2023-2024学年广东省东莞市北师大石竹附属学校高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省东莞市北师大石竹附属学校高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：，的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.设点是正方形的中心，则下列结论错误的是( )
A. B. C. 与共线 D.
4.给出下列六个命题：
两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
若，则；
若，则四边形是平行四边形；
平行四边形中，一定有；
若，，则；
，，则．
其中不正确的命题的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.已知正方形边长为，则．( )
A. B. C. D.
6.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.如图，、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结果为零向量的是( )
A. B.
C. D.
10.下列关于函数的说法正确的是( )
A. 在区间上单调递减 B. 最小正周期是
C. 图象关于点成中心对称 D. 图象关于直线对称
11.已知是定义在上的函数，且对于任意实数恒有，当时，则( )
A. 为奇函数
B. 在上的解析式为
C. 的值域为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数在区间上是减函数，则的值为______．
13.用一根长度为的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角为 弧度．
14.若函数在区间内恰有个零点，则正整数等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求．
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，
求的值；
求的值．
17.本小题分
已知定义在区间上的函数为奇函数．
求函数的解析式并判断函数在区间上的单调性；
解关于的不等式．
18.本小题分
已知是定义在上的奇函数，当时，
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ画出简图并根据图象写出的单调增区间．
Ⅲ若方程有个实根，求的取值范围．
19.本小题分
若的最小正周期为．
求的解析式；
若关于的不等式，在上恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，即，得到或，
所以或，
又，所以．
故选：．
根据条件得到或，再利用集合的运算即可求出结果．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查全称量词命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可得到结论．
【解答】
解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得：
命题：，，其否定为，．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：如图所示，
点是正方形的中心，则，A正确；
，则，B正确；
又，所以与共线，C正确；
，但，D错误．
故选：．
根据题意画出图形，结合图形对选项中的命题，判断正误即可．
本题考查了平面向量相等于共线定理的应用问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同，不一定正确；
若，方向不同，故不一定成立；
若，则四边形是平行四边形，正确；
平行四边形中，一定有，正确；
若，，则，正确；
，，则，取时，与不一定共线．
其中不正确的命题的个数为．
故选：．
利用向量相等即可判断出；
若，则不一定成立；
利用向量相等与平行四边形的定义即可得出；
利用平行四边形的性质与向量相等即可得出；
利用向量相等的定义即可判断出；
，，则，取时，与不一定共线．
本题考查了向量相等的意义、向量共线定理，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的加法法则，注意解题方法的积累，属于基础题．
通过向量加法的平行四边形法则可知，进而可得结论．
【解答】
解：由向量加法的平行四边形法则可知：
，
，
又正方形边长为，
，
，
故选D．
6.【答案】
【解析】解：因为，
所以，解得且，
所以的定义域为．
故选：．
利用具体函数定义域的求法，结合对数函数的定义域求解即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
7.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案．
本题主要考查了诱导公式及同角基本关系的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：连接，如下图所示：
因为，则为圆的一条直径，故为的中点，
所以，，
所以，
，
当且仅当、、共线且、同向时，等号成立，
因此，的最大值为．
故选：．
连接，可知为的中点，计算得出，利用向量模的三角不等式可求得的最大值．
本题主要考查两向量和的模的最值，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A，，故选项A错误，
对于选项B，，故选项B正确，
对于选项C，，故选项C正确，
对于选项D，，故选项D正确，
故选：．
利用向量的线性运算法则逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：函数，
当 时，，函数单调递增，所以A错误；
因为，故B正确；
令，则，
所以函数的对称轴方程为，
令及，得、，
故的图象关于直线及对称，故C错、对．
故选：．
根据三角函数的性质依次求解判断即可．
本题考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，上，，有，
又由，则，
故在区间上，关于原点对称，
又由，则，即函数是周期为的周期函数，
故的图象关于原点对称，
由此分析选项：
对于，的图象关于原点对称，为奇函数，A正确；
对于，，则，则，
函数是周期为的周期函数，则，B正确；
对于，在区间上，，有，故的值域一定不是，C错误；
对于，，则，则有，，故，
故，D正确；
故选：．
根据题意，分析可得区间上，的解析式，再分析函数的周期性，可得的图象关于原点对称，由此分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查函数的周期性，涉及函数的解析式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：幂函数在区间上是减函数，
，
解得．
故答案为：．
利用幂函数的定义和性质列出方程组，能求出的值．
本题考查实数值的求法，考查幂函数的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积公式，弧长公式以及二次函数的性质，属于基础题．
设扇形的半径为，则扇形的弧长为，利用扇形的面积公式可求，进而利用二次函数的性质以及弧长公式即可求解．
【解答】
解：设扇形的半径为，则扇形的弧长为，
利用扇形的面积公式可得，
利用二次函数的性质可知当时，扇形的面积取最大值，
此时，其圆心角．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：令，则，
，
正整数，，则：
当时，在区间内有个零点，不符合条件；
当时，在区间内有个零点，不符合条件；
当时，在区间内有个零点，符合条件．
因此，
故答案为：．
根据条件可得，然后根据为正整数，分别取，，等计算的零点个数即可．
本题考查了函数零点的判断和三角函数的图象与性质，属中档题．
15.【答案】解：由，得，
则，
又，
则，
所以，；
由是的充分不必要条件，
得，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，
即的取值范围为．
【解析】根据集合间的运算直接计算；
根据充分必要性可得，分情况列不等式，解不等式即可．
本题考查充分不必要条件的应用，考查集合的运算，属于基础题．
16.【答案】解：，，．
；
由可知：．
．
【解析】利用平方关系和倍角公式即可得出；
利用商数关系和两角差的正切公式即可得出．
熟练掌握平方关系和倍角公式、商数关系和两角差的正切公式是解题的关键．
17.【答案】解：是在区间上的奇函数，
，则分
设，
则，
，，
，即，
函数在区间上是增函数分
，且为奇函数，
又函数在区间上是增函数，
，解得，
故关于的不等式的解集为分
【解析】根据奇函数满足求出，代入后利用单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论，证明在区间上的单调性；
利用奇函数的性质转化不等式，根据函数的单调性和定义域列出不等式组，求出的范围即可．
本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，利用单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论证明单调性，注意函数的定义域，以及转化思想，化简、变形能力．
18.【答案】解：是定义在上的奇函数，
当时，
当，时，
当时，，
，
．
画出简图：
由图象知的单调增区间为，．
若有个实根，
则等价为有个实根，
即与，有两个交点，
则由图象知且，
且．
【解析】Ⅰ根据函数奇偶性的性质，利用对称性进行求解即可；
Ⅱ作出函数的图象，利用数形结合进行判断即可；
Ⅲ利用函数与方程的关系，转化为函数与的交点问题进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，结合函数的奇偶性求出函数的解析式，利用数形结合以及转化思想是解决本题的关键．
19.【答案】解：因为
即，
因为，所以，
所以；
解：由可知，
不等式可化为
，
令，因为，所以，所以
所以，则．
所以不等式在上恒成立，
可化为在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
当且仅当时等号成立，所以，即
【解析】利用三角恒等变换公式化简函数解析式，再根据周期公式求出，即可得解；
依题意可得，令，，则，依题意可得在上恒成立，参变分离，再利用基本不等式计算可得．
本题考查不等式的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于难题．
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