2023-2024学年山东省青岛实验高中高二（下）期初质检数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省青岛实验高中高二（下）期初质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，，成等比数列，且，则等于( )
A. B. C. D.
2.直线与平行，则的值为
( )
A. B. 或 C. D. 或
3.已知点和点，是直线上的一点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.，两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若去甲城市的概率为，去甲城市的概率为，则，不去同一城市上大学的概率为( )
A. B. C. D.
5.若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.与圆及圆都外切的圆的圆心轨迹是( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的左支 D. 双曲线的右支
7.已知函数的图象过点，令，记数列的前项和为，则
( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的有( )
A. B. C. 中最大 D.
10.下列结论正确的是( )
A. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
B. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C. 已知，为坐标原点，点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交
D. 若圆：上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是
11.已知抛物线：的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则( )
A. 若则
B. 以为直径的圆与准线相切
C. 设，则
D. 过点与抛物线有且只有一个公共点的直线至多有条
12.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，的图象在处的切线方程为
B. 当时，在上有个极值点
C. 当时，在上有最小值、无最大值
D. 若的图象恒在直线的上方，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若从集合中任取个元素组成该集合的一个子集，那么取得的子集中，满足个元素中恰好含有个连续整数的概率等于______．
14.若在处取得极大值，则的值为______．
15.已知圆的圆心坐标为若直线：与圆相切于点，则圆的标准方程为 ．
16.设经过点的等轴双曲线的焦点为，，此双曲线上一点满足，则的面积______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响．有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制先胜局者获胜，比赛结束；方案二：五局三胜制先胜局者获胜，比赛结束．
若选择方案一，求甲获胜的概率；
用掷硬币的方式决定比赛方案，掷枚硬币，若恰有枚正面朝上，则选择方案一，否则选择方案二．判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由．
18.本小题分
设是数列的前项和，已知
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和
19.本小题分
已知直线平分圆：的圆周，且该圆被轴截得的弦长是圆的一条最长的弦．
求圆的标准方程；
已知动点在直线上，过点引圆的两条切线、，切点分别为、记四边形的面积为，求的最小值．
20.本小题分
已知等差数列的前项和为，，，数列满足，．
证明：数列是等比数列，并求数列与数列通项公式；
若，求数列的前项和．
21.本小题分
设函数．
Ⅰ求函数的极值：
Ⅱ若在时恒成立，求的取值范围．
22.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与直线相切．
求椭圆的离心率；
如图，过作直线与椭圆分别交于，两点，若的周长为，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出．
本题考查了等比数列的性质和对数的运算性质，属于基础题．
【解答】
解：，，，，成等比数列，
则，，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两直线平行的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
当时，检验两直线是否平行，当时，由一次项系数之比相等但不等于常数项之比，求出的值．
【解答】
解：当时，两直线重合；
当时，由，解得，
综上可得，，
故选A．
3.【答案】
【解析】解：点和点，
是直线上的一点，
过作直线的对称点，设，
可得，，
解得，，即，
连接，可得，
当且仅当，，三点共线时，取得最小值．
故选：．
过作直线的对称点，设，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，解方程可得，，
连接，由三点共线的性质可得最小值．
本题考查距离和的最值求法，注意运用对称思想，考查运算求解能力，是中档题．
4.【答案】
【解析】解：由题意知：去甲城市的概率为，去甲城市的概率为，
即去乙城市的概率为，去乙城市的概率为，
所以，去同一城市上大学的概率，
所以则，不去同一城市上大学的概率．
故选：．
根据条件得到，分别去乙城市的概率，从而求得，去同一城市上大学的概率，即可得到，不去同一城市上大学的概率．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题可知，焦距，不妨设点是双曲线右支上的一点，
由椭圆和双曲线的定义可知，
，解得，
在中，由余弦定理可知，．
故选：．
由题可知，焦距，设点是双曲线右支上的一点，由椭圆和双曲线的定义可列出关于线段和的长的方程组，解之可得和的长，然后在中，结合余弦定理即可得解．
本题考查椭圆和双曲线的定义，考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设动圆的圆心为，半径为，而圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为．
依题意得，，则，所以点的轨迹是双曲线的右支．
故选：．
设动圆的半径为，然后根据动圆与圆及圆都外切得、，再两式相减消去参数，则满足双曲线的定义，问题解决．
本题主要考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，可得，解得，则．
，
．
故选：．
求出函数的解析式，化简数列的递推关系式，利用裂项消项法求解即可．
本题考查数列与函数相结合，递推关系式以及数列求和的方法的应用，是基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于中档题．
根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数不等式的取值范围，并根据偶函数的性质：对称性，求出的取值范围．
【解答】
解：当时，由可知：两边同乘以得：
，
设，
则
在单调递增，
又是定义在上的偶函数，，
得，
当，成立的的取值范围是：，
当时，函数是偶函数，同理得：，
综上可知：实数的取值范围为，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：公差为的等差数列，其前项和为，，，
，
，，
，，，
数列是递减数列，其前项为正，从第项起均为负数，
前项和最大，
，，
，，
故B错误，，，D正确．
故选：．
利用等差数列的性质求出，，再逐项分析能求出结果．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：：过点且在两坐标轴上的截距相等，当截距为时，则直线的方程为，所以不正确；
：直线，整理可得，直线恒过定点，则，，所以直线和以，为端点的线段相交，实数的取值范围为，或，所以不正确；
：因为点是圆外一点，所以，所以圆心到直线的距离，可得与圆相交，所以C正确；
：与点距离等于的点的轨迹为，由题意可得圆与圆有交点，则，所以圆心距的值在，
即，
可得的取值范围是，所以D正确．
故选：．
：过原点的直线截距是相等的，可得不正确；
：直线过定点，由题意可得直线直线与线段有交点的斜率的范围在直线，的范围之间，可判断不正确；
：由点是圆外一点可得，的关系，求出圆心到直线的距离，将，的关系代入可得与圆相交，可得C正确；
：求出到的距离为的轨迹方程，由题意可得圆与圆相交，可得的范围，可判断D正确．
本题考查命题真假的判断及直线的截距式方程的求法，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的关系，属于中档题．
利用抛物线的性质，结合抛物线的方程，得出结论．
【解答】
解：若直线的斜率存在，设，
由，联立解方程组，
，，
，若，则，故或，
，故A正确；
取点中点，在上的投影为，在上的投影为，
根据抛物线的定义，，，
，为梯形的中点，故，故B成立；
对于，，，
过相切的直线有条，与轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理能力、转化思想和运算能力．
由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到和，利用导数的几何意义即可判断选项A；对函数进行求导，构造函数，对函数进行求导，利用零点存在性定理即可判断选项B；将代入函数的解析式中，对函数进行求导，利用零点存在性定理即可判断选项C；将的图象恒在直线的上方转化成对恒成立，通过构造新函数，利用导数研究新函数最值问题，进而即可判断选项D．
【解答】
解：已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
所以，
又，
所以的图象在处的切线方程为，
即，故选项A正确；
易知，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以单调递增，即单调递增，
当时，，
，
所以存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在上恰有一个极值点，故选项B错误；
当时，，
可得，
所以函数在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
易知无最大值，故选项C正确；
要使的图象恒在直线的上方，
此时恒成立，
即对恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以在定义域上单调递增，
又，，
所以存在，使得，
整理得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以在定义域上单调递增，
此时，
解得，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以，
则，
解得，故选项D正确．
故选ACD．
13.【答案】
【解析】解：从中任取个元素形成的子集共有个，
当连续整数为，时，此时符合条件的子集有个；
当连续整数为，时，此时符合条件的子集有个；
当连续整数为，时，此时符合条件的子集有个，
当连续整数为，时，此时符合条件的子集有个，
故有个子集中恰好含有两个连续整数．
故所求概率为，
故答案为：．
根据古典概型的概率公式，即可求得答案．
本题考查古典概型及其概率计算公式，属基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了极值的概念，属于基础题型，应熟练掌握．
求出导函数，根据极值的定义得出，，且有实数解，进而得出，的值．
【解答】
解：，
，
在处取得极大值，
，，且有两个实数解，
则
或，
当时，此时，
，
在时取得极小值，不符合题意；
当，此时，
，
在时取得极大值，符合题意，
，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆相切的性质的应用、求圆的标准方程，属于基础题．
由题意点代入直线的方程可得的值，利用相切求出，再利用圆心到切点的距离得到，进而即可得到圆的标准方程．
【解答】
解：由题意可知点在直线上，可得，解得，
即直线的方程为：，其斜率，
由相切可得，
解得，
即圆心，半径，
所以圆的标准方程为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：由题意设双曲线的方程为，
代入点，可得，
双曲线的方程为，
即，
设，，
由双曲线的定义可得，
满足，可得，
可得，
可得，
的面积为．
故答案为：．
先求出双曲线的方程，再利用双曲线的定义，勾股定理，求出，即可求出的面积．
本题考查的面积，考查双曲线的定义，勾股定理，属于中档题．
17.【答案】解：根据题意，若选择方案一，三局两胜制，
若甲连胜两局，其概率，
若甲前局中一胜一败，第三局获胜，其概率，
故甲获胜的概率；
根据题意，采用方案一的概率，
则采用方案二的概率，
故采用方案二的可能性更大．
【解析】根据题意，分“甲连胜两局”和“甲前局中一胜一败，第三局获胜”两种情况讨论，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案，
根据题意，求出采用方案一的概率，由此可得采用方案二的概率，比较可得答案．
本题考查互斥事件、相互独立事件概率的计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
18.【答案】解：当时，，则；
当时，，则，
可得是以为首项，为公比的等比数列，则；
由，
前项和．
【解析】由数列的递推式：当时，，；当时，，化简整理，结合等比数列的定义和通项公式即可得到所求通项；
求得，由数列的裂项相消求和化简即可得到所求和．
本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：由题意知，圆心在直线上，即，
又圆心在轴上，，
由以上两式得：，，
圆的方程为，化为标准方程 ，
故圆的标准方程为 ；
如图，圆的圆心为，半径，
、是圆的两条切线，
，，故，
又，
根据平面几何知识，要使最小，只要最小即可．
易知，当点坐标为时，．
此时．
【解析】由圆心在直线上及圆心在轴上列式求得与的值，则圆的方程可求，进一步化为标准方程得答案；
由知圆的圆心为，半径，可得，再由，可知要使最小，只要最小即可．由此可得当点坐标为时，有最小值，则答案可求．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】证明：数列满足，，
整理得：常数，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
所以：，
整理得．
设等差数列的首项为，公差为，
因为，，
所以，解得，．
故．
由得：，
所以，
，
得：，
，
整理得．
【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
直接利用关系式的变换和等比数列的定义的应用求出结果．
利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．
21.【答案】解：Ⅰ由题可知，
当，，在上单调递增，没有极值；
当，时，．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
在时取得极大值，没有极小值
综上所述，当时，无极值；
当时，有极大值，无极小值；
Ⅱ
，，
令，则原问题，，
，，
，，单调递增；，，单调递减；
，
的取值范围为．
【解析】Ⅰ求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；根据单调性即可求得的极值
Ⅱ参变分离，将问题转化为用导数求函数的最值问题
本题主要考查利用导数研究函数的极值，利用导数研究不等式恒成立问题等知识，属于中等题．
22.【答案】解：由题意可知，，化解整理得，
所以椭圆的离心率；
由的周长为，则，即．
由可知，，
所以椭圆的方程为，
且焦点，，
若直线斜率不存在，方程为，解方程组，
所以，，
则，，
所以；
若直线的斜率存在，设直线方程为，由，
整理得，
设、，则，，
所以
，
由，可得，
综上所述．
所以的最大值是．
【解析】根据点到直线的距离公式，即可求得与的关系，即可求得椭圆的离心率；
根据题意，求得椭圆方程，分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，求得的表达式，根据函数的单调性即可求得的最大值．
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查分类讨论，计算能力，属于中档题．
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