第十六章 二次根式 素养基础卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 第十六章 二次根式 素养基础卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 492.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-16 21:17:59 | ||
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文档简介
第十六章 二次根式 素养基础卷
考试分数：120分 考试时间：100分钟
一、单选题（本大题共10小题）
1．在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．下列各式中，有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．如果，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意实数
4．下列等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各组二次根式中，化成最简二次根式后，被开方数相同的一组是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
7．一个三角形的三边长分别是，，,则此三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对D．甲、乙、丙都对
9．估算的运算结果应在（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
10．若x为实数，在“□x”的“□中添上一种运算符号（在“，，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题）
11．请写出一个大于1且小于2的最简二次根式 ．
12．写出一个可以与合并的二次根式 ．
13．计算： = ．
14．如果是二次根式，那么应满足的条件是 ．
15．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题）
16．把下列根式化成最简二次根式．
（1）；（2）；（3）；（4）.
17．计算：
(1)；(2)．
18．设，．
(1)求，的值；(2)求，的值．
19．如图,在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16 cm2和12 cm2的两张正方形纸片,求图中空白部分的面积.
20．如图，实数a，b对应数轴上的位置如图所示，化简.
21．阅读与计算:请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家，他研究了一列数,这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果．在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用表示(其中n≥1)，这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
22．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1) 的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
(3)先化简，再求值：，其中．
23．阅读与思考
下面是一位同学的数学学习管记，请仔细阅读并完成相应任务.
双层二次根式的化简 二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子.它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号. 例如：要化简，可以先思考 （根据1）. .通过计算，我还发现设 （其中都为正整数），则有 这样，我就找到了一种把部分化简的方法.
任务：
（1）文中的“根据1”是 ， .
（2）根据上面的思路，化简:.
（3）已知，其中均为正整数，求的值.
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中．
【详解】解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中，
二次根式有：（x＞0），，，共3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中．
2．【答案】C
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】A. ，B. ，D.根号下是负数无意义；故选项错误；C. =-=-6，有意义，故此选项正确．
故选C．
【刷有所得】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
3．【答案】C
【分析】根据二次根式的值是一个非负数列出不等式求解即可．
【详解】解：∵
∴
解得，
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是要注意被开方数的取值范围．
4．【答案】D
【分析】根据二次根式的的性质、二次根式的乘除法则计算出结果，即可判断．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查了二次根式的的性质、二次根式的乘除，掌握二次根式的性质和乘除法则是解题的关键．
5．【答案】D
【分析】根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故此题答案为D．
【关键点拨】此题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
6．【答案】C
【分析】先将各选项的式子化为最简二次根式，即可解题．
【详解】A．与被开方数不同，故本选项不符合题意；
B．与被开方数不同，故本选项不符合题意；
C．与被开方数相同，故本选项符合题意；
D．与被开方数不同，故本选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查最简二次根式、二次根式的化简等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
7．【答案】A
【分析】此题考查的是二次根式的加法运算，牢记法则是解题关键，先化简再进行加法计算即可．
【详解】解：由题意得：==．
故此题答案为A．
8．【答案】D
【分析】此题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答此题的关键．把，分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可．
【详解】解：∵，，
∴，故甲正确，
，故乙正确；
，故丙正确；
故此题答案为D．
9．【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的运算，估算无理数的大小，先进行二次根式的运算，然后利用夹逼法进行估算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键．
【详解】解：
，
，
∵，
∴，
即，
故此题答案为．
10．【答案】D
【分析】此题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：当时，“□”中添上“ ”，
则，其运算的结果为有理数，
∴A选项不符合题意；
当时，“□”中添上“ ”，
则，其运算的结果为有理数，
∴B选项不符合题意；
当时，“□”中添上“+”，
则，其运算的结果为有理数，
∴C选项不符合题意，
当时，“□”中添上“+”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“ ”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“×”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“÷”，
则，其运算的结果为无理数，
∴D选项符合题意；
故此题答案为D．
11．【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵，，
∴大于1且小于2的最简二次根式为（答案不唯一）.
12．【答案】（不唯一）
【分析】可以合并的二次根式即为同类二次根式，据此解答．
【详解】解：以与合并的二次根式是，
故此题答案为：．
【关键点拨】此题考查了同类二次根式：含有相同的被开方数的最简二次根式，正确掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
13．【答案】.
【详解】解：
故此题答案为：．
14．【答案】，
【分析】是二次根式，则a=2，b-a≥0，解出即可.
【详解】是二次根式，则a=2，b-a≥0，
所以b-2≥0，解得，故答案为，.
【点睛】本题考查了二次根式定义，注意二次根式的被开方数是非负数，根指数是2．
15．【答案】3
【分析】根据同类二次根式的定义得到，据此求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
16．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】
解：（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键，二次根式开出来的数一定为非负数．
17．【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；
（）根据二次根式的乘法和除法运算，完全平方公式计算，然后进行加减即可；
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式，
，
．
18．【答案】(1)，
(2)5，20
【分析】此题主要考查二次根式的加减与乘除，解题的关键是能够熟练地运用二次根式的运算法则以及能有熟练地运用完全平方公式．
（1）分别将a，b代入，中计算即可；
（2）先利用完全平方公式整理，再将a，b代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
；
（2）解：∵，，
∴
，
．
19．【答案】-12+8cm2)
【分析】
根据正方形的面积可求出其边长，再求出长方形的边长与面积，用长方形的面积减去两个正方形面积即可.
【详解】
解:∵两张正方形纸片的面积分别为16 cm2和12 cm2,
∴它们的边长分别为=4 cm,=2 cm,
∴AB=4 cm,BC=(2+4)cm,
∴空白部分的面积=(2+4)×4-12-16=8+16-12-16=(-12+8)cm2.
【点睛】
此题主要考察二次根式的应用.
20．【答案】－a－b
【分析】
根据数轴上的位置，确定各式的正负，再进行化简即可．
【详解】
解：由数轴知，a＜0，且b＞0，|a|＜|b|，
∴a-b<0,a+b>0
∴
＝－a＋b－(b－a)－(a＋b)
＝－a＋b－b＋a－a－b＝－a－b.
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简与运用：解题关键是明确a＞0时， =a；a＜0时，=-a；a=0时，=0．
21．【答案】第1个数为1；第2个数为1
【分析】
分别把1、2代入式子化简求得答案即可．
【详解】
当n＝1时
=
＝＝1
当n＝2时，
＝
＝
=＝1
22．【答案】(1)小亮
(2)
(3)2029
【分析】本题考查了利用二次根式性质进行化简求值．
（1）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可；
（2）根据错误的原因可得；
（3）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可；
掌握是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，
原式
原式
，
小亮错误，
故答案：小亮．
（2）解：由题意得
；
故答案：．
（3）解：当时，
原式
原式
．
23．【答案】见详解
【详解】解:(1)完全平方公式；.
(2).
(3)由题意得.
为正整数，或，或.
第 page number 页，共 number of pages 页
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考试分数：120分 考试时间：100分钟
一、单选题（本大题共10小题）
1．在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．下列各式中，有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．如果，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意实数
4．下列等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各组二次根式中，化成最简二次根式后，被开方数相同的一组是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
7．一个三角形的三边长分别是，，,则此三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对D．甲、乙、丙都对
9．估算的运算结果应在（ ）
A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间
10．若x为实数，在“□x”的“□中添上一种运算符号（在“，，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题）
11．请写出一个大于1且小于2的最简二次根式 ．
12．写出一个可以与合并的二次根式 ．
13．计算： = ．
14．如果是二次根式，那么应满足的条件是 ．
15．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题）
16．把下列根式化成最简二次根式．
（1）；（2）；（3）；（4）.
17．计算：
(1)；(2)．
18．设，．
(1)求，的值；(2)求，的值．
19．如图,在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16 cm2和12 cm2的两张正方形纸片,求图中空白部分的面积.
20．如图，实数a，b对应数轴上的位置如图所示，化简.
21．阅读与计算:请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家，他研究了一列数,这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果．在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用表示(其中n≥1)，这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
22．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1) 的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
(3)先化简，再求值：，其中．
23．阅读与思考
下面是一位同学的数学学习管记，请仔细阅读并完成相应任务.
双层二次根式的化简 二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子.它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号. 例如：要化简，可以先思考 （根据1）. .通过计算，我还发现设 （其中都为正整数），则有 这样，我就找到了一种把部分化简的方法.
任务：
（1）文中的“根据1”是 ， .
（2）根据上面的思路，化简:.
（3）已知，其中均为正整数，求的值.
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中．
【详解】解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中，
二次根式有：（x＞0），，，共3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中．
2．【答案】C
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】A. ，B. ，D.根号下是负数无意义；故选项错误；C. =-=-6，有意义，故此选项正确．
故选C．
【刷有所得】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
3．【答案】C
【分析】根据二次根式的值是一个非负数列出不等式求解即可．
【详解】解：∵
∴
解得，
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是要注意被开方数的取值范围．
4．【答案】D
【分析】根据二次根式的的性质、二次根式的乘除法则计算出结果，即可判断．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故此题答案为D．
【关键点拨】此题考查了二次根式的的性质、二次根式的乘除，掌握二次根式的性质和乘除法则是解题的关键．
5．【答案】D
【分析】根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
故此题答案为D．
【关键点拨】此题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
6．【答案】C
【分析】先将各选项的式子化为最简二次根式，即可解题．
【详解】A．与被开方数不同，故本选项不符合题意；
B．与被开方数不同，故本选项不符合题意；
C．与被开方数相同，故本选项符合题意；
D．与被开方数不同，故本选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查最简二次根式、二次根式的化简等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
7．【答案】A
【分析】此题考查的是二次根式的加法运算，牢记法则是解题关键，先化简再进行加法计算即可．
【详解】解：由题意得：==．
故此题答案为A．
8．【答案】D
【分析】此题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答此题的关键．把，分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可．
【详解】解：∵，，
∴，故甲正确，
，故乙正确；
，故丙正确；
故此题答案为D．
9．【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的运算，估算无理数的大小，先进行二次根式的运算，然后利用夹逼法进行估算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键．
【详解】解：
，
，
∵，
∴，
即，
故此题答案为．
10．【答案】D
【分析】此题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：当时，“□”中添上“ ”，
则，其运算的结果为有理数，
∴A选项不符合题意；
当时，“□”中添上“ ”，
则，其运算的结果为有理数，
∴B选项不符合题意；
当时，“□”中添上“+”，
则，其运算的结果为有理数，
∴C选项不符合题意，
当时，“□”中添上“+”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“ ”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“×”，
则，其运算的结果为无理数，
当时，“□”中添上“÷”，
则，其运算的结果为无理数，
∴D选项符合题意；
故此题答案为D．
11．【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵，，
∴大于1且小于2的最简二次根式为（答案不唯一）.
12．【答案】（不唯一）
【分析】可以合并的二次根式即为同类二次根式，据此解答．
【详解】解：以与合并的二次根式是，
故此题答案为：．
【关键点拨】此题考查了同类二次根式：含有相同的被开方数的最简二次根式，正确掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
13．【答案】.
【详解】解：
故此题答案为：．
14．【答案】，
【分析】是二次根式，则a=2，b-a≥0，解出即可.
【详解】是二次根式，则a=2，b-a≥0，
所以b-2≥0，解得，故答案为，.
【点睛】本题考查了二次根式定义，注意二次根式的被开方数是非负数，根指数是2．
15．【答案】3
【分析】根据同类二次根式的定义得到，据此求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
16．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】
解：（1）；
（2）；
（3）
；
（4）
．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键，二次根式开出来的数一定为非负数．
17．【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；
（）根据二次根式的乘法和除法运算，完全平方公式计算，然后进行加减即可；
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式，
，
．
18．【答案】(1)，
(2)5，20
【分析】此题主要考查二次根式的加减与乘除，解题的关键是能够熟练地运用二次根式的运算法则以及能有熟练地运用完全平方公式．
（1）分别将a，b代入，中计算即可；
（2）先利用完全平方公式整理，再将a，b代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
；
（2）解：∵，，
∴
，
．
19．【答案】-12+8cm2)
【分析】
根据正方形的面积可求出其边长，再求出长方形的边长与面积，用长方形的面积减去两个正方形面积即可.
【详解】
解:∵两张正方形纸片的面积分别为16 cm2和12 cm2,
∴它们的边长分别为=4 cm,=2 cm,
∴AB=4 cm,BC=(2+4)cm,
∴空白部分的面积=(2+4)×4-12-16=8+16-12-16=(-12+8)cm2.
【点睛】
此题主要考察二次根式的应用.
20．【答案】－a－b
【分析】
根据数轴上的位置，确定各式的正负，再进行化简即可．
【详解】
解：由数轴知，a＜0，且b＞0，|a|＜|b|，
∴a-b<0,a+b>0
∴
＝－a＋b－(b－a)－(a＋b)
＝－a＋b－b＋a－a－b＝－a－b.
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简与运用：解题关键是明确a＞0时， =a；a＜0时，=-a；a=0时，=0．
21．【答案】第1个数为1；第2个数为1
【分析】
分别把1、2代入式子化简求得答案即可．
【详解】
当n＝1时
=
＝＝1
当n＝2时，
＝
＝
=＝1
22．【答案】(1)小亮
(2)
(3)2029
【分析】本题考查了利用二次根式性质进行化简求值．
（1）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可；
（2）根据错误的原因可得；
（3）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可；
掌握是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，
原式
原式
，
小亮错误，
故答案：小亮．
（2）解：由题意得
；
故答案：．
（3）解：当时，
原式
原式
．
23．【答案】见详解
【详解】解:(1)完全平方公式；.
(2).
(3)由题意得.
为正整数，或，或.
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