2023-2024学年云南省保山市腾冲八中高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南省保山市腾冲八中高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.方程表示的曲线是( )
A. 一条射线 B. 一个圆 C. 两条射线 D. 半个圆
2.已知函数，若，则的值是( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列满足，，若数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前项和，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，其导函数记为，则( )
A. B. C. D.
7.已知、为双曲线：的左、右焦点，点在上，，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于空间向量的命题中，不正确的是( )
A. 长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
B. 平行且模相等的两个向量是相等向量
C. 若，则
D. 两个向量相等，则它们的起点与终点相同
10.下列说法中错误的是( )
A. 已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆
B. 已知，，平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆
C. 平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆
D. 平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆
11.等差数列中，为其前项和，，，则以下正确的是( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 使得的最大整数
12.过点作曲线的切线，则直线的方程可能为( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，是空间两个向量，若，，，则，______．
14.若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则：：______．
15.在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为______．
16.等比数列的首项为，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知正三棱柱，底面边长，，点、分别是边，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．
Ⅰ求正三棱柱的侧棱长；
Ⅱ求异面直线与所成角的余弦值．
18.本小题分
已知为偶函数，当时，，求曲线在点处的切线方程．
19.本小题分
已知正项等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
记的前项和为，求．
20.本小题分
如图，在三棱台中，，，分别为，的中点．
求证：平面；
若平面，，，，求平面与平面所成角锐角的大小．
21.本小题分
在对任意，满足，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
问题：已知数列的前项和为，，______，若数列是等差数列，求数列的通项公式；若数列不一定是等差数列，说明理由．
22.本小题分
设函数，曲线在点处的切线方程为．
求的解析式；
证明：曲线上任意一点处的切线与轴和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：方程可化为，
所以方程表示圆位于轴上方的部分，是半个圆，
故选：．
方程可化为，即可得出结论．
本题考查曲线与方程，考查学生的理解能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，得．
所以，解得．
故选C．
求出原函数的导函数，由列式可求的值．
本题考查了导数的加法法则，考查了基本初等函数的导数公式，是基础的运算题．
3.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以．
故选：．
根据导数的定义可得．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
，，
，解得，
则，
，
则，
故选：．
先求出等差数列的通项公式，利用裂项相消法求和，即可得出答案．
本题考查等差数列的通项公式和裂项相消法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：数列，都是等差数列，记，分别为，的前项和，且，
则，
故选：．
由题意利用等差数列的性质、等差数列的前项和公式，得出结论．
本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前项和公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数定义域为，
令，则的定义域为，，
又，故是奇函数，
所以，故，
所以．
故选：．
根据给定条件，变形函数并求出，再探讨导函数的奇偶性作答．
本题主要考查导数的运算，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：双曲线：，可得，，
则，
设，，
由双曲线的定义可得：，则有，
又由，则有，
联立解可得，
则的面积；
故选：．
根据题意，由双曲线的标准方程分析可得、的值，计算可得的值，设，，由双曲线的定义分析可得，由余弦定理可得，联立解可得的值，由三角形面积公式计算可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，涉及余弦定理的应用，关键是求出的值．
8.【答案】
【解析】解：如下图：
、、分别表示了直线，，的斜率，
故，
故选B．
由题意，作出、、所表示的几何意义，从而求解．
本题考查了学生的作图能力及对导数的几何意义的理解，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于：由相等向量的定义，长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，A正确；
对于：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错误；
对于：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错误；
对于：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错误．
故选：．
根据题意，利用向量、相等向量的定义依次分析选项，综合可得答案．
本题考查向量的定义，涉及相等向量的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，因为，
所以平面内到，两点的距离之和等于的点的轨迹是线段，故A错误；
对于，到，两点的距离之和等于，小于，这样的轨迹不存在，故B错误；
对于，点到，两点的距离之和为：
，
所以动点的轨迹是椭圆，故C正确；
对于，轨迹应是线段的垂直平分线，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合椭圆的定义，即可求解．
本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的基本量的计算及性质，属于中档题．
先由题设求出等差数列的公差，再逐项判断其正误即可．
【解答】
解：，
，
，
，，
数列的公差，
，
，
，的最大值为，使得的最大整数，
故B、、D正确，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：不在函数的图象上，所以不是切点，，
设切点，，解得，，
切线的斜率为：或，
，即时，切线方程为．
故选：．
判断不是切点，设出切线方程的切点坐标，把设出的切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线方程的斜率，根据设出的切点坐标和表示出的斜率写出切线方程，把原点代入切线方程中化简可求出切点的横坐标，把横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，且得到切线的斜率，根据斜率和切点坐标写出切线的方程即可．
本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：将式子平方可得，
故可得，
代入数据可得，
故答案为：
将式子平方可得，由数量积的定义，代入数据化简可得．
本题考查向量的夹角公式，涉及向量的数量积的运算，属中档题．
14.【答案】：：
【解析】【分析】
求出 、 的坐标，由，及，用表示出和的值，即得法向量的坐标之比．本题考查平面的法向量的性质以及两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用．
【解答】
解：，
．
故答案为：：．
15.【答案】
【解析】解：抛物线的准线方程为，
分别过，作准线的垂线，垂足分别为，，则，
设的中点为，过作准线的垂线交轴于，交准线于，则，，
．
故答案为：．
分别过，向准线作垂线，利用梯形的中位线性质计算距离．
本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，设数列共有项，
由题意得，，
则，
解得．
故答案为：
根据题意，设数列共有项，根据等比数列的性质得出奇偶项的和之间的关系，即可求得答案．
本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的前项和，属于基础题．
17.【答案】解：Ⅰ设正三棱柱的侧棱长为，
由题意得 ，，，，，．
，
所以 ．
Ⅱ，，，
， ．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
【解析】本题考查了正三棱柱的性质，及异面直线所成角计算，属于基础题．
Ⅰ依据空间直角坐标系，设出坐标，利用求正三棱柱的侧棱长．
Ⅱ利用向量法求出，即可得到异面直线与所成角的余弦值．
18.【答案】解：令，则，所以，
因为为偶函数，所以时，，则点在函数图象上，，
所以，所以切线方程为：，即．
【解析】利用偶函数性质可以求出时求出，判断出在函数图象上，求出斜率即可．
本题考查用导数求曲线上某点的切线，涉及函数的奇偶性等，属于基础题．
19.【答案】解：由，得，
即，．
又，，成等比数列，
，即，
解得，或舍去，
，故；
，
，
则，
得
，
．
【解析】利用等差数列的性质以及求出；再由，，成等比数列求出公差即可求的通项公式；
把的结论代入，再利用错位相减法求．
本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了错位相减法求数列的前项和，是中档题．
20.【答案】解：证明：根据已知条件，，，，
∽，又，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面，
同样，因为为中位线，
所以，
所以，
所以，
所以平面，，
所以平面平面，平面，
所以平面．
连接，则，
因为平面，
所以平面，并且，
所以，，三直线两两垂直，分别以这三条直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系：
设，则，，，，
连接，根据已知条件，为中点，
所以，
又平面，平面，
所以，，
所以平面，
所以为平面的法向量，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设平面和平面所成的锐二面角为，
则，，
所以平面与平面所成的角为．
【解析】根据已知条件，，，，∽，又，推出四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面，平面，由面面平行的性质定理可得平面平面，平面，进而可得答案．
连接，则，推出平面，平面，并且，以，，三直线两两垂直，分别以这三条直线为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，
连接，根据已知条件，为中点，推出平面，设平面的法向量为，
则，解得，设平面和平面所成的锐二面角为，即，，即可得出答案．
本题考查空间中直线与平面的位置关系，二面角，解题中需要理清思路，属于中档题．
21.【答案】解：若选择条件：
因为对任意，，满足，
所以，
所以，
因为无法确定的值，
所以不一定等于，
所以数列不一定是等差数列，
若选择条件：
由，
则，即，，
又因为，所以，
所以数列是等差数列，公差为，
因此数列的通项公式为，
若选择条件：
因为
所以，，
两式相减得，，，
即，
又，即，
所以，，
又，，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以．
【解析】分别选择，根据等差数列的定义判断是否能构成等差数列，进而得出通项公式．
本题考查了充要条件的判定方法、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：方程可化为，当时，，
又，于是，解得，故；
设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为，即，
令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；
令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；
所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为，
故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形面积为定值，此定值为．
【解析】已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点在曲线上，利用方程联立解出，；
可以设为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线和直线联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可．
本题考查导数的几何意义，切线方程的求法和应用，属于中档题．
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