2023-2024学年高中数学必修第二册7.2复数的四则运算精选题练习（含解析）

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2023-2024学年高中数学必修第二册7.2复数的四则运算精选题练习
一、单选题
1．已知复数，复数，则（ ）
A．10 B． C． D．1
2．已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知a为实数,复数为纯虚数,则
A． B．1 C． D．2
4．已知复数满足，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
5．已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则实数的值分别为（ ）
A． B． C． D．
7．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
8．欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知非零复数，，其共轭复数分别为 则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则 的最小值为2
D．
10．若z满足，则（ ）
A．z的实部为3 B．z的虚部为1
C． D．z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为3
11．已知复数z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．若复数满足，则的取值范围是 ．
13．写出一个同时满足①；②的复数 .
14．设，则 ．
四、解答题
15．计算：
(1)
(2)
(3)
16．已知为虚数，，求的值．
17．已知关于的二次方程．
(1)当为何值时，这个方程有一个实根？
(2)是否存在，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由．
18．已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位.
(1)求复数z和|z|；
(2)若在第四象限，求m的取值范围.
19．已知复数，，且为纯虚数．
(1)求复数；
(2)设、在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标．
参考答案：
1．B
【分析】由复数四则运算以及复数模的运算公式即可得解.
【详解】由题意，所以.
故选：B.
2．D
【分析】利用复数相等可求参数的值.
【详解】因为是关于的实系数一元二次方程的一个根，
所以，整理得到: 即，
故选：D.
3．C
【分析】由复数的运算与纯虚数的概念求解即可.
【详解】由为纯虚数，
，.
故选：C.
4．C
【分析】由复数乘除法以及复数模的运算公式即可求解.
【详解】由题意，所以.
故选：C.
5．D
【分析】由等式先解出复数，然后再求出共轭复数，从而确定对应的点所在象限.
【详解】∵，
∴，
∴，在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D．
6．B
【分析】根据复数的运算法则，求得，结合题意列出方程组，即可求解.
【详解】由复数，
因为复数在复平面内对应的点的坐标为，可得且，
解得.
故选：B.
7．A
【分析】由，结合复数的化简式和除法公式可直接求解.
【详解】由得，
故复数的虚部为.
故选：A
8．A
【分析】根据复数乘法运算和模长运算可直接求得结果.
【详解】，.
故选：A.
9．BD
【分析】设，对A根据复数的乘法运算即可判断，对B根据共轭复数的概念和复数的加减即可判断；对C根据复数表示的几何意义即可判断；对D，根据复数的除法运算和复数模的计算即可判断.
【详解】设，
对A，，，
当至少一个为0时，，当均不等于0，，故A错误；
对B，，则，
而，故，故B正确；
对C，若，即，即，
即，则在复平面上表示的是以为圆心，半径的圆，
的几何意义表示为点到点的距离，显然，
则点在圆外，则圆心到定点的距离，
则点与圆上点距离的最小值为，故C错误；
对D，，，
，
而，故，故D正确；
故选：BD.
10．AB
【分析】通过待定系数，结合复数加法、模的运算得，由此可判断AB，进一步由复数除法、乘法可判断C，由复数几何意义以及三角函数定义即可判断D.
【详解】设，因为，所以，所以．
，解得，所以，所以A，B正确；
，所以C错误；
因为z对应的向量坐标为，所以z对应的向量与实轴正方向夹角的正切值为，所以D错误．
故选：AB．
11．ACD
【分析】由复数与复平面内的点对应关系还原复数，再结合复数的基本运算逐一验证即可.
【详解】由题可知，，，故A正确；
，，故B错误；
，所以，C正确；
，
所以，故D正确.
故选：ACD
12．
【分析】设，由复数的几何意义得，，进而利用的范围可得的取值范围.
【详解】设，，则，，则
.
故答案为：．
13．（答案不唯一）
【分析】设，根据条件化简可得的取值范围，即可得解.
【详解】设，
因为，
所以，则，
又因为，
所以，解得或
即只需满足或，复数都满足条件①②.
故答案为：（答案不唯一）
14．10
【分析】由复数四则运算以及模的运算公式即可求解.
【详解】由题意，所以.
故答案为：10.
15．(1)0
(2)
(3)
【分析】根据复数的加法运算公式，乘除运算公式逐个计算即可求解.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
16．答案见解析
【分析】运用复数的知识综合分析证明即可.
【详解】由为虚数及，得．
，即．
当时（为自然数，以下均为非负整数），
；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
17．(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）设方程的一个实根为，带入方程，化简成标准形式，再由复数相等的意义即可求得；
（2）设方程有纯虚数根（，且），代入原方程，再复数相等意义得出，此方程无解，即可判定不存在.
【详解】（1）设是方程的一个实根，则
即
根据复数相等的意义知
解得：．
所以，当时，原方程有一实根．
（2）假定方程有纯虚数根（，且），代入原方程得
即
由复数相等意义知
但方程即无实数解，即实数不存在．
所以，对任何实数，原方程不可能有纯虚数根．
18．(1)；
(2)
【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z，再求其模；
（2）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可.
【详解】（1）设，则，
由为实数，得，则，
由为实数，得，则，
∴，则；
（2），
由在第四象限，得，解得或，
故m的取值范围为．
19．(1)；
(2)
【分析】（1）利用复数的概念及乘法运算计算即可；
（2）利用复数的几何意义和投影向量的坐标表示计算即可.
【详解】（1）由已知可得，
因为为纯虚数，所以；
（2）由（1）可得，即，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
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