2023-2024学年湖南省长沙市德成学校高一（下）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省长沙市德成学校高一（下）入学数学试卷
一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空集，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则在区间的值域为( )
A. B. C. D.
3.“”是“函数存在零点”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知关于的不等式对任意恒成立，则有( )
A. B. C. D.
5.下列函数与表示同一函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
6.已知是奇函数，当时，当时，等于
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.下列命题中，真命题是( )
A. ，使为奇函数
B. ，使为偶函数
C. ，使都为偶函数
D. ，使都为奇函数
8.集合也可以写成( )
A. B.
C. 或 D.
9.下列选项正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若正实数，满足，则的最小值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
10.集合的所有子集个数为______．
11.函数在上的最大值为 ．
12.已知为锐角，且，则 ______．
四、解答题：本题共3小题，共37分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
化简下列各式：
；
．
14.本小题分
已知集合，，．
求；
求；
求．
15.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象解答下列问题．
作出时，函数的图象，并写出函数的增区间；
写出当时，的解析式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，二次方程无解，故，解得．
故选：．
根据二次方程无解等价于判别式小于计算即可．
本题考查集合的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：的对称轴
函数在上单调递减，在单调递增
在区间单调递减，在单调递增
当时，函数有最小值；当，函数有最大值
函数的值域为
故选：．
由的对称轴可判断函数在区间，单调性，从而可判断函数的值域
本题主要考查了利用配方法求解二次函数在闭区间上的值域，属于基本方法的应用的考查，属于基础性试题
3.【答案】
【解析】解：设命题：，：函数存在零点，
充分性，若，则在函数中，，故是的充分条件，
必要性，若函数存在零点，当时，无零点，
当时，则，解得或，
此时的取值范围为或，故是的不必要条件，
所以命题是的充分不必要条件．
故选：．
根据二次函数零点问题，充分必要条件定义可判断．
本题考查充分必要条件的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：令，，
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，．
故选：．
令，，将问题转化为，根据二次函数的图象与性质，求出最小值，即可得出答案．
本题考查函数恒成立问题，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：对于：中，中，即与的定义域不同，不是同一函数；
对于：中，中，即与的定义域不同，不是同一函数；
对于：，且定义域均为，是同一函数；
对于：与的解析式不同，不是同一函数．
故选：．
通过确定定义域和解析式是否都相同来判断．
本题考查函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数表达式的求解，属于基础题．
根据函数奇偶性的定义，即可求解．
【解答】
解：若，则，
由已知当时，，
当时，可得，
为奇函数，
，
即．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：对选项：时，为奇函数，A正确；
对选项：若为偶函数，则，则的值不存在，故B不正确；
对选项：若为偶函数，则，
所以，使都为偶函数，故C正确；
对选项：令，，由，所以，故D错误．
故选：．
特称命题与全称命题真假的判断，主要利用，以及特殊值进行判断．
本题主要考查命题真假的判断，全称命题与特称命题，函数奇偶性的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了分式不等式，是基础题．
根据分式不等式的求解，分别判断即可．
【解答】
解：集合，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，取，，则，故A错误；
对于，若，则，故B正确；
对于，若正实数，满足，则，当且仅当，即，时，等号成立，故C正确；
对于，，当且仅当，即时，等号成立，
显然不可能等于，所以等号取不到，即的最小值取不到，故D错误．
故选：．
由不等式的性质可判断，利用基本不等式可判断．
本题主要考查了不等式的性质，考查了基本不等式的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：集合中有个元素，则其子集有个，
故答案为．
根据题意，易得集合中有个元素，由集合的元素数目与其子集数目的关系，可得答案．
本题考查集合的元素数目与其子集数目的关系，牢记若一个集合有个元素，则其有个子集．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正切函数的单调性在最值求解中的应用，属于基础题．
由已知结合正切函数的单调性即可求解函数在上的最大值．
【解答】
解：函数在上单调递增，
当时，函数取得最大值为．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：因为为锐角，且，
所以，
即，
则．
故答案为：．
由已知结合同角基本关系即可求解．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
13.【答案】解：原式；
原式．
【解析】根据换底公式直接求解即可；
根据换底公式进行求解．
本题主要考查对数的换底公式的应用，掌握换底公式的应用是解题的关键．属基础题．
14.【答案】解：由题意，；
；
或，则．
【解析】根据集合交集的定义求解；
根据集合并集的定义求解；
根据集合补集和交集的定义求解．
本题考查集合的运算，属于基础题．
15.【答案】解：因为函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象为：
由题可知，结合图象有：函数的增区间为：，．
当时，，由题可知：
，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
所以当时，．
【解析】利用偶函数的性质，结合图象求出函数的单调区间．
根据已知，利用函数的奇偶性求解．
本题主要考查函数的奇偶性和函数的图像，属于中档题．
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