冲刺2024年高考数学模拟卷05（上海专用）（含答案）

冲刺2024年高考数学模拟卷05（上海专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．集合A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|x2﹣ax+b＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，则ab＝　 　．
2．已知（1+2i）z＝3﹣4i（其中i为虚数单位），则|z|＝　 　．
3．长轴长为4且一个焦点为F（1，0）的椭圆的标准方程是 　 　．
4．请写出一个函数f（x）＝　 　使之同时具有如下性质：
（1）函数f（x+2）为偶函数；
（2）f（x）的值域为[0，+∞）．
5．已知lg（x+2y）＝lgx+lgy，则2x+y的最小值为 　 　．
6．已知{an}是公比为q（q＞0））的等比数列，且a2、a4、a6成等差数列，则q＝　 　．
7．已知向量和向量，则在上的投影向量的坐标为：　 　．
8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为正方形BCC1B1的中心，则直线EF与侧面BB1C1C所成角的正切值是 　 　．
9．某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温z（单位：）之间有如表数据：
x/℃ ﹣2 ﹣1 0 1 2
y/百元 5 4 2 2 1
甲、乙、丙3位同学对上述数据进行了分析，发现y与x之间具有线性相关关系，他们通过计算分别得到3个线性回归方程：①＝﹣x+2.8：②＝﹣x+3；③J＝﹣1.2x+2.6．其中正确的序号是　 　．
10．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），随机变量η服从标准正态分布N（0，1），若P（η＜1）＝P（ξ＜4）＝a，则P（1＜ξ＜1+σ）＝　 　．（用字母a表示）
11．已知tanα，是关于x的方程x2﹣kx+k2﹣3＝0的两个实根，且，则k＝　 　，sinα cosα＝　 　．
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝btanA，且B为钝角，则B﹣A＝　 　；sinA+sinC的取值范围是 　 　．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13．若直线l的方向向量为＝（1，0，2），平面α的法向量为＝（﹣2，0，﹣4），则直线l与平面α的关系为（　　）
A．垂直 B．平行 C．斜交 D．l在α内
14．如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，OA⊥OB，C是弧AB上的动点，过点C作CH⊥OA，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且OH＝2OD，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（　　）
A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元
15．点（2，4）关于直线x﹣2y+1＝0对称的点的坐标为（　　）
A．（4，0） B．（3，2） C．（2，1） D．（﹣1，﹣1）
16．已知函数y＝f（x），其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．在（﹣∞，1）上为减函数
B．在（2，4）上为增函数
C．在x＝3处取极大值
D．f（x）的图象在点x＝1处的切线的斜率为0
三、解答题（本大题共有6题，满分78分）
17．已知数列{an}满足．
（1）设bn＝a2n﹣1，证明：数列{bn+1}为等比数列；
（2）求数列{nbn}的前n项和Sn．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，底面ABCD是边长为2的正方形，点E在棱PC上，CE＝2PE．
（1）证明：平面BDE⊥平面ABCD；
（2）当直线DE与平面PBD所成角最大时，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2且双曲线E经过点．
（1）求双曲线E的方程；
（2）过点P（2，1）作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足，求证：点H恒在一条定直线上．
20．某市设有12个监测站点监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有3，6，3个监测站点，以这12个站点测得的AQI的平均值为依据，播报该市的空气质量．
（1）若某日播报的AQI为120，已知轻度污染区AQI的平均值为80，中度污染区AQI的平均值为116，求重度污染区AQI的平均值；
（2）如图是2018年9月的30天中，AQI的概率分布直方图，其中分段区间分别为[48，72），[72，96），[96，120），…，[216，240），9月份仅有1天的AQI在[144，150）内．
①该市市民小孟总是星期日查看官方公布的本市的AQI，如果AQI小于150，小孟就去体育馆踢球，以统计数据中的频率为概率，求小孟星期日去踢球的概率；
②“双创”活动中，验收小组把该市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于150的天数为X，求X的分布列及数学期望．
21．已知函数．（其中a为常数）．
（1）若a＝﹣2，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当a＜0时，求函数y＝f（x）的最小值；
（3）当0≤a＜1时，试讨论函数y＝f（x）的零点个数，并说明理由．
冲刺2024年高考数学模拟卷05（上海专用）
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1.30 . 2　　． 3.　＝1　． 4.（x﹣2）2（答案不唯一）
5.　9 6.　1　 7.　 8.　　
9.　① 10.　． 11.　2　 12.（]　
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13 14 15 16
A D A B
三、解答题（本大题共有6题，满分78分）
17．（14分）【解答】（1）证明：＝，
∴bn+1＝a2n+1＝a2n+1＝a2n﹣1+1+1＝2a2n﹣1+1＝2bn+1，
∴bn+1+1＝2（bn+1），
又∵b1+1＝a1+1＝2≠0，
∴数列{bn+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）解：由（1）知，∴，∴，
∴Sn＝1×2+2×22+3×23+……+n×2n﹣（1+2+3+……+n）
令Tn＝1×2+2×22+3×23+……+n×2n ①，
∴2Tn＝1×22+2×23+3×24+……+n×2n+1 ②，
①﹣②得：﹣Tn＝2+22+23+……+2n﹣n×2n+1＝﹣n×2n+1＝（1﹣n）2n+1﹣2，
∴Tn＝（n﹣1）2n+1+2，
又∵1+2+3+……+n＝，
∴Sn＝（n﹣1）2n+1﹣+2．
18．（14分）【解答】（1）证明：取AD中点O，连结OP，连结OC交BD于点F，连结EF．
在△PAD中，因为PA＝PD，所以PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，PO 面PAD，所以PO⊥平面ABCD，
因为AB 平面ABCD，所以PO⊥AB．
因为△ODF∽△CBF，所以，又CE＝2PE，
所以，所以EF∥PO，
所以EF⊥AD，EF⊥AB．
因为AB，AD 面ABCD，AB∩AD＝A，
所以EF⊥平面ABCD，因为EF 面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD．
（2）解：以O为坐标原点，OA，OP为x，z轴，过O平行于AB的直线为y轴建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（1，0，0），D（﹣1，0，0），B（1，2，0），C（﹣1，2，0），
设P（0，0，h），
因为，，，
设平面PBD的法向量＝（x，y，z），
则，，
令x＝h，则y＝﹣h，z＝﹣1，
所以＝（h，﹣h，﹣1）．
设直线DE与平面PBD所成角为θ，，
所以＝，
当且仅当h＝1时等号成立，因为y＝sinθ在上也是单调增函数，所以当h＝1时，直线DE与平面PBD所成角最大，
此时．
综上，直线DE与平面PBD所成角最大时，四棱锥P﹣ABCD的体积为．
19．（14分）【解答】解：（1）|F1F2|＝2，
则c＝，
，
2a＝|AF1|﹣|AF2|＝，解得a＝1，
b2＝c2﹣a2＝2，
故双曲线E的方程为；
（2）证明：设H（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，即①，，
设＝λ，
则（λ≠1），即，
故，④，
将①②代入④，则⑤，
将③代入⑤，则2[（1﹣λ2）2x﹣（1﹣λ2）]＝（1﹣λ2）y，即4x﹣2＝y，
故点H恒在定直线4x﹣y﹣2＝0．
20．（18分）【解答】（1）设重污染区AQI的平均值为x，
则80×3+116×6+3x＝120×12，解得x＝168，
即重污染区AQI的平均值为168．
（2）①由题意知，AQI在[144，150）内的天数为1，
由频率分布直方图可知，AQI在[48，144）内的天数为×24×30＝17，
故2018年9月份的30天中AQI小于150的天数为1+17＝18，
又，
则小孟星期日去踢球的概率为．
②由题意知，X服从参数为N＝30，M＝12，n＝3的超几何分布，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
＝，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望．
21．（18分）【解答】（1）解：当a＝﹣2时，可得，
可得，所以f′（2）＝2且f（2）＝4﹣2ln2，
所以切线方程为y﹣（4﹣2ln2）＝2（x﹣2），即2x﹣y﹣2ln2＝0，
所以曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为2x﹣y﹣2ln2＝0．
（2）解：由函数，可得函数f（x）的定义域为（0，+∞），
又由，令f′（x）＝0，解得x1＝a，x1＝1，
当a＜0时，f（x）与f′（x）在区间（0，+∞）的情况如下表：
x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） ﹣ 0 +
f（x） ↓ 极小值 ↑
所以函数的极小值为，也是函数f（x）的最小值，
所以当a＜0时，函数f（x）的最小值为；
（3）解：当a＝0时，，令f（x）＝0，解得x1＝2，x2＝0（舍去）所以函数y＝f（x）在（0，+∞）上有一个零点；
当0＜a＜1时，f（x）与f′（x）在区间（0，+∞）的情况如下表：
x （0，a） a （a，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑
所以函数f（x）在（0，a）单调递增，在（a，1）上单调递减，
此时函数f（x）的极大值为，
所以函数y＝f（x）在（0，1）上没有零点；
又由且函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
且当x→+∞时，f（x）→+∞，
所以函数f（x）在（1，+∞）上只有一个零点，
综上可得，当0≤a＜1时，f（x）在（0，+∞）上有一个零点．
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