辽阳市第一高级中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学科试卷（含答案）

高二下学期开学考试数学科试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．直线 的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，，则其前9项和的值为（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
3．在数列中，若，且对所有满足，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2023这2023个数中，能被7除余1且被9除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列的和为（ ）
A．30014 B．30016 C．33296 D．33297
5．技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间x 1 2 3 4 5
销售量y（千部）
若y与x线性相关，且线性回归方程为，则可以预测时，该商城手机的销量约为（ ）千部.
A． B． C． D．
6．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知正项数列的前项和为，满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．4
8．已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．数列中，，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A． B．当时，点到平面的距离为1
C．是定值 D．与所成的角可能是
11．第24届冬奥会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行. 甲、乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（ ）
A．若每个比赛区至少安排一名志愿者，则有240种不同的方案
B．安排5名志愿者排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法
C．若短道速滑必须安排两名志愿者，其余各安排一名志愿者，则有60种不同的方案
D．已知5名志愿者身高各不相同，若安排5名志愿者拍照，前排两名，后排三名，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知是等差数列的前项和,若,则数列的公差为 ．
13．的展开式中的系数为 （用数字作答）
14．记为等差数列的前n项和，已知，，，{}的前n项和为，则= .
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．圆截直线所得的弦长为，求的值
16．在数列中，，，数列满足．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和．
17．在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，(，不与端点重合).
（1）求证：；
（2）若，，是否存在点，使得二面角所成角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
18．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：
A类 B类 C类
男生 x 5 3
女生 y 3 3
（I）求出表中x，y的值；
（II）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否”与性别有关；
男生 女生 总计
不参加课外阅读
参加课外阅读
总计
（III）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望．
附：K2=)
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.01
k0 2.706 3.841 6.635
19．已知椭圆的焦距和半长轴长都为2.过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线l与椭圆C相交于P，Q两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线相交于点M，N.求证：以MN为直径的圆恒过点F.
高二下学期开学考试数学科试卷（参考答案）
一、单选题（每题5分，共40分）
1-4．BBBD 5-8．DDBC
二、多选题（每题6分，共18分，部分选对得部分分，三个正确选项，漏选选对一个得2分，选对两个得4分，选错0分）
9．ABD 10．ABC 11．ACD
三、填空题（每题5分，共15分）
12．2 13．0 14．
四、解答题（共77分）
15．（12分）
【详解】·················4分
因此圆心到直线距离为··················6分
因为圆截直线所得的弦长为，
所以··································12分
（上述弦长公式正确，a的值计算错误扣2分）
16．（16分）（Ⅰ）证明见解析；；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）由，
得，
，
∴，
即，······················································4分
又，
∴数列是首项和公差均为1的等差数列．
所以，·······································6分
∴． ·················································8分
（Ⅱ）∵，·····································10分
∴．·····································12分
∴
.···············································16分
17．（16分）（1）证明见解析；（2）存在，.
【详解】（1）证明：（1）∵，且为线段的中点，∴，
∵，∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面···············1分
又∵平面平面，∴，······················2分
又，且平面平面，平面平面，
∴平面，∴平面. ····························4分
∵平面，∴.····································5分
（2）解：连结PE,∵，为线段的中点，∴，
又∵平面平面，平面平面，∴平面，···
·································································7分
以为坐标原点，的方向为轴正方向, 的方向为y轴正方向, 的方向为z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系，······················8分
则，，，，···············9分
则，，，
设平面的法向量为，
则，即，不妨令，可得，·········11分
，设，
∴，
设平面的法向量，
则，即，不妨令，可得，···
······························································13分
∵二面角所成角的余弦值为，
∴，·······················14分
化简得，∴或（舍），∴.
即存在点，当时，使得二面角所成角的余弦值为.····16分
18．（16分）（1） ； （2）列联表见解析，没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关； （3）.
【详解】（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为，则,
所以，·············································2分
． ·················································4分
（2）列联表如下：
男生 女生 总计
不参加课外阅读 4 2 6
参加课外阅读 8 6 14
总计 12 8 20
································································5分
的观测值，·················7分
所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．··················8分
（3）的可能取值为0，1，2，3，··································9分
则，····································10分
，·························11分
， ·································12分
，···········································13分
所以．·······················16分
19．（17分）(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得，
解得
所以椭圆C的方程为；···································5分
（2）F（1，0），A（-2，0），·······································6分
设直线l的方程为，
由得····················7分
直线l过椭圆C的右焦点，显然直线l椭圆C相交.
设P（，），Q，），
则.·································9分
直线AP的方程为，·································10分
令，得，即M（4，），·························11分
同理，N（4，），············································12分
所以，
所以
，
所以以MN为直径的圆恒过点F.·····································17分