上海市实验学校2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题（含解析）

上海实验学校高三数学
2024.03
一 填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1.向量在向量方向上的投影向量是__________.
2.已知首项为2的等比数列的公比为，则__________.
3.已知非零向量满足，且，则向量与的夹角为__________.
4.已知，若函数的最大值为2，则__________.
5.从2，3，4，5，6，7，8中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则__________.
6.某一批花生种子，如果每1粒种子发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是__________.
7.已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为__________.
8.已知函数，则的解集是__________.
9.已知函数若对恒成立，则实数的取值范围为__________.
10.已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点.当时，，则__________.
11.半径为的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高，球缺的体积公式为.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，在圆锥内部放置一个小球，使其与圆锥侧面和底面都相切，过小球与圆锥侧面的切点所在的平面将小球分成两部分，则较小部分的球缺的体积与球的体积之比为__________.
12.设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是__________.
二 选择题（本大题共4题，满分20分）
13.“”，是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14.为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了50人，得到如下结果（单位：人）
不患肺癌 患肺癌 合计
不吸烟 24 6 30
吸烟 6 14 20
合计 30 20 50
根据表中数据，以下叙述正确的是：（ ）
A.可以通过计算，结合统计决断，判断：有的把握认为吸烟与患肺癌有关
B.可以通过计算，结合统计决断，判断：不能否定吸烟与肺癌无关
C.可以通过计算，结合统计决断，判断：有的把握认为吸烟与患肺癌有关
D.可以通过计算，结合统计决断，判断：不能否定吸烟与肺癌无关
15.对四组数据进行统计，获得如下散点图，关于其相关系数的比较，说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
16.若非空实数集中存在最大元素和最小元素，记.下列命题中正确的是（ ）
A.已知，且，则
B.已知，则存在实数，使得
C.已知，若，则对任意，都有
D.已知，则，总存在实数，使得
三 解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在直三棱柱中，，异面直线与所成的角为.
（1）求该三棱柱的体积；
（2）设是的中点，求与平面所成角的正弦值.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图所示，扇形中，圆心角，半径为2，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧与点.
（1）若是半径的中点，求线段的长；
（2）若，求面积的最大值及此时的值.
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
乒乓球被称为我国的“国球”，是一种深受人们喜爱的球类体育项目.在某高校运动会的女子乒乓球单打半决赛阶段，规定：每场比赛采用七局四胜制，率先取得四局比赛胜利的选手获胜，且该场比赛结束.已知甲 乙两名运动员进行了一场比赛，且均充分发挥出了水平，其中甲运动员每局比赛获胜的概率为，每局比赛无平局，且每局比赛结果互不影响.
（1）若前三局比赛中，甲至少赢得一局比赛的概率为，求乙每局比赛获胜的概率；
（2）若前三局比赛中甲只赢了一局，设这场比赛结束还需要比赛的局数为，求的分布列和数学期望，并求当为何值时，最大.
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆的离心率为，且过点，点与点关于原点对称，
过点作直线与交于两点（异于点），设直线与的斜率分别为.
（1）若直线的斜率为，求的面积；
（2）求的值.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，曲线与有两条公切线，求实数的取值范围；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围.
上海实验学校高三数学
2024.03
1.【答案】
【详解】由题意得，，
所以在方向上的投影向量是.
.故答案为：
2.【答案】3
【详解】因为数列是以首项为2，公比为的等比数列，所以.故答案为：3.
3.【答案】
【详解】因为，所以，所以.又因为，所以，
设与的夹角为，则，则，所以.
故答案为：
4.【答案】
【详解】由题意，其中，所以，又因为，所以.故答案为：.
5.【答案】
【详解】表示“取到的两个数为偶数且和为偶数”，，而，故，故答案为：.
6.【答案】
【详解】因为每1粒发芽的概率为，所以根据独立重复实验概率公式可得，
播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是，故答案为.
7.【答案】
【详解】令，则，
当时，，由题意可得，
解得，即实数的取值范围为.故答案为：.
8.【答案】
【详解】则，由可得，
解得.又，即，故，
化简可得，解得.综上可得.故答案为：
9.【答案】
【详解】当时，，故，
令，由对勾函数的性质可得在上单调递减，
故，所以，解得，
当时，，
故，其中，所以，
综上，.故答案为：
10.【答案】
【详解】由抛物线的对称性，不妨设在第一象限，
过作准线的垂线，过作的垂线，垂足分别为.如图所示，
由题意知，，因为，易知，
又点到准线的距离为：，解得，
在中，，由余弦定理得
，所以，故答案为：.
11.【答案】
【详解】如图所示为圆锥轴截面，为小球与圆锥侧面的切线上两点，圆锥母线，
设内切球的半径为.由题意是等边三角形，则，
所以小球的半径.又，所以，则，
解得，则是中点，同理可得是中点，所以，
故到的距离为，则上部分球缺的高，上部分即较小部分球缺的体积为，
则较小部分球缺的体积与球的体积之比为.故答案为：.
12.【答案】
【详解】因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是由复合函数单调性可知函数在上是增函数
所以，则，即
所以方程有两个不等的实根，且两根都大于0
则，解得所以实数的取值范围是.故答案为：
13.【答案】B
【详解】因为复数在复平面内对应的点位于第四象限
，
而成立推不出成立，，
所以是复数在复平面内对应的点位于第四象限的必要不
充分条件，故选：B
14.【答案】C
【详解】由题
所以有的把握认为“吸烟与患肺癌有关有关”.
故选C
15.【答案】B
【详解】由图中散点的分布趋势知：，
由图散点的分布状态知：，所以.故选：B
16.【答案】D
【详解】对于，于是或错；对于B，假设存在实数，使，
若，矛盾，
若，矛盾，
若，矛盾，
若，矛盾，
若，矛盾，В错；
对于，取，则，但对任意不成立，错；
对于，对任意的实数，只须满足，就有，从而对.
故选：D.
17.【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）如图，以点为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系.
设，则，则.
因为直线与所成的角为，所以，解得.
于是该三棱柱的体积为.
（2）由（1）知.
设平面的法向量，
则可取.又因为，
设与平面所成角为，于是，
所以与平面所成角的正弦值为.
18.【答案】（1）（2）；
【详解】（1）（舍负）；
（2），则，
得，此时.
19.【答案】（1）
（2）分布列见解析，，当时，最大
【详解】（1）设事件为“前三局比赛中，甲至少赢得一局比赛”，
则，化简得，即，
所以或（舍去），所以乙每局比赛获胜的概率为.
（2）由题意知，的所有可能取值分别为，
且，
，
.
则的分布列为
2 3 4
所以
，
令，得，
当时，单调递增；
当时，单调递减.
所以当且仅当时，最大.
20.【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为，所以，
因为点在椭圆上，所以，所以，
所以椭圆的方程为.
直线，即，代入得，
设，则，
所以
，
又点到直线的距离，
所以的面积.
（2）当直线斜率不存在，即时，，不妨取，
因为，则，
所以.
当直线斜率存在时，设，
代入得：，
由已知方程判别式，
设，则，
则
.
综上可知，.
法二：设，
代入得，
由已知方程的判别式，
设，则，
设直线的斜率为，则
，
又，即，
所以，则，所以.
法三：
设直线，即，所以.
椭圆，即，所以，
即，
则，
整理得，
设直线的斜率为，则
又，即，
所以，则，所以.
21.【答案】（1）的单调递增区为，单调递减区间为（2）（3）.
【详解】（1）当时，，
，
当时，，当时，，
的单调递增区为，单调递减区间为；
（2）设公切线切于点，切于，
则有，即，
得，代入得.
解法一：构造函数，
.当递减，当递增，
，又当时，，当时，，
即，得；
解法二（同构）：令时，，
当时，，当时，，
故，且当时，当时，，
根据题意有两根，
则，得.
（3）函数，