冲刺2024年高考数学模拟卷07（上海专用）（含答案）

冲刺2024年高考数学模拟卷07（上海专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4分）函数的定义域是 　　．
2．（4分）角的终边在直线上，则的值是　　．
3．（4分）计算的结果是 　　．
4．（4分）展开式中的系数为 　　．
5．（4分）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则当取得最大值时，　　．
6．（4分）已知实数，满足，且，那么的最小值是　　．
7．（5分）等差数列的前项和为，公差为，首项为，若也是等差数列，则　　．
8．（5分）若双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，且离心率为2，则双曲线的标准方程为 　　．
9．（5分）设函数则　　．
10．（5分）将边长为1的正方形沿对角线折起，使得平面平面，则直线与所成角的大小为　　．
11．（5分）已知圆与直线相切于点，点在圆内，且过点的最短弦所在直线的方程为，则圆的标准方程为　　．
12．（5分）十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，，即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数成为斐波那契数列．因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．关于斐波那契数列给出以下四个结论：
①是奇数；
②
③
④
其中所有正确结论的序号为 　　．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13．（4分）已知，则下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
14．（4分）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
15．（5分）某人打靶时连续射击两次，击中靶心分别记为，，不中分别记为，，事件“至少有一次击中靶心”可记为　　
A． B． C． D．
16．（5分）记，分别为函数，的导函数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“真实点”．若函数与有且只有一个“真实点”，则实数的值为　　
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有6题，满分78分）
17．（14分）已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知，且，求的值．
18．（14分）如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．
19．（14分）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
20．（18分）已知椭圆的右焦点为，点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且．直线过圆的圆心，并与椭圆相交于，两点，过点作圆的一条切线，与椭圆的另一个交点为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率．
21．（18分）设常数，函数．
（1）若为奇函数，求的值，并说明理由；
（2）若存在区间，使得在，上的值域为，，求实数的取值范围．
冲刺2024年高考数学模拟卷07（上海专用）
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. ． 2. 3. 4. 15．
5. 6. 10． 7. 8. ．
9. 4． 10. ． 11. ． 12. ①③④．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13 14 15 16
D B D A
三、解答题（本大题共有6题，满分78分）
17．（14分）解：（1）函数，
则函数的最小正周期为．
（2）因为，所以，
．
18．（14分）（Ⅰ）证明：因为平面，又平面，
则，
又，且，，平面，
故平面；
（Ⅱ）解：过点作的垂线交于点，
因为平面，且，平面，
所以，，
故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，，，，2，，，2，，，0，，
因为为的中点，
则，1，，
所以，
又，
所以，
故，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
又因为平面的法向量为，
所以，
由题意可知，二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为；
（Ⅲ）解：直线不在平面内，
因为点在上，且，
又，
故，
则，
由（2）可知，平面的法向量为，
所以，
所以直线不在平面内．
19．（14分）解：（1）古典概型：设事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，样本空间的样本点的个数，
事件的样本点的公式，
所以（A）；
（2）因为一级果箱数：二级果箱数，
所以8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；
（3）设一级果平均质量为，方差为，二级果质量为，方差为，总体样本平均质量为平均值，方差为，
因为，，，，
所以克，
克．
预估：平均质量为克．
20．（18分）解：（1）易知，
解得，
所以，
则椭圆的方程为；
（2）若圆的切线轴，
此时，，不符合题意；
不妨设直线的方程为，
因为直线与圆相切，
所以，
整理得，
联立，消去并整理得，
不妨设，，，，
由韦达定理得，，
因为到直线的距离为1，
所以
，
将代入并消去整理得，
即，
解得（负值舍去），
所以，
故直线的斜率为1或．
21．（18分）解：（1）因为函数为奇函数，
所以对恒成立，即对恒成立，整理可得，
所以，
经检验，均符合题意；
（2）当时，，
则函数在区间，上单调递增，
所以，即，
所以方程由两个不相等的正数根，
所以，解得；
当时，函数在，，，上单调递减，
由题意可知，，
两式相减可得，，
故，所以，解得，
此时且或，
当时，有解，故此时，
当时，无解．
综上所述，实数的取值范围为．
试卷第2页，共22页