同理直线的方程为，②，
将点代入①②，得，
显然，满足方程，
直线的方程为，
分别令，，得到，，，，
又满足，，即.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．
【解析】（1），故是“线性控制函数”；
，故不是“线性控制函数”；
（2）命题为真，理由如下：
设，其中
由于在上严格增，故，因此
由于为“线性控制函数”，故，即
令，故，因此在上为减函数
，
综上所述，，即命题“”为真命题.
（3）根据（2）中证明知，对任意都有
由于为“线性控制函数”，故，即
令，故，因此在上为增函数
因此对任意都有，即
当时，则恒成立
当时，
若，则，故
若时，则存在使得
故，因此
综上所述，对任意都有；
（事实上，对任意都有，此处不再赘述）.
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