冲刺2024年高考数学模拟卷06（上海专用）（含答案）

冲刺2024年高考数学模拟卷06（上海专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4分）集合，，若，3，，，则　　．
2．（4分）已知是公比为的等比数列，且、、成等差数列，则　　．
3．（4分）若复数满足是虚数单位），则　　．
4．（4分）若，，，四点中恰有三点在椭圆上，则椭圆的方程为　　．
5．（4分）已知，，则　　．
6．（4分）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的值为 　　．
7．（5分）已知函数是偶函数，则的值域是　　．
8．（5分）已知，向量为单位向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 　　．
9．（5分）已知一组数据的回归直线方程为，且，发现有两组数据，的误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线方程为，则当时，　　．
10．（5分）如图，在正方体中，
（Ⅰ）与平面所成角的大小为 　　；
（Ⅱ）与平面所成角的大小为 　　；
（Ⅲ）与平面所成角的大小为 　　．
11．（5分）设某车间的类零件的厚度（单位：服从正态分布，且．若从类零件中随机选取200个，则零件厚度小于的个数的方差为 　　．
12．（5分）已知，，，则的最小值为 　　．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13．（4分）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是　　
A．，2，，，0， B．，3，，，0，
C．，2，，，， D．，，，，3，
14．（4分）如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为　　
A． B． C． D．
15．（5分）在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为　　
A． B． C． D．
16．（5分）已知是偶函数的导函数，（1）．若时，，则使得不等式成立的的取值范围是　　
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有6题，满分78分）
17．（14分）数列中，，且．
（1）证明：数列为等比数列，并求出；
（2）记数列的前项和为．若，求．
18．（14分）如图，半圆所在的平面与矩形所在平面垂直，是半圆弧上一点（端点除外），是半圆的直径，，．
（1）求证：平面平面；（2）是否存在点，使得二面角的正弦值为？若存在，求四棱锥的体积；若不存在，说明理由．
19．（16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，离心率为2，且过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设过原点的直线在第一、三象限内分别交双曲线于，两点，过原点的直线在第二、四象限内分别交双曲线于，两点，若直线过双曲线的右焦点，求四边形面积的最小值．
20．（16分）2022年初，新冠疫情在辽宁葫芦岛市爆发，市某慈善机构为筹措抗疫资金，在民政部门允许下开设“疫情无情人有情”线上抽奖活动，任何人都可以通过捐款的方式参加线上抽奖．在线上捐款后，屏幕上会弹山抽奖按钮，每次按下按钮后将会随机等可能的出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字中的一个．规定：若出现“利”字，则抽奖结束．否则重复以上操作，最多按4次．获奖规则如下：依次出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，获一等奖；不按顺序出现这四个字，获二等奖；出现“抗”“疫”“胜”三个字为三等奖．
（1）求获得一、二、三等奖的概率；
（2）设按下按钮次数为，求的分布列和数学期望．
21．（18分）已知函数，，．
（1）当时，曲线在处的切线与直线平行，求函数在，上的最大值；
（2）当，时，证明：（b）（a）．
冲刺2024年高考数学模拟卷06（上海专用）
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 30 2.　1 3. 　　 4. 　
5. 　　 6. 　2　 7. 　，　 8. 　　
9. 　5　 10. （Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
11. 　32　　 12.　
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13 14 15 16
C A B C
三、解答题（本大题共有6题，满分78分）
17．（14分）解：（1）因为，
则，且，
所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列，
故，可得；
（2）因为，即，
当时，则，解得；
当时，则，
两式相减得：，整理得，
所以
，
即．
18．（14分）解：（1）证明：半圆所在的平面与矩形所在平面垂直，
又，又半圆所在的平面与矩形所在平面的交线为，
且面，
垂直半圆所在的平面，又在半圆所在的平面内，
，又是半圆弧上一点（端点除外），是半圆的直径，
，且，
平面，又平面，
平面平面；
（2）建系如图，根据题意可得：
，0，，，1，，，1，，设，0，，，
由（1）知平面的法向量，
又，，
设平面的法向量为，
则，取，
若二面角的正弦值为，则二面角的余弦值的绝对值为，
，
，
，，
平方解得，，
存在为，0，满足题意，
此时易得四棱锥的体积为．
19．（16分）解：（1）由双曲线的右焦点为，离心率为2，
则①，
因为双曲线过点，
所以②，
又③，
联立①②③式，解得，，
故双曲线的标准方程为；
（2）由双曲线的对称性，知四边形为平行四边形，
所以，
由题意知直线的斜率不为零，直线过双曲线的右焦点，
设的方程为，
联立消去，化简整理可得，，
△，
设，，，，
由韦达定理可得，，，
因为，均在双曲线右支，
所以
所以解得．
所以．
令，则，
所以．
令函数，易得在区间上单调递减，
所以当时，．
所以四边形面积的最小值为24．
20．（16分）解：（1）一等奖：要依次出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，每个字出现的概率为，
一等奖的概率为，
二等奖：不按顺序出现“抗”“疫”“胜”“利”四个字，
二等奖的概率为，
三等奖：要出现“抗”“疫”“胜”三个字，有“抗，抗，疫，胜”，“抗，疫，疫，胜”，“抗，疫，胜，胜”三种情况，
三等奖的概率为．
（2）的所有可能取值为1，2，3，4，
，，，，
的分布列为：
1 2 3 4
．
21．（18分）（1）解：当时，，因此，
而曲线在处的切线与直线平行，
故（2），即，解得．
所以，，
故当，时，，即函数在，上单调递减，
当，时，，即函数在，上单调递增，
所以（e），，而（e），，
故（e），即（e），
所以函数在，上的最大值为．
（2）证明：当时，，，由于，
故要证明（b）（a）成立证明成立证明成立，
证明成立，令，因为，则，
即只需证明成立证明即可，下面证明该不等式成立．
设，求得，
因为，所以，
所以当时，，
因此函数是上的增函数，故（1），
这就证明了当时，恒成立，故原命题成立．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．
试卷第2页，共22页