2023-2024学年高中数学必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示精选题练习（含解析）

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2023-2024学年高中数学必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示精选题练习
一、单选题
1．如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知平面向量，，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知正方形的边长为，点满足，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
4．在平行四边形中，点是的中点，点分别满足，设，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．在四边形中，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C．2 D．15
7．已知，，若，则λ＝（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，，O是的内心，且，则=（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法不正确的是（ ）
A．若，则与的方向相同或者相反
B．若，为非零向量，且，则与共线
C．若，则存在唯一的实数使得
D．若是两个单位向量，且，则
10．下列各式不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
11．已知平面内平行四边形的三个顶点则第四个顶点的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知向量，则在方向上的投影向量为 .
13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，，则 .
14．如图所示，在平面直角坐标系中，，分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，，是平面内的向量，且A点坐标为，则下列说法正确的是 ．(填序号)

①向量可以表示为；
②只有当的起点在原点时；
③若，则终点A的坐标就是向量的坐标．
四、解答题
15．已知向量，，．
(1)求
(2)若，求实数的值．
16．已知O是坐标原点，点A在第一象限，，，
(1)求向量的坐标；
(2)若，求的坐标．
17．设两个非零向量与不共线，若，则为何值时，三点共线？
18．如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F.
(1)用向量与表示 和
(2)用向量与表示
(3)求出 的值
19．已知点、，，若，试求为何值时，
(1)点在第一、三象限的角平分线上；
(2)点在第三象限内．
参考答案：
1．B
【分析】利用基底的定义求解.
【详解】由题中图形可知：与，与，与共线，不能作为基底向量，
与与不共线，可作为基底向量．
故选：B.
2．D
【分析】利用平面向量平行的坐标运算公式即可.
【详解】因为，，且，所以，
解得，所以D正确.
故选：D.
3．C
【分析】建立平面直角坐标系并写出各点坐标，根据题意求相应向量的坐标，再根据数量积的坐标运算进行求解即可.
【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2，
则，，，可得，
点满足，所以．
故选：C.
4．A
【分析】先利用平面向量基底法用表示，再利用向量垂直的性质与数量积的运算法则即可得解.
【详解】因为点是的中点，，
所以，
；
因为，
所以
，
则，故A正确.
故选：A.
5．B
【分析】由得到，结合得到方程组，求出，进而得到余弦和正切值.
【详解】由得，
又，
故，即，
解得，故，
故.
故选：B
6．D
【分析】设相交于点，首先证明四边形对角线互相垂直，从而由即可得解.
【详解】因为，
所以，即四边形对角线互相垂直，
设相交于点，
则
．
故选：D．
7．A
【分析】首先求出的坐标，再由夹角公式得到方程，解得即可.
【详解】因为，，所以，
所以，
所以，则，
故，解得（正值舍去）.
故选：A．
8．D
【分析】根据引理证明定理3，即可定理3的结论求解.
【详解】先证明：引理（“奔驰”定理）如图1，O是内的一点，，，的面积分别为，，，则．
证明 如图3，延长AO，与BC边相交于点D，
则．
记，则，即，
所以，
又，所以，
从而．
接下来证明定理3 O是的内心（其中是的三边长）．
证明 设的内切圆半径为r，O是的内心，
则．
根据引理得，O是的内心．
由，可得，
即，
因为O为的内心，，，，
根据定理3，可知，解得，，故．
故选:D．
9．CD
【分析】根据题意，结合零向量的性质，共线向量的概念，以及向量的线性运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若，则与的方向相同或相反，所以A正确；
对于B中，由为非零向量，表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位相同，因为，所以与共线，所以B正确；
对于C中，当，且为非零向量时，此时不存在，所以C错误；
对于D中，由，可得，
所以，所以D错误．
故选：CD．
10．ACD
【分析】向量加、减法的坐标运算逐项排除可得答案．
【详解】对于A，若，，则，错误；
对于B，若，，则，正确；
对于C，若，，则，错误；
对于D，若，，则，错误.
故选：ACD
11．ABC
【分析】分类讨论构成平行四边形的对角线，根据平行四边形对角线互相平分，设，利用线段的中点公式计算即可得的坐标．
【详解】设，若构成的平行四边形为，即为一条对角线，
则由中点也是中点，可得，解得，
所以；
同理可得，若构成以为对角线的平行四边形，则，即；
若构成以为对角线的平行四边形，则，即；
所以第四个顶点的坐标为可以为：或或．
故选：ABC．
12．/
【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.
【详解】
在方向上的投影向量为
故答案为：
13．
【分析】建系，根据平面向量的坐标运算求解.
【详解】建立平面直角坐标系如图所示，则，
因为，则，可得，
所以.
故答案为：.
14．①③
【分析】根据向量基本定义和向量坐标化知识一一分析即可.
【详解】由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数，，使得，所以①正确．
此时为的坐标，记作，只有当时，，故②错，③正确．
故答案为：①③.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量坐标的线性运算，即可求解；
（2）根据向量垂直的坐标表示，即可求解.
【详解】（1）因为，，,
所以
（2），，
因为，
所以，
解得.
16．(1)；
(2)．
【分析】（1）设出点的坐标，根据给定条件，直接求出向量的坐标.
（2）由（1）的结论，利用向量的坐标表示即可得解.
【详解】（1）设点，则，，
所以向量的坐标是.
（2）由（1）知，，由，得，
所以.
17．m＝7
【分析】根据题意，结合三点共线，使得成立，列出方程组，即可求解.
【详解】因为，
可得，
若三点共线，则存在实数，使得，即，
向量与不共线，
可得，解得，即当时，三点共线.
18．(1)，；
(2)
(3)
【分析】（1）（2）由向量的线性运算法则求解；
（3）设，求得，再利用向量共线可得结论．
【详解】（1）是中点，
，
；
（2），则，
；
（3）设，则，，
又向量共线，而不共线，
所以，解得．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标运算可得出点的坐标，根据点在第一、三象限的角平分线上可得出关于的等式，可解得实数的值；
（2）根据点在第三象限内，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】（1）设点，由已知可得，
又因为，则，
所以，，可得，
若点在第一、三象限的角平分线上，则，解得.
（2）解：因为点在第三象限内，则，
所以.
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