2023-2024学年云南省保山市腾冲民族中学高二（下）开学数学试卷（A卷）（含解析）

2023-2024学年云南省保山市腾冲民族中学高二（下）开学数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，且，，则当取得最大值时，( )
A. B. C. D.
3.在直角坐标平面内，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则满足条件的直线的条数为( )
A. B. C. D.
4.直线截圆所得弦长的最小值是( )
A. B. C. D.
5.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若焦点在轴上的椭圆的离心率为，面积为则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
6.若双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.等差数列的首项为，公差不为若，，成等比数列，则前项的和为( )
A. B. C. D.
8.如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线与圆，则( )
A. 直线的倾斜角是 B. 圆的半径是
C. 直线与圆相交 D. 圆上的点到直线的距离的最大值是
10.已知、，则下列命题中正确的是( )
A. 平面内满足的动点的轨迹为椭圆
B. 平面内满足的动点的轨迹为双曲线的一支
C. 平面内满足的动点的轨迹为抛物线
D. 平面内满足的动点的轨迹为圆
11.已知复数，，，则( )
A. B. ，，的实部依次成等比数列
C. D. ，，的虚部依次成等差数列
12.已知函数，则下列各选项正确的是( )
A. 在区间上单调递增 B. 是偶函数
C. 的最小值为 D. 方程无解
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.数列满足：，，，则 ______．
14.如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为的正方形，则 ______．
15.在一平面直角坐标系中，已知点，，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后，两点间的距离为______．
16.抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为___________．
四、解答题：本题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等比数列的公比，若，且，，分别是等差数列的第，，项．
求数列和的通项公式；
记，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上运动，且，动点满足．
求动点的轨迹的方程；
设直线：与曲线交于，两点，且，求实数的值．
20.本小题分
已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切．
求圆的标准方程；
已知过点的直线交圆于、两点，且，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，得，
．
函数在点处的切线方程为，
即．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：等差数列的前项和为，且，，
，
，
则，，
从而当时，取得最大值．
故选：．
利用等差数列的前项和公式求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：到点距离为的直线可看作以为圆心为半径的圆的切线，
同理到点距离为的直线可看作以为圆心为半径的圆的切线，
故所求直线为两圆的公切线，
又，
故两圆外切，
所以公切线有条．
故选：．
将问题转化为求以点为圆心，以为半径的圆和以点为圆心，以为半径的圆的公切线的条数求解．
本题考查点到直线的距离、两圆公切线等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：依题意，直线过定点，
圆的圆心，半径，
，即点在圆内，当且仅当直线与直线垂直时，直线截圆所得弦长最短，
所以所求最短弦长为．
故选：．
求出直线过的定点、圆的圆心坐标及半径，再利用圆的性质及弦长公式计算即得．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设椭圆的标准方程为，，
则由题知，解得，，
故椭圆的标准方程为．
故选：．
根据已知条件列出，的方程组，求出，的值即可．
本题考查椭圆标准方程的求法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由已知得渐近线为，
将代入，可得，
所以．
故选：．
由题意渐近线为，再将点代入，由此求出，代入公式求得离心率．
本题考查双曲线的渐近线方程、离心率的求法，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：等差数列的首项为，公差不为，，成等比数列，
，
，且，，
解得，
前项的和为．
故选：．
利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出前项的和．
本题考查等差数列前项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．
8.【答案】
【解析】解：取的中点，为等边三角形，则，
以为原点，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
则，
则在上的投影的长度为，
故点到直线的距离．
故选：．
取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
本题考查点到直线的距离，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由直线，可知直线的倾斜角是，故A错误；
由圆的方程可得圆心坐标为，半径为，故B正确．
圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故C正确．
圆上的点到直线的距离的最大值为，故D正确．
故选：．
由直线方程可得直线倾斜角判断；求得圆的圆心坐标与半径可判断；求得圆心到直线的距离判断；求得圆上的点到直线的距离的最大值判断．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A，有、，且，由椭圆定义可知选项A正确；
对于选项B，有、，且，轨迹为射线，
不符合双曲线的定义可知选项B错误；
对于选项C，有、，且，轨迹为线段的垂直平分线，
不符合抛物线的定义可知选项C错误；
对于选项D，有、，且，
设点，则，
化简可得，可知选项D正确．
故选：．
由椭圆的定义可直接判定选项A；由双曲线的定义可直接判定选项B；由抛物线的定义可直接判定选项C；设点，列式化简即可判定选项D；
本题考查圆锥曲线定义，轨迹问题，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，，所以，所以，故A正确；
因为，，的实部分别为，，，所以，，的实部依次成等比数列，故B正确；
，故C正确；
因为，，的虚部分别为，，，所以，，的虚部依次不成等差数列，故D错误．
故选：．
由题意由复数乘除法分别将，化简，再由复数加法、共轭复数的概念即可判断；复数的实部、虚部以及等差数列、等比数列的概念即可判断，由复数模的运算即可判断．
本题考查复数的运算，考查复数的模长公式，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：当时，，令，
则，故与均为减函数，
所以在区间上单调递减，A错误；
因为，
所以，所以为偶函数，B正确；
由偶函数对称性可知，在区间上单调递增，
所以，C正确；
令，所以，
由零点存在性定理可知方程有解，D错误．
故选：．
由函数的基本性质可判断，由零点存在性定理可判断．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，还考查了函数最值的求解及零点个数的判断，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：数列满足：，，
时，，
相除可得：，
两边取对数可得：，
，
，
又，
数列是等比数列，首项为，公比为，
则，
故答案为：．
利用已知数列递推关系可得与的关系，通过取对数，结合，可得数列是等比数列，利用求和公式即可得出结论．
本题考查了数列递推关系、对数运算性质、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：连接，
二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为的正方形，
，，，
是二面角的平面角，，
，，
．
故答案为：．
连接，推导出，，，是二面角的平面角，，，，由此能求出
本题考查二面角的定义、勾股定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题意作图如图所示：
作轴于点，作轴于点，
现沿轴将坐标平面折成的二面角，则异面直线，所成的角为，即的夹角为，
又，的夹角为，，的夹角为，，，，，
，
即折叠后，两点间的距离为．
故答案为：．
作轴于点，作轴于点，由图形得，利用向量的线性运算和数量积运算，即可得出答案．
本题考查二面角和空间向量的线性运算，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当，，三点共线时最小，是解题的关键，属于中档题．
求周长的最小值，即求的最小值．设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义，可知，因此问题转化为求的最小值，根据平面几何知识，当、、三点共线时最小，由此即可求出的最小值．
【解答】
解：求周长的最小值，即求的最小值，
设点在准线上的射影为，
根据抛物线的定义，可知，
因此，的最小值，即的最小值
根据平面几何知识，可得当，，三点共线时最小，
因此最小值为，
，
周长的最小值为，
故答案为：．
17.【答案】解：由题意得，
，即，
解得舍去，
则，解得，所以．
则，，，
设等差数列的公差为，则，
所以．
．
所以，
，
两式相减得，
可得．
【解析】根据等差、等比数列的知识求得首项和公差、公比，从而求得，．
利用错位相减求和法求得．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】证明：以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
则，，
设平面的法向量是，
则，取，则，
，
所以平面．
解：可知是面的一个法向量，
，
即平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面．
求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面夹角的余弦值．
本题考查平面与平面所成角的向量求法，线面平行的向量表示，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
19.【答案】解：设，，，
，，
，
，，
即，，
动点的轨迹的方程；
设，，
联立得，
由，化简得，
又，，
则，
化简得，适合，
所以．
【解析】由已知结合两点间的距离公式及向量的线性表示，代入即可求解；
联立直线与已知曲线，结合方程的根与系数关系及弦长公式即可求解．
本题主要考查了点的轨迹方程的求解，还考查了直线与椭圆位置关系的应用，属于中档题．
20.【答案】解：由题意设圆心坐标为，
由题意，，解得舍或．
圆的半径为．
则圆的标准方程为；
若斜率不存在，则直线方程为，
弦心距，半径为，
则，符合题意．
若斜率存在，设直线方程为，即．
弦心距，得，
解得：，直线方程为．
综上所述，直线的方程为或．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系及其应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．
由题意设圆心坐标为，利用半径相等列式求得，进一步求得半径，则圆的方程可求；
当直线的斜率不存在时，可得直线方程为，符合题意；当直线的斜率存在时，设出直线方程，结合垂径定理求解．
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