冲刺2024年高考数学模拟卷03（上海专用）（含答案）

冲刺2024年高考数学模拟卷03（上海专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4分）若关于x的不等式|x+1|＜6﹣|x﹣m|的解集为 ，则实数m的取值范围是　 　．
2．（4分）在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝60°，M为△ABC的外心，若，λ，μ∈R，则＝　 　．
3．（4分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝2n+1+λ，则实数λ的值是　 　．
4．（4分）已知tan（π+α）＝2，则sin2α＝　 　．
5．（4分）若函数y＝的值域为{y|y≠2}，则实数a的值为　 　．
6．（4分）设复数2﹣i和3﹣i的辐角主值分别为α，β，则α+β＝　 　
7．（5分）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a＝0表示圆，则a＝　 　．
8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝4，则cosA＝　 　，△ABC的面积是　 　．
9．（5分）已知一组数据为﹣3，5，7，x，11，且这组数据的众数为5，那么该组数据的中位数是　 　．
10．（5分）若多项式x2+x10＝a0+a1（x+1）+ +a9（x+1）9+a10（x+1）10，则a3＝　 　．
11．（5分）已知△ABC的边AC＝2，且，则△ABC的面积的最大值为 　 　．
12．（5分）下列命题中：
（1）两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；
（2）夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；
（3）利用斜二测画法画平行四边形的直观图，直观图可能是梯形；
（4）存在四个面都是直角三角形的三棱锥．
说法正确的有 　 　个．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13．（4分）设集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P Q中元素的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．（4分）对三组数据进行统计，获得以下散点图．关于其相关系数依次是r1，r2，r3，则它们的大小关系是（　　）
A．r1＞r3＞r2 B．r1＞r2＞r3 C．r2＞r1＞r3 D．r3＞r1＞r2
15．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）在区间[0，]上的最大值为，则实数ω的取值个数最多为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．（5分）若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解”是真命题，则下列命题中是真命题的为（　　）
A．方程f（x，y）＝0表示的曲线是C
B．方程f（x，y）＝0是曲线C的方程
C．方程f（x，y）＝0的曲线不一定是C
D．以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上
三、解答题（本大题共有6题，满分78分）
17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，PB＝PD＝2，PA＝，E为PA的中点．
（1）证明：PC∥平面BED；
（2）求三棱锥P﹣BCE的体积；
（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
18．（14分）已知f（x）＝．
（1）判断并证明函数y＝f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数y＝f（x）在区间（2，+∞）上的单调性；
（3）根据函数y＝f（x）的性质，画出函数y＝f（x）的大致图像．
19．（14分）某商场计划在国庆节开展促销活动，准备了游戏环节，主持人准备一枚质地均匀的骰子，掷到奇数和偶数的概率各为，游戏要求顾客掷2n（n∈N*）次骰子，每次记录下点数为奇数还是偶数．
（1）若正好有n次的点数为偶数，则顾客获得一个价值50元的红包作为顾客，你认为n＝1和n＝2哪种情况更有利于你获得红包？
（2）投掷2n次骰子后，若掷出偶数的次数多于奇数，则顾客获得一张100元的消费券；掷出偶数的次数等于奇数，则顾客获得一张50元的消费券；掷出偶数的次数少于奇数，则顾客获得一张10元的消费券．
（ⅰ）当n＝2时，记顾客获得的消费券为X元，求随机变量X的数学期望；
（ⅱ）记“掷2n次骰子，掷出偶数的次数多于奇数”的概率为Pn，求Pn（直接写出Pn表达式即可）
20．（18分）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；
（2）若直线y＝kx+b与抛物线C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，准线l与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求|FT|的取值范围．
21．（18分）设函数．
（1）求函数f3（x）在点（1，f3（1））处的切线方程；
（2）证明：对每个n∈N*，存在唯一的，满足fn（xn）＝0；
（3）证明：对于任意p∈N*，由（2）中xn构成的数列{xn}满足．
冲刺2024年高考数学模拟卷03（上海专用）
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. （﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）　．2. 　7　3. ﹣2　 4. 　　．5. 　2　6. 　　
7. 　﹣1　8. 　　，　　9. 　5　．10. 　﹣120　11. 　　．12. 　1　
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13 14 15 16
D A B C
三、解答题（本大题共有6题，满分78分）
17．（14分）（1）证明：如图，连接AC，交于BD于O点，连接EO，易知O为AC中点．
∵E为PA的中点，∴EO∥PC．∵EO 平面BED，PC 平面BED，
∴PC∥平面BED．
（2）解：因为E是PA的中点，所以V三棱锥P﹣BCE＝V三棱锥C﹣PEB＝V三棱锥C﹣PAB＝V三棱锥B﹣APC．
∵∠BAD＝60°，知△ABD为等边三角形，
又因为PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD，
∴，
又，即PO⊥AC，
故．
∵底面ABCD是菱形，∴BO⊥AC，
又O为等边三角形PBD的边BD的中点，故BO⊥PO，
而PO∩AC＝O，PO，AC 平面APC，
∴BO⊥平面APC．
∴．
（3）解：如图，过点A作AM⊥PB，垂足为M，连接CM．
∵PO⊥AC，O为AC中点，∴PA＝PC．
又AB＝BC，PB＝PB，∴△ABP≌△CBP．
∴AM＝CM，CM⊥PB，故∠AMC为二面角A﹣PB﹣C的平面角．
∵，
由，得．
∵，
在△AMC中，，
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．
18．（14分）解：（1）f（x）＝为偶函数，
证明：f（x）＝，其定义域为{x|x≠±2}，
f（﹣x）＝＝f（x），故f（x）为偶函数；
（2）f（x）＝在（2，+∞）上的单调递增，
证明：设2＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，
由于2＜x1＜x2，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，
则函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，
（3）函数f（x）的图象如图：
19．（14分）解：（1）掷2次骰子，掷出1次偶数的概率为，
掷4次骰子，掷出2次偶数的概率为，
所以n＝1更有利于顾客获得红包．
（2）（ⅰ）当n＝2时，记顾客获得的消费券为X元，X可取10，50，100．
当掷出2次偶数时，2次奇数时，X＝50，所以P（X＝50）＝；
当掷出4次偶数，或者3次偶数1次奇数时，X＝100，所以P（X＝100）＝（）4+＝；
当掷出4次奇数，或者3次奇数1次偶数时，X＝10，所以P（X＝10）＝（）4+＝，
所以随机变量X的数学期望是50×+100×+10×＝．
（ⅱ）掷出偶数的次数等于奇数的概率为＝，又掷到奇数和偶数的概率各为，
所以掷出偶数的次数多于奇数的概率等于掷出偶数的次数少于奇数的概率，所以Pn＝（1﹣）＝﹣．
20．（18分）解：（1）由对称性可知：∠BFD＝90°，FS＝BS＝DS＝p，
设A（xA，yA），由焦半径可得：，
，
解得：p＝2，
圆F的方程为：x2+（y﹣1）2＝8．
（2）由题意得：直线PQ的斜率一定存在，其中，
设关于直线PQ的对称点为T（m，n），
则，解得：，
联立y＝kx+b与x2＝2py得：x2﹣2pkx﹣2pb＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1+x2＝2pk，x1x2＝﹣2pb，
则，
则，
﹣2pb（1+k2）+2pk2b+b2＝﹣2pb+b2＝0，
解得：b＝0（此时O与P或Q重合，舍去）或b＝2p，
所以
＝∈（p，4p]．
21．（18分）解：（1），所以，
所以，
又，
所以函数f3（x）在点（1，f3（1））处的切线方程为，即；
（2）证明：对每个n∈N*，当x＞0时，
由函数，
可得，
故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
由于f1（1）＝0，当n≥2时，，即fn（1）＞0．
又＝，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足fn（xn）＝0；
（3）证明：对于任意p∈N*，由（1）中xn构成数列{xn}，当x＞0时，
∵，
∴fn+1（xn）＞fn（xn）＝fn+1（xn+1）＝0．
由fn+1（x）在（0，+∞）上单调递增，
可得xn+1＜xn，即xn﹣xn+1＞0，
故数列{xn}为减数列，
即对任意的n、p∈N*，xn﹣xn+p＞0．
由于 ①，
②，
用①减去②并移项，利用0＜xn+p≤1，可得
．
综上可得，对于任意p∈N*，由（1）中xn构成数列{xn}满足．
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