第十六章 二次根式 素养提优卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 第十六章 二次根式 素养提优卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 544.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-16 21:20:17 | ||
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文档简介
第十六章 二次根式 素养提优卷
考试分数：120分 考试时间：100分钟
一、单选题（本大题共10小题）
1．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．要使式子有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠1
3．下列各式，化简后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算中，正确的是
A． B．
C． D．
5．把根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．要使算式的运算结果最大，则“”内应填入的运算符号为（ ）
A．+ B．— C．× D．÷
7．已知＋＝0，则＋的值为( )
A．1 B. C. D.
8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为，现已知 的三边长分别为，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题）
11．比较下列两个数的大小： ．（用“>”或“<”号填空）
12．若是整数，则最小的正整数n的值是 ．
13．如图，它是个数值转换机，若输入的a值为，则输出的结果应为 ．
14．若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图，则化简：2|a+c|++3|a﹣b|= ．
15．观察下列式子：，，，，，根据以上式子中的规律写出第10个式子为： ．
三、解答题（本大题共8小题）
16．计算：2 ÷×. 小明的做法如下：
÷×＝2 ÷＝.
小明的做法正确吗？若不正确，请写出正确的详解法．
17．计算： (1)－＋； (2)＋－ .
18．先化简，再求值：，其中.
19．北京时间10月2日，在杭州亚运会女子撑杆跳高决赛中，李玲刷新了由个人保持的赛会纪录，以4米63夺冠，实现了个人亚运会三连冠．据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒2）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高4米，则其起跳时的速度应为多少？（，结果保留整数）
20．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1) 的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
(3)先化简，再求值：，其中．
21．已知，用含的代数式表示，甲、乙两位同学跑上讲台，板书了下面两种解法：
同学甲解：
同学乙解：
因为
老师看罢，提出下面的问题：
（1）两位同学的解法都正确吗；
（2）请你再给出一种不同于甲、乙二人的解法．
22．某区组织环卫工作人员开展草坪种植，若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为m、宽为m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米160元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：结果保留整数，≈1.41）．
23．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使并且，则将变成开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：
．
根据上述材料化简下列各式：
（1）；（2）．
参考答案
1．【答案】A
【分析】
根据二次根式定义和有意义的条件：被开方数是非负数，即可判断．
【详解】
解：A、符合二次根式有意义条件，符合题意；
B、-1＜0，所以无意义，故B选项不符合题意；
C、是三次根式，所以C选项不符合题意；
D、π-4＜0，所以无意义，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式的定义及有意义的条件：是二次根式，必须有a≥0．
2．【答案】D
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】根据题意得：，
解得：m≥﹣1且m≠1．
故选D
【点睛】此题主要考查二次根式的性质和分式的有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质和分式的有意义的条件即可解题．
3．【答案】C
【分析】
根据同类二次根式的定义即可求出答案．
【详解】
解：与是同类二次根式即可合并，
由于=2，2与是同类二次根式，
∴2与可以合并，
故选C．
【点睛】
本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式，本题属于基础题型．
4．【答案】C
【分析】
【详解】
解：不是同类二次根式不能合并，故不符合题意；
不是同类二次根式不能合并，故不符合题意；
故符合题意；
故不符合题意；
故选：
5．【答案】B
【分析】
本题需注意的是的符号，根据被开方数不为负数可得出，因此需先将的负号提出，然后再将移入根号内进行计算．
【详解】
解：
．
故选B．
6．【答案】A
【分析】根据二次根式的加减乘除和有理数大小比较的性质计算，即可得到答案.
【详解】解：， ， ，，
∵
∴要使算式的运算结果最大，则“”内应填入的运算符号为：
故此题答案为：A.
【关键点拨】本题考查了二次根式的混合运算；解题的关键是熟练掌握有理数运算的性质，从而完成求解.
7．【答案】D 【详解】∵＋＝0，∴ 详解得∴＋＝＋＝＋＝.故选D.
8．【答案】A
【分析】根据二次根式的性质化简，利用已知运算公式，将数据代入代数式计算，即可得到答案．
【详解】∵△ABC的三边分别是2，和，即，，
∴△ABC的面积S＝
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
9．【答案】B
【分析】
首先根据的整数部分，确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解．
【详解】
解：
的整数部分
则小数部分是：
则
故选：
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是关键．
10．【答案】B
【分析】先求得大正方形的边长和小正方形的边长，进而得出空白的长和宽，再计算面积即可．
【详解】解：∵大正方形的面积为，
∴大正方形的边长=，
∵小正方形的面积为，
∴小正方形的边长=，
∴空白的长为：，空白的高为：，
∴空白面积=
故选： B．
【点睛】本题考查了二次根式及其应用，掌握二次根式的性质是解题关键．
11．【答案】
【分析】根据二次根式比较大小的方法求解即可．
【详解】解：，，
∵，
∴.
故此题答案为：．
【关键点拨】此题主要考查了比较二次根式的大小，正确化简两个二次根式是解题的关键．
12．【答案】2
【分析】
是整数则2n一定是一个完全平方数，把2分解因数即可确定．
【详解】
解：∵2=2×1，
∴n的最小值是2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．也考查了=|a|．
13．【答案】－
【详解】[（）2-4]==.
故答案为－
14．【答案】﹣5a+4b﹣3c．
【分析】
直接利用数轴结合二次根式、绝对值的性质化简得出答案．
【详解】
由数轴可得：a+c＜0，b-c＞0，a-b＜0，
故原式=-2（a+c）+b-c-3（a-b）
=-2a-2c+b-c-3a+3b
=-5a+4b-3c．
故答案为-5a+4b-3c．
【点睛】
此题主要考查了二次根式以及绝对值的性质，正确化简是解题关键．
15．【答案】
【分析】
直接利用已知二次根式得出数字变化规律，进而得出答案．
【详解】
解：∵，，，，，
∴第10个式子为：．
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出数字变化规律是解题关键．
16．【答案】24 .
【详解】小明的做法不正确．正确详解法如下：
原式＝4 ÷×3 ＝8×3 ＝24 .
【点睛】此题中除号在前，乘号在后，进行运算时，要按照从左往右的顺序计算．
17．【答案】(1)原式＝3 －2 ＋＝.
(2)原式＝3 ＋－4 ＝0.
18．【答案】，
【分析】
分别计算两个括号内的分式的加减，再把除法转化为乘法运算，最后把代入化简后的代数式，从而可得答案．
【详解】
解：
当时，
上式
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，二次根式的乘除混合运算，掌握以上运算是解题的关键．
19．【答案】起跳时的速度约为9米/秒
【分析】本题考查了二次根式的应用，将，代入，得，求出的值即可，理解题意，准确进行计算是解此题的关键．
【详解】解：将，代入，得，
即，
由题意，得，
，
，
（米/秒），
答：他起跳时的速度约为9米/秒．
20．【答案】(1)小亮
(2)
(3)2029
【分析】本题考查了利用二次根式性质进行化简求值．
（1）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可；
（2）根据错误的原因可得；
（3）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可；
掌握是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，
原式
原式
，
小亮错误，
故答案：小亮．
（2）解：由题意得
；
故答案：．
（3）解：当时，
原式
原式
．
21．【答案】（1）都正确；（2）答案见解析．
【分析】
（1）仔细阅读两同学的解题过程，然后判断；
（2）将4.9化为，然后运算，也可得出正确答案．
【详解】
解：（1）都正确
（2）因为
所以
【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握仔细阅读题目，灵活解题．
22．【答案】（1）（14+8）m；（2）44218元
【分析】
（1）根据长方形周长公式进行计算，并化简即可．
（2）根据长方形的面积公式先算出面积，而后乘以每平方米的价钱即可．
【详解】
（1）2（）＝2（7+4）＝（14+8）m．
（2）面积为：＝7×4＝196≈276.36m2，
160×276.36≈44218元．
【点睛】
本题考查了长方形的面积公式，周长公式，化简二次根式，解题的关键是二次根式化简．
23．【答案】（1）；（2）-1
【分析】（1）将变形为，再根据二次根式的性质计算可得；
（2）将变形为，将变形为，再根据二次根式的性质计算可得．
【详解】解：（1）
；
（2）∵
，
，
∴．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质和化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．
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考试分数：120分 考试时间：100分钟
一、单选题（本大题共10小题）
1．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．要使式子有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠1
3．下列各式，化简后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算中，正确的是
A． B．
C． D．
5．把根号外的因式移入根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．要使算式的运算结果最大，则“”内应填入的运算符号为（ ）
A．+ B．— C．× D．÷
7．已知＋＝0，则＋的值为( )
A．1 B. C. D.
8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为，现已知 的三边长分别为，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题）
11．比较下列两个数的大小： ．（用“>”或“<”号填空）
12．若是整数，则最小的正整数n的值是 ．
13．如图，它是个数值转换机，若输入的a值为，则输出的结果应为 ．
14．若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图，则化简：2|a+c|++3|a﹣b|= ．
15．观察下列式子：，，，，，根据以上式子中的规律写出第10个式子为： ．
三、解答题（本大题共8小题）
16．计算：2 ÷×. 小明的做法如下：
÷×＝2 ÷＝.
小明的做法正确吗？若不正确，请写出正确的详解法．
17．计算： (1)－＋； (2)＋－ .
18．先化简，再求值：，其中.
19．北京时间10月2日，在杭州亚运会女子撑杆跳高决赛中，李玲刷新了由个人保持的赛会纪录，以4米63夺冠，实现了个人亚运会三连冠．据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒2）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高4米，则其起跳时的速度应为多少？（，结果保留整数）
20．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
(1) 的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
(3)先化简，再求值：，其中．
21．已知，用含的代数式表示，甲、乙两位同学跑上讲台，板书了下面两种解法：
同学甲解：
同学乙解：
因为
老师看罢，提出下面的问题：
（1）两位同学的解法都正确吗；
（2）请你再给出一种不同于甲、乙二人的解法．
22．某区组织环卫工作人员开展草坪种植，若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为m、宽为m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米160元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：结果保留整数，≈1.41）．
23．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使并且，则将变成开方，从而使得化简．
例如：化简．
解：
．
根据上述材料化简下列各式：
（1）；（2）．
参考答案
1．【答案】A
【分析】
根据二次根式定义和有意义的条件：被开方数是非负数，即可判断．
【详解】
解：A、符合二次根式有意义条件，符合题意；
B、-1＜0，所以无意义，故B选项不符合题意；
C、是三次根式，所以C选项不符合题意；
D、π-4＜0，所以无意义，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式的定义及有意义的条件：是二次根式，必须有a≥0．
2．【答案】D
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】根据题意得：，
解得：m≥﹣1且m≠1．
故选D
【点睛】此题主要考查二次根式的性质和分式的有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质和分式的有意义的条件即可解题．
3．【答案】C
【分析】
根据同类二次根式的定义即可求出答案．
【详解】
解：与是同类二次根式即可合并，
由于=2，2与是同类二次根式，
∴2与可以合并，
故选C．
【点睛】
本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式，本题属于基础题型．
4．【答案】C
【分析】
【详解】
解：不是同类二次根式不能合并，故不符合题意；
不是同类二次根式不能合并，故不符合题意；
故符合题意；
故不符合题意；
故选：
5．【答案】B
【分析】
本题需注意的是的符号，根据被开方数不为负数可得出，因此需先将的负号提出，然后再将移入根号内进行计算．
【详解】
解：
．
故选B．
6．【答案】A
【分析】根据二次根式的加减乘除和有理数大小比较的性质计算，即可得到答案.
【详解】解：， ， ，，
∵
∴要使算式的运算结果最大，则“”内应填入的运算符号为：
故此题答案为：A.
【关键点拨】本题考查了二次根式的混合运算；解题的关键是熟练掌握有理数运算的性质，从而完成求解.
7．【答案】D 【详解】∵＋＝0，∴ 详解得∴＋＝＋＝＋＝.故选D.
8．【答案】A
【分析】根据二次根式的性质化简，利用已知运算公式，将数据代入代数式计算，即可得到答案．
【详解】∵△ABC的三边分别是2，和，即，，
∴△ABC的面积S＝
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．
9．【答案】B
【分析】
首先根据的整数部分，确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解．
【详解】
解：
的整数部分
则小数部分是：
则
故选：
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是关键．
10．【答案】B
【分析】先求得大正方形的边长和小正方形的边长，进而得出空白的长和宽，再计算面积即可．
【详解】解：∵大正方形的面积为，
∴大正方形的边长=，
∵小正方形的面积为，
∴小正方形的边长=，
∴空白的长为：，空白的高为：，
∴空白面积=
故选： B．
【点睛】本题考查了二次根式及其应用，掌握二次根式的性质是解题关键．
11．【答案】
【分析】根据二次根式比较大小的方法求解即可．
【详解】解：，，
∵，
∴.
故此题答案为：．
【关键点拨】此题主要考查了比较二次根式的大小，正确化简两个二次根式是解题的关键．
12．【答案】2
【分析】
是整数则2n一定是一个完全平方数，把2分解因数即可确定．
【详解】
解：∵2=2×1，
∴n的最小值是2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．也考查了=|a|．
13．【答案】－
【详解】[（）2-4]==.
故答案为－
14．【答案】﹣5a+4b﹣3c．
【分析】
直接利用数轴结合二次根式、绝对值的性质化简得出答案．
【详解】
由数轴可得：a+c＜0，b-c＞0，a-b＜0，
故原式=-2（a+c）+b-c-3（a-b）
=-2a-2c+b-c-3a+3b
=-5a+4b-3c．
故答案为-5a+4b-3c．
【点睛】
此题主要考查了二次根式以及绝对值的性质，正确化简是解题关键．
15．【答案】
【分析】
直接利用已知二次根式得出数字变化规律，进而得出答案．
【详解】
解：∵，，，，，
∴第10个式子为：．
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出数字变化规律是解题关键．
16．【答案】24 .
【详解】小明的做法不正确．正确详解法如下：
原式＝4 ÷×3 ＝8×3 ＝24 .
【点睛】此题中除号在前，乘号在后，进行运算时，要按照从左往右的顺序计算．
17．【答案】(1)原式＝3 －2 ＋＝.
(2)原式＝3 ＋－4 ＝0.
18．【答案】，
【分析】
分别计算两个括号内的分式的加减，再把除法转化为乘法运算，最后把代入化简后的代数式，从而可得答案．
【详解】
解：
当时，
上式
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，二次根式的乘除混合运算，掌握以上运算是解题的关键．
19．【答案】起跳时的速度约为9米/秒
【分析】本题考查了二次根式的应用，将，代入，得，求出的值即可，理解题意，准确进行计算是解此题的关键．
【详解】解：将，代入，得，
即，
由题意，得，
，
，
（米/秒），
答：他起跳时的速度约为9米/秒．
20．【答案】(1)小亮
(2)
(3)2029
【分析】本题考查了利用二次根式性质进行化简求值．
（1）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可；
（2）根据错误的原因可得；
（3）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可；
掌握是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，
原式
原式
，
小亮错误，
故答案：小亮．
（2）解：由题意得
；
故答案：．
（3）解：当时，
原式
原式
．
21．【答案】（1）都正确；（2）答案见解析．
【分析】
（1）仔细阅读两同学的解题过程，然后判断；
（2）将4.9化为，然后运算，也可得出正确答案．
【详解】
解：（1）都正确
（2）因为
所以
【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握仔细阅读题目，灵活解题．
22．【答案】（1）（14+8）m；（2）44218元
【分析】
（1）根据长方形周长公式进行计算，并化简即可．
（2）根据长方形的面积公式先算出面积，而后乘以每平方米的价钱即可．
【详解】
（1）2（）＝2（7+4）＝（14+8）m．
（2）面积为：＝7×4＝196≈276.36m2，
160×276.36≈44218元．
【点睛】
本题考查了长方形的面积公式，周长公式，化简二次根式，解题的关键是二次根式化简．
23．【答案】（1）；（2）-1
【分析】（1）将变形为，再根据二次根式的性质计算可得；
（2）将变形为，将变形为，再根据二次根式的性质计算可得．
【详解】解：（1）
；
（2）∵
，
，
∴．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质和化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．
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