11.2.1 课时2 直角三角形的内角性质 分层作业（含答案） 2023-2024学年数学人教版八年级上册

11.2.1　课时2　直角三角形的内角性质
【练基础】
必备知识1 直角三角形的性质
1.【2022·邢台期末】如图,∠1=40°,则∠C的度数为 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.【教材P14练习T1变式】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.则下列说法不正确的是 ( )
A.与∠1互余的角只有∠2
B.∠A与∠B互余
C.∠1=∠B
D.若∠A=2∠1,则∠B=30°
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,且DE∥AB,∠1=30°,求∠B的度数.
必备知识2 直角三角形的判定
4.具备下列条件的△ABC,不是直角三角形的是 ( )
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A=∠B=∠C
C.∠A=2∠B=3∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶4
5.如图,∠C=90°,∠1=∠2,△ADE是直角三角形吗 为什么
【练能力】
6.如图,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC于点E,若∠B=40°,∠C=60°,则∠ADE的度数为 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
7.在△ABC中,∠C=90°,若∠A∶∠B=2∶3,则∠A的度数是　 .
8.若直角三角形的两锐角之差为34°,则较大一个锐角的度数是　 .
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AE平分∠CAB,CD⊥AB,AE,CD相交于点F.
(1)若∠DCB=50°,求∠CEF的度数.
(2)求证:∠CEF=∠CFE.
10.如图,AD,BF分别是△ABC的一条高与角平分线,BF,AD交于点E,∠1=∠2.求证:△ABC是直角三角形.
11.【2022·邯郸月考】在△ABC中,∠C=90°,D,E分别是AC,BC边上的点,P是一动点.
(1)如图1,若点P在线段AB上,且∠α=60°,求∠1+∠2的度数.
(2)如图2,若点P在线段AB上运动,求∠α、∠1、∠2之间的数量关系.
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB边上一点,且∠1=∠B.
(1)求证:△ACD是直角三角形.
(2)画出△ABC的角平分线AE,交CD于点F,判断∠AEC和∠CFE的数量关系,并证明.
【练素养】
13.在△ABC中,AC⊥AB,D,E分别为AB,BC上一点,且∠ADE=110°,过点A作AF∥DE交BC于点F,已知∠1=70°.
(1)如图1,判断FH与AC是否垂直,并说明理由.
(2)如图2,若点D在AB边上运动,连接EH,若∠AHE=3∠EHF,请求出∠DEH的大小.
14.定义:如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=56°,求∠B的度数.
(2)若△ABC是直角三角形,∠C=90°.
①如图,若AD是△BAC的角平分线,请你判断△ABD是否为“准互余三角形” 并说明理由;
②E是边BC上一点,△ABE是“准互余三角形”,若∠B=28°,求∠AEB的度数.
参考答案
练基础
1.C　2.A
3.【解析】∵∠1=30°,AB∥DE,
∴∠A=∠1=30°.
∵∠ACB=90°,
∴∠B=90°-∠A=60°.
4.C
5.【解析】△ADE是直角三角形.
理由如下:∵∠C=90°,∴∠A+∠2=90°.
∵∠1=∠2,∴∠A+∠1=90°,
∴△ADE是直角三角形.
练能力
6.C
7.36°
8.62°
9.【解析】(1)∵CD⊥AB,∴∠DCB+∠B=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠B=90°,
∴∠CAB=∠DCB=50°.
∵AE平分∠CAB,∴∠CAE=∠CAB=25°,
∴∠CEF=90°-∠CAE=65°.
(2)证明:∵AE平分∠CAB,∴∠BAE=∠CAE.
∵∠CAE+∠CEF=90°,∠BAE+∠AFD=90°,
∴∠CEF=∠AFD.
∵∠CFE=∠AFD,∴∠CEF=∠CFE.
10.【解析】证明:∵AD⊥BC,∴∠BED+∠EBD=90°.
∵BF平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBD,
∴∠BED+∠ABE=90°.
∵∠1=∠BED,∴∠1+∠ABE=90°.
∵∠1=∠2,∴∠2+∠ABE=90°,
∴△ABC是直角三角形.
11.【解析】(1)∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°.
∵∠α=60°,∴∠APD+∠BPE=180°-60°=120°.
∵∠1=180°-∠APD-∠A,∠2=180°-∠B-∠BPE,
∴∠1+∠2=(180°-∠APD-∠A)+(180°-∠B-∠BPE)=360°-(∠APD+∠BPE+∠A+∠B)=360°-(120°+90°)=150°,即∠1+∠2=150°.
(2)∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°.
∵∠α+∠APD+∠BPE=180°,
∴∠APD+∠BPE=180°-∠α.
∵∠1=180°-∠APD-∠A,∠2=180°-∠B-∠BPE,
∴∠1+∠2=(180°-∠APD-∠A)+(180°-∠B-∠BPE)=360°-(180°-∠α+90°)=90°+∠α,
即∠1+∠2=90°+∠α.
12.【解析】(1)证明:∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°.
∵∠1=∠B,∴∠A+∠1=90°,
∴△ACD是直角三角形.
(2)画图如图所示,∠AEC=∠CFE.
证明:∵△ACD是直角三角形,
∴∠2+∠AFD=90°.
∵∠CFE=∠AFD,
∴∠2+∠CFE=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠3+∠AEC=90°.
∵AE是△ABC的角平分线,
∴∠2=∠3,∴∠AEC=∠CFE.
练素养
13.【解析】(1)FH⊥AC.理由:∵AF∥DE,∴∠ADE+∠DAF=180°.
∵∠ADE=110°,∴∠DAF=70°.
∵∠1=70°,∴∠DAF=∠1,∴FH∥AB.
∵AC⊥AB,∴FH⊥AC.
(2)如图,过点E作EM∥AB,交AC于点M.
∵EM∥AB,∴∠ADE+∠DEM=180°,∴∠DEM=70°.
由(1)可知FH⊥AC,∴∠AHE+∠EHF=90°.
∵∠AHE=3∠EHF,∴∠EHF=×90°=22.5°.
∵FH∥AB,∴FH∥EM,
∴∠HEM=∠EHF=22.5°.
∵∠DEH=∠HEM+∠DEM,
∴∠DEH=70°+22.5°=92.5°.
14.【解析】(1)∵△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=56°,
∴∠A+2∠B=90°,∴∠B=17°.
(2)①△ABD是“准互余三角形”.
理由:∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAC=2∠BAD.
∵∠C=90°,∴∠BAC+∠B=90°,
∴2∠BAD+∠B=90°,
∴△ABD是“准互余三角形”.
②∵△ABE是“准互余三角形”,
∴2∠EAB+∠B=90°或∠EAB+2∠B=90°.
∵∠B=28°,∴∠EAB=31°或∠EAB=34°.
当∠EAB=31°,∠B=28°时,∠AEB=121°;
当∠EAB=34°,∠B=28°时,∠AEB=118°,
∴∠AEB的度数为121°或118°.
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