冲刺2024年高考数学模拟卷08（上海专用）（含答案）

冲刺2024年高考数学模拟卷08（上海专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。
1．集合，，，，，若，则　　．
2．不等式的解集为 ．
3．函数的最小正周期为 　　．
4．已知复数满足，则的实部为 　　．
5．已知，，则 ．
6．若函数为偶函数，则 ．
7．已知直线，，若∥，则与的距离为 ．
8．已知二项式，则展开式中的系数为 　　．
9．三角形中，是中点，，，，则　　．
10．已知，，，，，，，、，则的情况有 种．
11．已知、、、、五个点，满足,,，
,,，则的最小值为　　．
12、已知，其反函数为，若有实数根，则的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,4a1,2a3，a5成等差数列，则a1等于(　　)
A．5－5 B．5＋5 C．5 D．5
14．“”是“”的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【提示】容易看出，由可得出，而反之显然不成立，从而可得出“”是“”的充分不必要条件．
15．已知椭圆，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹是　　
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
16．数列各项均为实数，对任意满足，定义: 行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是　　
A．， B．， C．， D．，
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
（1）证明：BD⊥PA；
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
在中，角所对的边为，且．
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值．
19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角，总造价为W元．
（1）试将W表示为的函数，并写出的取值范围；
（2）问当AM的长为多少时，能使总造价W最小．
20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知抛物线上的动点，，过分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于、两点．
（1）若点纵坐标为，求与焦点的距离；
（2）若，，，求证：为常数；
（3）是否存在，使得且为常数？若存在，求出的所有可能值，若不存在，请说明理由．
21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．
已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质．
（1）当，判断、是否具有性质；
（2）当，，，，若具有性质，求的取值范围；
（3）当，，，若为整数集且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值．
冲刺2024年高考数学模拟卷08（上海专用）
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。
1、3 2、 3、 4、2
5、 6、1 7、
8、10 9、 10、18
11、 12、，
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案.
13 14 15 16
A A B B
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17、【解析】（1）证明：如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则OB＝DC＝1.
又DC∥OB，所以四边形DCBO为平行四边形．
又BC＝OB＝1，
所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO.
同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO，
所以BD⊥AD.
因为PD⊥底面ABCD，BD 底面ABCD，所以PD⊥BD，
又AD∩PD＝D，AD，PD 平面ADP，所以BD⊥平面ADP.
因为PA 平面ADP，所以BD⊥PA.
（2）由（1）知BD⊥AD，又AB＝2AD，所以∠DAO＝60°，
所以三角形ADO为正三角形．
过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，P(0,0，)，D(0,0,0)．
则＝(0,2,0)，＝，＝(0,0，)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝2，则y＝0，z＝1，所以n＝(2,0,1)．
设直线PD与平面PAB所成的角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝＝，
所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.
18、【提示】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；（2）根据余弦定理、三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可；
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设该三角形外接圆的半径为，
，
，
． ，
，， ；
（2）由余弦定理得，
，即，，当时等号成立，，
的面积，
当时，面积的最大值为
19、【提示】（1）总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得，而切线长需构造直角三角形或借助坐标求解，最后由线段长为正，可得的取值范围；
（2）利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，分析函数单调性，确定极值点，即最值点即可得答案；
【答案】（1），；（2）米
【解析】（1）过N作AB的垂线，垂足为F，过M作NF的垂线，垂足为G，
在中，，则，
在中，，则，
由题意易得，
所以，
；
（2）解：，
令，得，又，所以，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以当时，总造价W最小，最小值为，此时，，，
所以当米时，能使总造价W最小．
20、【提示】（1）点的横坐标，由，得，由此能求出与焦点的距离．
（2）设，直线，当时，，同理求出，由此能证明为常数；
（3）解设，，直线，联立，
得，求出，同理得，
由此能求出存在，使得且为常数1；
【解析】：（1）解：抛物线上的动点，，
过分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于、两点；点纵坐标为，
点的横坐标，
，，
与焦点的距离为．
（2）证明：设，直线，
当时，，
直线，时，，，
为常数．
（3）解：设，，直线，
联立，得，
，即，
同理得，
，
，
要使为常数，即，此时为常数1，
存在，使得且为常数1．
【说明】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力；
21、【提示】（1）利用函数的单调性结合新定义，逐个判断即可；（2）依题意，为增函数，由双勾函数的图象及性质即得解；（3）由题意，，，又为常值函数，故，由此即可得解；
【解析】（1）为减函数，，具有性质；
为增函数，，不具有性质；
（2）依题意，对任意，恒成立，
为增函数（不可能为常值函数），
由双勾函数的图象及性质可得（因为在上是增函数）
当时，函数单调递增，满足对任意，恒成立，
综上，实数的取值范围为，．
（3）为整数集，具有性质的函数均为常值函数，
当，恒成立，周期为2，
设，，
由题意，，则，
当，，，
当，，，
综上，为奇数；
【说明】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力；
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