2023-2024学年高中数学选择性必修第二册4.2等差数列精选题练习（含解析）

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2023-2024学年高中数学选择性必修第二册4.2等差数列精选题练习
一、单选题
1．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
2．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知为等差数列，若m，n，p，q是正整数，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分不必要条件
4．若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设为数列的前项和，若，则（ ）
A．1012 B．2024 C． D．
6．已知等差数列的前项和为，若，当时，有，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，第四层有个球，，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ）

A．380 B．399 C．400 D．400
8．已知数列为等差数列，首项，若，则使得的的最大值为（ ）
A．2007 B．2008 C．2009 D．2010
二、多选题
9．已知无穷等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．在数列中，最大
B．在数列中，或最大
C．
D．当时，
10．设数列的前项和为，满足，其中，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．为等差数列
C． D．当时，有最大值
11．已知等差数列的前项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．数列的前10项和为
三、填空题
12．已知数列满足，，则 .
13．数列的各项都是正数，，，那么此数列的通项公式为 .
14．在数列中，若，前项和，则的最大值为 ．
四、解答题
15．已知数列的前n项和为，若，.记判断是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由.
16．已知数列满足：，，，.证明：数列为等差数列，并写出数列的通项；
17．已知数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
18．已知等差数列的前项和为，；
(1)求等差数列的前项和及的最大值；
(2)求数列的前项和.
19．对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．
(1)若数列为2，4，3，7，求的值；
(2)对于每项均是正整数的有穷数列，令，．
（i）探究与的关系；
（ii）证明：．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意求出首项与公差，再根据等差数列前项和公式即可得解.
【详解】设数列的公差为，
由，，
得，解得，
所以.
故选：D.
2．B
【分析】根据递推关系可证明为等差数列，即可求解.
【详解】，
所以，，所以为等差数列，且公差为1，首项为1，
故，即，
故选：B
3．A
【分析】根据等差数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】当时，
，
当时，，
时，与不一定相等，不必要，
故选：A．
4．D
【分析】先求出，再由5个数均为正数，列d的不等式求解.
【详解】设5个正数组成数列，
则，
则，解得.
故选：D
5．A
【分析】根据正弦函数的周期性及数列的通项公式列出数列的前几项，即可得到规律，再利用并项求和法计算可得.
【详解】因为函数的最小正周期，
又，则，，，
，，，，，，
所以，且，
所以
.
故选：A
6．B
【分析】根据等差数列通项及前n项和公式计算化简即可求解.
【详解】，，
则，
，则，
所以
.
故选：B.
7．C
【分析】直接利用数列特点结合等差数列求和公式求出即可求解．
【详解】，，，，
所以，
则.
故选：C
8．B
【分析】根据等差数列的首项和性质,结合可判断出且，结合等差数列的前项和公式，即可判断的最大项.
【详解】由数列为等差数列，且，所以与异号，
因为首项，则公差，所以，
则，所以，
由等差数列前项和公式及等差数列性质，
可得
，
所以的最大值为，即.
故选：B.
9．ACD
【分析】由条件推得数列公差，故最大，A项正确，B项错误；对与作差，化简，通过举特例否定恒成立；根据推得，将通项表达式放大，由题设分析即得.
【详解】设等差数列的公差为，由可得：，又由 可得：，即，故数列单调递减，最大，即A项正确，B项错误；
对于C项，由，由A项可知故，故C项正确；
对于D项，由上分析知，则，故，因，，故有，即D项正确.
故选：ACD.
10．ABC
【分析】根据等差数列的定义、结合等差数列的前n项和公式、通项公式逐一判断即可.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
所以数列是首项19，公差为的等差数列，
即，，故选项A，B正确.
因为，所以，故选项C正确.
因为，所以当时，有最大值，故选项D错误.
故选：ABC.
11．ACD
【分析】根据题设条件求出数列的公差，易得通项和前项和，易于判断A,B两项；对于新数列，可以通过项的列举找到公共项，易得其通项，判断C项；对于D项，因数列的通项易于裂项，故运用裂项相消法求和即得.
【详解】设等差数列的公差为，，由解得：，
故，，故A项正确，B项错误；
将数列列举出来为：
数列列举出来为：
故共同项依次有：,即，
故，则，C项正确；
因，
其前10项和为．故D项正确.
故选：ACD.
12．/
【分析】根据递推关系式以及等差数列的定义可得是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】由，得，又，
所以是以为首项，公差的等差数列，
所以，即，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】根据题中递推公式可得，从而得数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得出．
【详解】因为，所以，
所以数列是一个以为首项，以2为公差的等差数列，
所以，
因为数列的各项都是正数，所以.
故答案为：.
14．66
【分析】利用求出的值，由二次函数的单调性求的最大值.
【详解】由题意， ，解得 ，则 ，
二次函数，图像抛物线开口向下，对称轴为，
故当或时取得最大值，
， ，，
所以的最大值为66.
故答案为：66.
15．不是，理由见解析
【分析】根据的关系作差可得，，即可作差，结合等差数列的定义求解.
【详解】因为，
当时，，又因为，所以
当时，因为，
由，得①，
所以②，
所以①-②得：，,
所以，，，
但
所以不是等差数列.
16．证明见解析，
【分析】将等式两边同除以可判断是等差数列，即可根据首项和公差求解通项.
【详解】将左右同时除以得：
，
整理得，即是等差数列，
因为，，得，故公差为1，
所以，故；
17．(1)；
(2)．
【分析】（1）构造数列，得数列是等差数列，得的通项公式，进而得的通项公式；
（2）用裂项相消法求的前项和.
【详解】（1）设，则，，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，．
（2），
．
18．(1)，210；
(2)212.
【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列前项和公式，结合性质求出公差及首项即可得解.
（2）由（1）求出数列的通项公式，判断项的正负，再结合（1）的结论求解即得.
【详解】（1）等差数列的前项和为，由，得，解得，
由，得，解得，则，公差，
因此，对称轴为，因为，则当或时，，
所以，的最大值为210.
（2）由（1）知，，则，
所以
.
19．(1)172；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据给定的数列及变换计算即得.
（2）（i）根据给定的信息依次计算，再作差即得；（ii）是每项均为非负整数的数列，交换数列的第项与第项得到数列，利用已知证明，再结合（i）推理即得.
【详解】（1）依题意，，，
.
（2）（i）记，
，
，
，
，所以.
（ii）设是每项均为非负整数的数列，
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，
则，
当存在，使得时，若记数列为，则，
因此，从而对于任意给定的数列，
由，，由（i）知，
所以.
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
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