2023-2024学年北京九中高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京九中高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共16小题，每小题5分，共80分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面与平面为两个不同的平面，与为两条不重合的直线，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的焦点在轴上，且其中一条渐近线的方程为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
4.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
5.在空间四边形中，，、分别是、的中点，，求与所成角的大小( )
A. B. C. D.
6.如果圆关于直线对称，那么( )
A. B. C. D.
7.已知直线与直线平行，则它们之间的距离为
( )
A. B. C. D.
8.若直线：与圆：相切，则圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
9.如图，在三棱锥中，和均为正三角形，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于
( )
A. B. C. D.
11.设为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为( )
A. B. C. D.
12.首位数字是，且恰有两个数字相同的四位数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
13.在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是，圆的半径为，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点，则圆的半径的取值范围是( )
A. B. C. D.
14.九章算术中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”如图现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法显然，正方体的内切球同时也是“牟合方盖”的内切球因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，该平面截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆结合祖暅原理，两个同高的立方体，如在等高处的截面积相等，则体积相等若正方体的棱长为，则“牟合方盖”的体积为( )
A. B. C. D.
15.如图，在正方体中，点，分别是棱，上的动点给出下面四个命题：
直线与直线平行；
若直线与直线共面，则直线与直线相交；
直线到平面的距离为定值；
直线与直线所成角的最大值是．
其中，真命题的个数是( )
A. B. C. D.
16.吹奏乐器“埙”如图在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆半椭圆且为常数和半圆组成的曲线如图所示，曲线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
17.过点，圆心为的圆的标准方程是______．
18.的展开式中常数项是______用数字作答．
19.直线经过点，且点到的距离为，则直线的方程为______．
20.图庑殿顶是中国古代建筑一种官式建筑，而且等级是最高的，如故宫的英华殿．它屋面有四面坡，前后坡屋面全等且相交成一条正脊，两山屋面全等，与前后屋面相交成四条垂脊．由于屋顶四面斜坡，也称“四阿顶”；图是庑殿顶的顶盖几何模型图，底面是矩形，若四个侧面与底面所成的角均相等，已知，，则______．
21.如图，正方体的棱长为，点是平面内的动点，，分别为，的中点，若直线与直线所成的角为，且，则动点的轨迹所围成的图形的面积为______．
三、解答题：本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.本小题分
如图，抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，直线过抛物线的焦点，且斜率为，直线交抛物线与圆依次为、、、四点．
求抛物线的方程．
求的值．
23.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点．
求证：平面；
若，二面角的大小为，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知求的长．
条件：；条件：．
24.本小题分
已知椭圆的方程为，点为长轴的右端点．，为椭圆上关于原点对称的两点．直线与直线的斜率和满足：．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ若直线：与圆相切，且与椭圆相交于，两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：若，，则或，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，由直线与平面垂直的性质可得，，故C正确；
若，，则或，故D错误．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的关系判断与；由直线与平面垂直的性质判断；由直线与平面、平面与平面垂直的关系判断．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
故斜率，倾斜角为．
故选：．
先根据方程得斜率，再根据斜率与倾斜角关系求结果．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的方程为，
可得渐近线方程为，由题意可得，
则，
故选：．
设出双曲线的方程，求出渐近线方程，结合离心率公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点坐标为：．
故选：．
直接利用抛物线方程求解焦点坐标即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：取的中点，连结，，，
因为、分别是、的中点，
所以，，
，，
所以与所成的角即为与所成的角．
在三角形中，，，，
所以三角形为直角三角形，所以，
即与所成角的大小为．
故选：．
利用异面直线所成角的定义求与所成角的．
本题主要考查异面直线所成角的求法，利用平行线求异面直线的夹角是基本方法．
6.【答案】
【解析】解：因为圆的圆心为，
由圆的对称性知，圆心在直线上，
故有，即．
故选：．
由题得圆心在直线上，代入计算即可得解．
本题考查圆关于直线的对称性的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两条直线平行的性质，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．
由题意利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．
【解答】
解：直线与直线平行，
，求得，
故两平行直线即：直线与直线，
故它们之间的距离为，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，圆：，即，其圆心为，
若直线：与圆相切，则有，
则圆的标准方程为；
故选：．
根据题意，由圆的方程分析可得圆心的坐标，结合直线与圆的方程分析可得，由圆的标准方程的形式分析可得答案．
本题考查直线与圆相切，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：分别取，，的中点，，，连接，，，，，则，，
所以或其补角即为所求，
因为和均为正三角形，所以，，且，
所以为二面角的平面角，即，
所以为等边三角形，
因为和均为正三角形，且，所以，，，
在中，由余弦定理知，，
所以异面直线与所成角的余弦值是．
故选：．
分别取，，的中点，，，连接，，，，，易知，，从而得或其补角即为所求，由二面角的定义，可证，再在中，利用余弦定理，即可得解．
本题考查异面直线夹角的求法，利用平移思想，找出异面直线所成的角是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的标准方程，属于基础题正确运用几何量之间的关系是关键．
根据双曲线的右焦点为，可得，进而可求双曲线的离心率．
【解答】
解：双曲线的右焦点为，
，
，
，
，
，
故选C．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，是基础题．
利用圆的圆心到直线的距离大于等于半径，求解的最大值即可．
【解答】
解：为直线上任意一点，过总能作圆的切线，
可得，即，
解得，
所以的最大值为：．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：两个相同数字是，一共有种组合；
两个相同数字不是，同样一共有种组合；
所以这样的四位数有个．
故选：．
分类讨论，两个相同数字是；两个相同数字不是，即可得出结论．
本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，比较基础．
13.【答案】
【解析】解：设圆的方程为，，
当直线与抛物线相切时，设切点为，
由可得，
则点处的切线斜率为，
过切点且与切线垂直的直线方程为：，
即，
则切线与轴的交点为
圆半径，
所以，当圆上的点无法触及抛物线的顶点，则
则圆的半径的取值范围是，
故选：．
当直线与抛物线相切时，设切点为，利用导数可得过切点与切线垂直的直线，从而求得圆心，圆半径，即可得圆的半径的取值范围．
本题考查了抛物线与圆的位置关系，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：正方体的棱长，则其内切球的半径，
所以内切球的体积，
由于截面正方形与其内切圆的面积之比为，
设牟合方盖的体积为，则，
所以牟合方盖的体积．
故选：．
先求得正方体的内切球的体积，再由已知得出牟合方盖的体积，可求得答案．
本题考查正方体的内切球问题，几何体的体积的求解，化归转化思想，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：如图，当与重合时，与重合时，直线与直线是异面直线，此时不可能平行，故错误．
如图，当与重合时，与重合时，四边形为矩形，故直线与直线平行，此时直线与直线相交错误．故错误．
因为平面平面，而平面，故EF平面，所以直线到平面的距离为定值正方体的棱长，故正确．
建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，设，，其中，，
而，故，，
设直线与直线所成角为，
则，，
若直线与直线不平行，则故，
故直线与直线所成角的最大值是，所以正确．
故正确的是，
故选：．
根据空间直线和直线，直线和平面位置关系分别进行判断即可．
本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，结合空间平行和垂直的位置关系是解决本题的关键，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：由点在半圆上，所以，，，
要使的面积最大，可平行移动，
当与半圆相切于时，到直线的距离最大，
此时，即；
又，，，
所以半椭圆的方程为．
故选：．
由点在半圆上，可求，然后求出，，根据已知的面积最大的条件可知，，即，代入可求，进而可求椭圆方程．
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，圆的方程的应用，是中档题．
17.【答案】
【解析】解：过点，圆心为的圆的半径为，
故圆的方程为，
故答案为：．
先求出圆的半径，结合题意求出圆的标准方程．
本题主要考查圆的标准方程的求法，关键是求出圆心和半径，属于基础题．
18.【答案】
【解析】解：因为二项式的展开式通项公式为，，，，，
令，则，
所以展开式中常数项是，
故答案为：．
求出展开式的通项公式，令的指数为，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
19.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了直线的点斜式方程、点到直线的距离公式，属于简单题．
当直线斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出的方程；当直线与轴垂直时，方程为也符合题意，即可得解．
【解答】
解：当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，
点到的距离为，
，解得，
得的方程为．
当直线与轴垂直时，方程为，点到的距离为，
综上所述，直线的方程的方程为或．
故答案为：或．
20.【答案】
【解析】解：如图，
过作底面，垂足为，过作，作．
可得，，则为平面与底面所成角，
为平面与底面所成角，
由已知可得，
又，，≌．
则，又，由对称性可得．
．
故答案为：．
过作底面，垂足为，过作，作，结合已知得，证明≌，得，再由对称性可得．
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】
【解析】解：连接，如图所示，
因为中，、分别为，的中点，所以，
因此，直线与所成的角就是直线与所成的角，
在正方体中，底面为正方形，可得，
因为平面，平面，可得，
又因为、是平面内的相交直线，所以平面，
因为平面，所以，同理可得，
又因为、是平面内的相交直线，所以平面，故BD，．
设与平面的交点为，连接，在中，，，
因为，所以，可得，
因为三棱锥，即，所以，可得，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其面积．
故答案为：．
根据题意，利用三角形中位线定理与异面直线所成角的定义，得出直线与所成的角就是直线与所成的角，然后证出平面，计算出点到的距离等于常数，得到点的轨迹，再利用圆的面积公式算出答案．
本题主要考查正方体的结构特征、线面垂直的判定与性质、异面直线所成角的定义与求法等知识，考查了计算能力、空间想象能力，属于中档题．
22.【答案】解：由圆的方程，即可知，圆心为，
半径为，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为，
抛物线方程为．
为已知圆的直径，，则．
设、，
，而、在抛物线上，
由已知可知，直线方程为，
由消去，得，
，
因此，．
【解析】抛物线顶点在原点，圆的圆心是抛物线的焦点，故先求咄圆心，再求抛物线的方程即可；
由图形可以看出等于弦长减去圆的直径，圆的直径易得，弦长可由抛物线的性质转化为求两端点，到抛物线准线的距离的和，由此求出两点横坐标的和，再求弦长
本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是熟练掌握抛物线的定义与性质，通过这些将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，此转化有一个标志即直线是过焦点的．本题运算量大，极易因为运算出错．
23.【答案】解：证明：取的中点，连接，，
，分别为，的中点，
是的中位线，
且，
又为的中点，
且，
且，
四边形是平行四边形，
，平面，平面，
平面；
选择条件：；平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，
，，底面为菱形，为的中点．，是等边三角形，
以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
设平面法向量为，
设平面法向量为，又，，
则，取，二面角的大小为，
，
，，，；
选择条件：平面，，，
，取的中点，，平面，平面，，
平面，
，，，
底面为菱形，为的中点．，是等边三角形，
以为轴，以为轴，以为轴，
设，则，
设平面法向量为，又，，
则，取，
设平面的法向量为，又，，
则，，取，
二面角的大小为
，
，，．
【解析】本题考查线面平行的证明，线面平行的判定定理，向量法求解二面角问题，空间向量夹角公式的应用，化归转化思想，方程思想，属中档题．
通过证明四边形是平行四边形，进而由线线平行得出线面平行；
分别选择条件，设边长，建系，根据向量法，空间向量夹角公式，即可求解．
24.【答案】本小题满分分
解：Ⅰ设则，分
由得，，分
由，即得，，分
所以，所以，
即椭圆的标准方程为：分
Ⅱ证明：设，，
由，得：，
分
，
又与圆相切，所以，
即分
所以
分
所以，，即，
所以，以线段为直径的圆经过原点．分
【解析】Ⅰ设则，通过由，由，求出，然后得到椭圆方程．
Ⅱ设，，利用直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合推出，
即可得到结果．
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
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