冲刺2024年高考数学模拟卷04（上海专用）（含答案）

冲刺2024年高考数学模拟卷04（上海专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合，集合，则 ．
2．在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则 ．
3．函数的单调增区间为 ．
4．已知（为正整数）的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则 ．
5．在平行四边形中，，．若，则 ．
6．已知函数，其中，则曲线在点处的切线方程为 ．
7．下列说法中正确的有 （填正确说法的序号）．
①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4；
②已知随机变量，且，则；
③若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱；
④若事件A，B满足，，，则有．
8．已知数列满足，，，则数列的前项积的最大值为 ．
9．两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为 ．
10．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
11．已知半径为3和5的两个圆和内切于点，点分别在两个圆和上，则的范围是 ．
12．已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是 ．
二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.
13．下列函数中，在定义域内不是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
14．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
15．已知平面所成角为为两平面外一点，则过点且与平面所成角均为的直线有（ ）条.
A．1 B．2 C．3 D．4
16．若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题:
（1）数列是某个数列的“衍生数列”；
（2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（ ）.
A．（1）（2）均为真命题
B．（1）（2）均为假命题
C．（1）为真命题，（2）为假命题
D．（1）为假命题，（2）为真命题
三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的大小.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：
假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响．
(1)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X，估计X的数学期望；
(2)从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20户数，比较方差与的大小．
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分6分.
如图，已知椭圆：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点．

(1)求椭圆的方程；
(2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；
(3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分.
已知函数（ ）．
(1)当a=2，b=0时，求函数图象过点的切线方程；
(2)当b=1时，既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围；
(3)当，b=1时，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数k的取值范围．
冲刺2024年高考数学模拟卷04（上海专用）
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．
2．
3．
4．
5．/
6．
7．①②④
8．1
9．
10．9
11．
12．
二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.
13 14 15 16
A B C B
三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
令，则
所以，单调减区间是.
（2）由得：
，即，
由于，所以.
在中，，
，
于是，则，，
，所以.
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由题设知为等边三角形，设圆锥底面半径为1，
则，所以，
又为等边三角形，则，即为等腰直角三角形，故
同理，又，平面，平面,所以平面；
（2）过O作交于点，因为平面，以O为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，
可求得平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为
故，
二面角为锐角，故其大小为.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.
【答案】(1)1；
(2).
【解析】（1）由茎叶图知，A组三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的有3户，从A组随机抽取1户，网购生鲜蔬菜次数大于20的概率，
B组三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的有7户，从B组随机抽取1户，网购生鲜蔬菜次数大于20的概率，
的可能值为0，1，2，
，，
所以X的数学期望.
（2）由（1）知，的可能值为0，1，2；的可能值0，1，2，显然、均服从超几何分布，
，
，；
，
，，
所以.
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分6分.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定值为1；
(3).
【解析】（1）令椭圆的半焦距为c，依题意，，，解得，则，
所以椭圆的方程为.
（2）显然直线不垂直于坐标轴，设的方程为，设，
由消去x得：，，
则，而C是AB的中点，即有，于是，
满足，因此，
所以点C的横坐标是定值，该定值为1.
（3）由直线过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，得直线和直线l的斜率互为相反数，
则由（1）得直线的方程为，即，
由消去x得：，，
设，则，
，点到直线：的距离，
由C是AB的中点得的面积，
令，则，当且仅当，即时取等号，
所以当时，的面积取得最大值，此时.
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）当时，，
所以切线方程为，即为．
（2），
一方面，因为函数既存在极大值，又存在极小值，
则必有两个不等的实根，则，
由可得，且，解得且；
另一方面，当且时，不妨考虑的情形，列表如下：
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
可知分别在取得极大值和极小值，符合题意．
综上，实数的取值范围是．
（3）由，可得，列表如下：
0
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
所以在取得极大值；
在取得极小值，
由题意可得对任意的恒成立，
由于此时，则，
所以，则，
构造函数，其中，
则，
令，则．
①当，即时，在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
②当，即时，设方程的两根分别为，
则，设，
则当时，，则在上是严格减，
所以当时，，即，不合题意．
综上所述，的取值范围是．
试卷第2页，共22页