2023-2024学年湖南岳阳市第一中学高一（下）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省岳阳一中高一（下）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若在区间上递减，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.设，，，则( )
A. B. C. D.
5.若，且，则( )
A. B. C. D.
6.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价每平方米面积的价格，单位为元与第季度之间近似满足：，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
？
则此楼群在第三季度的平均单价大约是( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
7.已知是定义域为的奇函数，满足，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若在区间内无最值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是( )
A. B. C. D.
10.已知，是正数，且，下列叙述正确的是( )
A. 最大值为 B. 有最大值
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.关于函数，下列命题中真命题的是( )
A. 函数的周期为
B. 直线是的一条对称轴
C. 点是的图象的一个对称中心
D. 将的图象向左平移个单位，可得到的图象
12.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 的值域为
B. 函数的最小正周期是
C. 当且仅当时，函数取得最大值
D. 当且仅当时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知集合，若，则满足条件的集合有______个．
14.若函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是______．
15.函数在区间上的最小值是 ．
16.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知关于的不等式．
若该不等式的解集为，求，的值；
若，求此不等式的解集．
18.本小题分
已知函数图象的两相邻对称轴之间的距离为．
求函数的解析式，并写出使函数取得最大值的的集合；
求函数在上的单调递减区间．
19.本小题分
已知是定义域为的奇函数．
求的值，判断的单调性并证明；
若恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车这类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽柴油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且；已知每辆车售价万元，由市场调研知，全年生产的车辆当年能全部销售完．
求出年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式；
年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
21.本小题分
已知函数．
用五点作图法画出函数在一个周期上的简图；
若，求．
22.本小题分
已知，函数，其中．
设，求的取值范围，并把表示为的函数；
求函数的最大值可以用表示．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，或，
，则．
故选：．
先把集合表示出来，再根据交集的定义计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用函数的单调性分别化简，，即可判断出结论．
【解答】
解：，化为，解得，即，
，即，解得，即
，
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：令，则，
配方得，故对称轴为，如图所示：
由图象可知，当对称轴时，在区间上单调递减，
又真数，二次函数在上单调递减，
故只需当时，若，
则时，真数，
代入解得，所以的取值范围是
故选：．
由题意，在区间上，的取值需令真数，且函数在区间上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．
本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，复合函数单调性遵从同增异减的原则．
4.【答案】
【解析】解：，，；
故选：．
容易看出，，从而可得出，，的大小关系．
考查对数函数、指数函数的单调性，对数的运算，增函数和减函数的定义．
5.【答案】
【解析】解：由已知可得，，
所以，．
由，
可得．
故选：．
由已知可得，联立方程组，求解即可得出答案．
本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由表格数据可知，，
，
，；
可得，
时，
故选C．
根据表格数据可求的三角函数模型，再利用三角函数模型可求此楼群在第三季度的平均单价．
本题以表格为载体考查三角函数模型的运用，解题的关键是合理运用表格数据，求出三角函数模型，从而解决实际问题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．
根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数是以为周期的周期函数，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
【解答】
解：是定义域为的奇函数，且，
，，
则，则，
即函数是以为周期的周期函数，
，
，，
，
则，
则
，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：函数 在区间内无最值，
区间是函数的一个单调区间，
故有，，．
求得．
取，可得；取，可得，
故选：．
由题意可得区间是函数的一个单调区间，故有 ，，，由此求得的取值范围．
本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为幂函数的解析式为：，排除，
又在上单调递增，
而，都是幂函数，且在上单调递减；
故选：．
直接根据幂函数解析式的特点以及幂函数的单调性即可求解结论．
本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，是正数，，当且仅当时取等号，此时，故A正确；
，当且仅当时取等号，故B错误；
因为，则，当且仅当时取等号，故C正确；
对于，，当且仅当时取等号，故D错误．
故选：．
根据题意，由基本不等式对选项逐一判断，即可得到结果．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：
，故，故A为真命题；
当时，终边不在轴上，故直线不是的一条对称轴，故B为假命题；
当时，，终边落在轴上，故点是的图象的一个对称中心，故C为真命题；
将的图象向左平移个单位，可得到的图象，故D为真命题；
故选：．
根据和差角公式化简函数的解析式，进而根据三角函数的图象和性质，逐一判断四个命题的真假，可得答案．
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数的图象和性质，是解答的关键．
12.【答案】
【解析】解：因为函数，
所以，
作出函数的图象如图所示，
由图可知，函数的值域为，故选项A错误；
函数的最小正周期为，故选项B正确；
当且仅当时，函数取得最大值，故选项C错误；
当且仅当时，，故选项D正确．
故选：．
利用绝对值的定义，将函数转化为分段函数，作出函数图象，分析判断四个选项即可．
本题考查了含有绝对值的函数的应用，对于含有绝对值的函数，常见的解法是利用绝对值的定义去掉绝对值，将函数转化为分段函数进行求解，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：集合，，
满足条件的集合有：
，，
满足条件的集合有个．
故答案为：．
利用列举法能求出满足条件的集合的个数．
本题考查满足条件的集合个数的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：若函数是上的单调递增函数，
则，
解得．
则实数的取值范围是．
故答案为：．
利用一次函数、二次函数的单调性和增函数的性质能求出实数的取值范围．
本题考查一次函数、二次函数的单调性和增函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数的计算，关键是正确计算函数的导数，并由此分析函数的单调性，属于基础题．
根据题意，对函数求导可得，分析可得时，在上恒大于，即可得在区间上为增函数，则有，代入计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数，
则其导数，
当时，，
则 ，
在区间上为增函数，
．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：作图如下：
因为函数的图象关于点对称，函数的图象也关于点对称，
所以函数的图象与函数的图象所有交点关于点对称，
又因为的最小正周期，
由函数图象可知在这个周期内有个交点，其余每个周期内有个交点，
即在内有个交点，在内有个交点，
另还有交点，
所以所有交点的横坐标之和为，
故答案为：．
函数的图象与函数的图象有公共的对称中心，作出图象，数形结合即可得到答案．
本题考查函数交点个数的求解，数形结合是解题的关键，属于中档题．
17.【答案】解：关于的不等式的解集为，
方程两根为和，
，．
，原不等式可化为，
，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，．
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
【解析】由不等式的解集为，利用韦达定理建立关于和的方程，然后求出和即可．
将代入不等式中，然后得到，再分，和三种情况求出不等式的解集．
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了方程思想和分类讨论思想，属中档题．
18.【答案】解：因为两相邻对称轴之间的距离为，可知函数的周期，分
，分
，分
当，
函数取得最大值，使函数取得最大值的的集合为分
对于的单调递减区间为
故有分
解得分
当时，，此时；分
当时，，此时，
所以函数在上的单调递减区间为分
【解析】利用函数的周期，求解，然后求解函数的解析式，利用函数的最大值求解的集合即可．
利用正弦函数的单调性，转化求解函数的单调区间即可．
本题考查三角函数的解析式的求法，函数的单调区间的求法，是中档题．
19.【答案】解：因为是定义域为的奇函数，
所以，
即，
所以，经检验符合题意．
所以，
函数在上是单调递增函数，
证明如下：
对于，，设，
则，
因为，所以，，，
所以，
即，
所以，
即函数在上是单调递增函数．
等价于，
因为是上的单调增函数，所以，即恒成立，
所以，解得，
所以的取值范围为．
【解析】利用奇函数的性质即可求解，即可由单调性的定义求证，
由的单调性，即可结合奇偶性将问题转化为恒成立，即可由判别式求解．
本题考查了奇函数的性质、对函数单调性的判断及证明、转化思想及二次函数的性质，属于中档题．
20.【答案】解：由题知：利润收入总成本，
所以利润，
故年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为．
当时，，
又因为，故当时，；
当时，若，则，
当且仅当，即时取得等号，；
此时时，万元．
若，则在上单调递减，
所以当时，．
又在上单调递减，
所以，
此时，当时，，
综上所述，若，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为万元；
若，当产量为百辆时，取得最大利润，最大利润为万元．
【解析】根据利润收入总成本，结合题设即可求得答案；
当时结合二次函数性质求出此时利润最大值；当时，讨论和两种情况，结合对勾函数性质，求出此时利润最大值，综合比较可得答案．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
21.【答案】解：由“五点作图法”列表如下：
图象如下：
由，从而可得，
所以，，或，，
可得，，或，
又因为，
所以取，得或．
【解析】由题意利用“五点作图法”即可求解；
由题意可得，结合，即可求解得或．
本题主要考查了五点法作函数的图象，考查了正弦函数的性质，属于基础题．
22.【答案】解：，
又，
，
从而，
．
又，
，
，
；
求函数的最大值即求的最大值，
可得，对称轴为，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
综上可得，当时，的最大值是；当时，的最大值是；当时，的最大值是；
【解析】将平方，利用同角三角函数的平方关系及角的范围化简计算即可；
利用的结论，及二次函数的性质分类讨论计算即可．
本题考查了同角三角函数的平方关系以及二次函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．
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