2023-2024学年高中数学必修第二册8.3简单几何体的表面积与体积精选题练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年高中数学必修第二册8.3简单几何体的表面积与体积精选题练习
一、单选题
1．已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
2．球的直径，，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图甲）.图乙是扇形的一部分，若两个圆弧所在圆的半径分别是12和27，且.若图乙是某圆台的侧面展开图，则该圆台的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
4．某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．长度单位“米”的定义起源于法国．1米的长度最初定义为通过巴黎的子午线上从地球赤道到北极点的距离的千万分之一（如图），并与随后确定了国际米原器．随着人们对计量学认识的加深，米的长度的定义几经修改．但现在的定义与这一定义的数值仍十分接近．将地球视作一标准球体，估算地球体积，下列最接近的是（ ）

A． B． C． D．
6．小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（ ）
A． B．1 C． D．3
8．如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，已知为棱的中点，分别在棱上，，记四棱锥，三棱锥与三棱锥的体积分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为，则（ ）
A．该圆台的体积为
B．该圆台外接球的表面积为
C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16
D．挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为
10．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（ ）

A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为
C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为
11．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面是面积为的等边三角形，则
B．若，则
C．若，则球面的体积
D．若平面为直角三角形，且，则
三、填空题
12．如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为 ．

13．已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ．
14．如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积为 .
四、解答题
15．已知在正四面体中，棱的中点分别为．
(1)若，求的面积；
(2)平面将正四面体划分成两部分，求这两部分的体积之比．
16．已知正四面体的内切球的表面积为．
(1)求该内切球的半径；
(2)过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体，求所得截面的面积．
17．如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为．
(1)求圆锥底面圆的半径；
(2)求圆锥的表面积和体积．
18．如图，长方体的体积是为的中点，平面将长方体分成三棱锥和多面体两部分，其中．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求多面体的表面积．
19．如图所示，在直三棱柱中，，且.
(1)求证：平面平面；
(2)若D是的中点，求三棱锥的体积.
参考答案：
1．C
【分析】根据圆台侧面积的计算公式，结合已知条件，直接求解即可.
【详解】设上下底面圆半径分别为，母线长为，
则圆台侧面积.
故选：C.
2．D
【分析】由题意知，在棱锥中，可得，都是等腰直角三角形，平面，棱锥的体积为两个棱锥和的体积和，即．
【详解】球的直径，A，是该球球面上的两点，
，，
由题意知，在棱锥中，，都是等腰直角三角形，
其中，，
．
连接，则，，，
平面，是正三角形，
棱锥的体积为两个棱锥和的体积和，
棱锥的体积．
故选：D．

3．C
【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，利用弧长公式求出、，再得到母线长，最后由侧面积公式计算可得.
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
则利用弧长公式可得，即；，即；
又圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积，
故选：C.
4．C
【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意得到求解.
【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，即侧面展开图的半径为，侧面展开图的弧长为.
又圆锥的底面周长为，所以，即圆锥的母线长.
所以圆锥的侧面积为，
解得.
故选：C.
5．C
【分析】根据已知求得球的半径，利用体积公式计算即可得出结果.
【详解】设地球半径为,因为1米的长度最初定义为通过巴黎的子午线上从地球赤道到北极点的距离的千万分之一，
所以从地球赤道到北极点的距离为
,所以，
所以球的体积为
故选：C
6．C
【分析】由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，求出正四面体的棱长，根据外接球的特征列式求出外接球的半径，得解.
【详解】设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，
设正四面体如图，F为为底面的中心，E为的中点，F在上，

O为正四面体外接球的球心，则为四面体的高，O在上，
则，则，
即得，所以，
又设正四面体外接球的半径R，
则，即，即得，
故外接球体积为.
故选：C．
7．C
【分析】作出正四棱台的图形，设，利用该四棱台侧面的面积求得，进而利用勾股定理即可得解.
【详解】设，则.
因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形，
在四边形中，过点作于点，
则，所以，
所以，解得，
在平面中，过点作于点，
易知为正四棱台的高，则，
所以.
故选：C.
8．D
【分析】根据条件分别计算出的值，即可判定.
【详解】因为
，
所以.
故选：D.
9．BC
【分析】对于A：直接利用公式求解；对于B：先求出外接球半径，再利用体积公式求解；对于C ：通过轴截面的周长最大来求解；对于D：用面积公式求表面积.
【详解】由已知得圆台的上下底面半径分别为，
对于A：圆台的体积为，A错误；
对于B：如图是圆台的轴截面，外接球球心为，设外接球半径为，
当球心在梯形内时，，解得，

当球心在梯形外时，，方程无解，

所以外接球的表面积，B正确；
对于C：用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长，其中轴截面的周长最大，
又母线长为，则最大周长为，C正确；
对于D：如图：挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为
，D错误.

故选：BC.
10．ACD
【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.
【详解】
对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，
故该正八面体结构的表面积，故A正确；
对B：连接，则，底面，
故该正八面体结构的体积，故B错误；
对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径，
故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；
对D：该正八面体结构的内切球半径，
故内切球的表面积，故D正确；
故选：ACD．
11．BC
【分析】根据弧长公式即可求解A，根据勾股定理以及弧长公式即可求解B，根据球的截面性质可得求解C，根据余弦定理，取反例即可求解D.
【详解】若平面是面积为的等边三角形，则，则，.A不正确.
若，则，则.B正确.
若，则，，
则平面的外接圆半径为，则到平面的距离，
则三棱锥的体积，
则球面的体积.C正确.
由余弦定理可知因为，所以，则.
取，，则，，
则.D不正确.
故选：BC
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
12．
【分析】作出辅助线，找到球心的位置，求出外接球半径，得到外接球表面积.
【详解】连接，取的中点，连接，
则外接球球心在直线上，设球心为，如图所示，则，

则⊥平面，
因为正四棱台中，，，
故，所以，
设四棱台的高为，
故，解得，
故，
设，则，
，
故，解得，
故半径，
故该棱台外接球的表面积为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
13．
【分析】由几何关系求出外接球和棱切球半径，再由球的表面积公式求出表面积，最后求出比值.
【详解】
设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心，
则外接球的半径，，
所以，
因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径，
所以.
故答案为：
14．
【分析】作出辅助线，求出各边长度，求出以为半径的圆的面积，以为母线和为半径的圆锥的侧面积，以为母线的圆台的面积，相加后得到答案.
【详解】作，，E，F为垂足，
因为，所以，
因为，所以，，
故，
又，，故，
，
由勾股定理得，
四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积分为三部分，
以为半径的圆的面积，
以为母线和为半径的圆锥的侧面积，
以为母线的圆台的侧面积
所以该几何体的表面积为.
故答案为：
15．(1)
(2)1
【分析】（1）利用三角形中位线及勾股定理计算即可；
（2）利用割补法、等体积法、相似的性质计算即可.
【详解】（1）
如图所示，由三角形中位线得，
则，
由勾股定理，在边上的高为，
所以.
（2）
如图所示取中点，连接，
显然平面截正四面体形成的其中一部分可由四个四面体：，组成，
易知正四面体与正四面体相似，故，
由题意及中位线性质可知，
且，
所以四面体：，的体积均相等，故，
所以两部分的体积之比为1．
16．(1)3
(2)
【分析】（1）根据球的表面积公式得到方程，解出即可；
（2）设正四面体的棱长为，根据图形并结合勾股定理求出棱长，最后利用三角形面积公式即可.
【详解】（1）设内切球半径为，由题意得，，解得，
即内切球半径为3．
（2）如图，为正四面体的内切球球心，为内接圆圆心，由（1）知．
设正四面体的棱长为，由三角形的性质可得，
在中，，
正四面体外接球的球心与内接球的球心重合，，
在中，，解得，
，
在中，，
过该四面体的一条棱以及球心的截面面积为．
17．(1)；
(2)表面积，圆锥的体积．
【分析】（1）将圆锥的侧面展开，结合余弦定理求出，设底面半径为，从而列出方程，求出；
（2）根据圆锥的表面积公式和体积公式求出答案.
【详解】（1）作出该圆锥的侧面展开图，如图所示，该小虫爬行的最短路程，
由余弦定理可得，
，
设底面半径为，则，解得，即圆锥底面圆的半径为．
（2）圆锥的表面积，
圆锥的体积．
18．(1)2
(2)．
【分析】（1）首先由长方体的体积确定的长，再根据三棱锥的体积，即可求解.
（2）分别求多面体每个面的面积，再求和.
【详解】（1）长方体的体积是为的中点，，
，则，
在长方体中，侧棱和底面垂直，平面；
．
（2），
，
多面体的表面积为
．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直即可证面面垂直；
（2）结合第一问用等体积法即可求解.
【详解】（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，
所以平面ABC.
因为平面ABC，
所以.
因为，平面，
所以平面.
又因为平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，
所以是三棱锥的底面上的高.
因为，
所以.
因为D是的中点，
所以.
因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
所以三棱锥的体积.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)