2023-2024学年山东省菏泽市东明县第一中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省菏泽市东明一中高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导数为，若，则( )
A. B. C. D.
3.若向量，则( )
A. B. C. D.
4.已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
5.班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则( )
A. B. C. D.
6.在等比数列中，、是方程的两根，则( )
A. B. C. D.
7.已知正项等差数列的前项和为，若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是( )
A. B. C. D.
10.下列运算不正确的有( )
A. B.
C. D.
11.若数列满足，，，则称为斐波那契数列记数列的前项和为，则( )
A. B.
C. D.
12.已知曲线：，其中，则下列结论正确的是( )
A. 方程表示的曲线是椭圆或双曲线
B. 若，则曲线的焦点坐标为和
C. 若，则曲线的离心率
D. 若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的导函数 ．
14.若，则数列的前项和 ．
15.如图，在长方体中，，，点为的中点，则点到平面的距离为 ．
16.已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，、分别交轴于、两点，的周长为过作外角平分线的垂线与直线交于点，若，则椭圆的方程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求导：；
求函数在处的导数．
18.本小题分
已知等比数列中，，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
19.本小题分
如图，在五面体中，平面，，，，且四面体的体积为．
求的长度；
求平面与平面所成角的余弦值．
20.本小题分
已知点，圆．
求过点的圆的切线方程；
若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值．
21.本小题分
已知椭圆：的左右焦点是，，且的离心率为，抛物线：的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为．
求椭圆的标准方程；
设椭圆上一动点满足：，其中，是椭圆上的点，且直线，的斜率之积为，若为一动点，点满足，试探究是否为定值，如果是，请求出该定值：如果不是，请说明理由．
22.本小题分
已知为数列的前项和，且．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：点位于函数上，
将代入原函数得到，切线过点，
，切线斜率，
切线方程为，即，
故选：．
首先将点代入函数求得切点，根据导数性质可得切线斜率，利用直线方程点斜式可求得切线方程．
本题考查利用导数求函数的切线，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以，解得：，所以．
故选：．
根据导数运算性质计算即可．
本题考查导数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：若向量，，
则，
于是，
故选：．
根据坐标写出向量，再根据向量模的计算公式求解．
本题考查空间向量基本运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线过定点问题，考查基本不等式，属于基础题．
先求出直线的定点，再分别求出两坐标轴上的截距，再结合基本不等式即可求解．
【解答】
解：直线可变为，
则过定点，
直线在两坐标轴上的截距都是正值，则，
令，得，
直线与轴的交点为，
令，得，
直线与轴的交点为，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故直线方程为．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，
则，
又，
则，
又，
由内角平分线定理可得：．
故选：．
由椭圆的定义，结合内角平分线定理求解即可．
本题考查了椭圆的定义，重点考查了内角平分线定理，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，
，是方程的两根，
，，，，．
，又在等比数列中偶数项同号，
，
故选：．
，是方程的两根可得，在等比数列中求出，要注意在等比数列中偶数项同号．
本题考查了等比数列的性质和根与系数的关系，根据等比数列的性质是解决本题的关键，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：正项等差数列，则，
若，则，解得或舍，
则．
故选：．
根据等差数列的性质得，则可由已知等式求的值，从而利用求和公式和等差数列性质求的值．
本题主要考查等差数列的前项和，等差数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，，
所以，即，
在三角形中，
，
解得，则，
又由三角形的内切圆半径为，
由等面积法可得，则，
由已知可得，
所以，整理可得，解得或舍去，
所以椭圆的离心率，
故选：．
先由已知求出，然后在三角形中利用余弦定理可得，再由等面积法求出内切圆半径的值，利用正弦定理建立等式关系，化简即可求解．
本题考查了椭圆的几何性质以及定义，涉及到正弦定理和余弦定理，考查了运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．
求得已知直线的斜率，对选项中的函数分别求导，可令导数为，解方程即可判断结论．
【解答】
解：直线的斜率为，
由的导数为，即所有切线的斜率小于，故A不能选；
由的导数为，而，解得，故B可以选；
由的导数为，而有解，故C可以选；
由的导数为，而，解得，故D可以选．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：：因为，所以本选项不正确；
：因为，所以本选项不正确；
：因为，所以本选项正确；
：因为，所以本选项不正确，
故选：．
根据复合函数的导数运算性质，结合常见函数的导数公式逐一判断即可．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，，，
，，，，，，，，
可得，故A错误；
，，故B正确；
，故C正确；
由，故D错误．
故选：．
可计算斐波那契数列的前几项，计算可判断、；由，结合累加法和斐波那契数列的定义，计算可判断、．
本题考查斐波那契数列的定义和应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：当时，曲线：，表示直线或，故选项A错误；
当时，曲线方程为，可知曲线为焦点为和的椭圆，故选项B正确；
当时，曲线方程为，
因为，可得曲线为焦点在轴上的椭圆，
，，则，
所以离心率，因为，
所以，
故选项C正确；
若方程表示的曲线是双曲线，因为曲线方程为，
所以，即，故
所以，，所以，
因为，所以
所以，故，所以，
故焦距，所以其焦距的最小值为，故选项D正确．
故选：．
通过的范围，判断曲线的形状，利用特例判断，求出焦点的坐标，判断，求出离心率的范围判断，求出焦距判断．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数的计算，属于基础题
根据导数运算公式运算即可．
【解答】
解：函数的导函数．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：数列的通项公式，分组求和法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
直接利用数列的通项公式和分组求和法即可求出结果．
【解答】
解：由于，
则
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．
本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
【解答】
解：在长方体中，，，
点为的中点，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，
，
，，
，
设平面的法向量，
则
取，得，
点到平面的距离：
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：因为过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，
在中，，，所以，
因为为的中点，所以，分别为，的中点，
所以的周长等于的周长，所以，解得：，
因为过作外角平分线的垂线与直线交于点，
所以，则，
则，
则，故，，
所求方程为．
故答案为：．
由题意可得以的周长等于的周长，所以，求出，又因为，所以，即可求出，再由，即可求出椭圆的方程．
本题考查椭圆方程的求法，考查运算求解能力，属中档题．
17.【答案】解：；
，函数在处的导数为．
【解析】根据基本初等函数的求导公式求导即可；
根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可．
本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，是基础题．
18.【答案】解：由题意，设等比数列的公比为，则
，解得，
，，
由，可得
，
．
【解析】本题主要考查等比数列的基本量的运算，以及等差数列求和．属基础题．
先设等比数列的公比为，然后根据等比数列的通项公式列出关于首项与公比的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果及对数的运算计算出数列的通项公式，然后依据等差数列的求和公式即可计算出数列的前项和．
19.【答案】解：作于点，
所以四边形是一个梯形，且，
所以，
因为，，，
所以且，且，
又因为，
所以，
所以．
分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，，，
由题可知平面的法向量为，
，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，
令，则，，
所以，
，．
所以平面与平面所成角的余弦值为．
【解析】作于点，则四边形是一个梯形，且，，计算，，进而可得，即可得出答案．
分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，由题可知平面的法向量为，设平面的一个法向量为，则，解得的坐标，再计算，，即可得出答案．
本题考查三棱锥的体积，二面角的计算，解题中需要理清思路，属于中档题．
20.【答案】解：由圆的方程得到圆心，半径，
当直线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为，此时直线与圆相切；
当直线斜率存在时，设方程为，即，
由题意得：，解得，
方程为，
则过点的切线方程为或．
圆心到直线的距离为，
又弦的长为，
，解得：．
故的值为．
【解析】由圆的标准方程得到圆心和半径，再分别讨论直线斜率存在与不存在的情况，不存在时由圆心到直线的距离公式等于半径特殊情况判断；存在时代入点到直线的距离公式求出斜率；
由点到直线的距离公式和弦长公式计算即可．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
21.【答案】解：抛物线：的焦点为，
，
过垂直于轴的直线截所得的弦长为，
，
得，
，
又，
，，
椭圆的方程为：；
设，，，
则由，
得，，
点，，在椭圆上，
，
，
，
，
由直线，的斜率之积为可得，
，
即，
，
故在椭圆上，
由，，
可得，
，为椭圆的左右焦点，
由椭圆定义可知为定值．
【解析】此题考查了椭圆，抛物线方程，直线与椭圆的综合，难度较大．
利用弦长可解的值，进而得，再结合离心率可得，得方程；
利用点，，在椭圆上和，斜率之积为可得，的关系式，恰为新的椭圆方程，并求得，为其焦点，由椭圆定义得出定值．
22.【答案】解：数列的前项和，且，，
当时，；
当时，，，
得：，整理得；
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以，首项符合通项，
故．
由得：；
所以，
整理得．
由得：；
所以，，
，，
得：，
整理得：．
不等式对一切恒成立，
故当时，，整理得，
当时，．
故．
【解析】本题考查数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，考查运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．
利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和，进一步利用分类讨论思想的应用求出参数的取值范围．
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