2023-2024学年内蒙古赤峰实验中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年内蒙古赤峰实验中学高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点到点的距离为( )
A. B. C. D.
3.如图，在长方体中，，，则直线和夹角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
4.设等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
5.与两数的等比中项是．( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线：的一个焦点为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则下列结论正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. 以上都不对
8.与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B. 直线过定点
C. 过点斜率为的点斜式方程为
D. 斜率为，在轴截距为的直线方程为．
10.设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若到焦点的距离为，则的坐标为
C. 若，则的最小值为
D. 若过点作斜率为的直线与抛物线相交于、两点．则
11.已知空间中三点，，，则下列结论正确的有( )
A. B. 与共线的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是
12.已知方程表示的曲线为给出以下四个判断，其中正确的是( )
A. 当时，曲线表示椭圆
B. 当或时，曲线表示双曲线
C. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
D. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是______．
14.两平行直线和的距离为______．
15.已知直线与椭圆交于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是______．
16.如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列是等差数列，，．
求的通项公式；
记的前项的和为，若，求的值．
18.本小题分
已知直线：被圆：截得的弦长为．
求的值；
求过点与圆相切的直线的方程．
19.本小题分
如图，在三棱台中，，平面，，且为中点．
证明：平面；
若，求此时平面和平面所成角的余弦值．
20.本小题分
已知在数列中，，，且为等差数列．
求的通项公式；
记为数列的前项和，证明：．
21.本小题分
如图，若，是双曲线的两个焦点．
若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离；
若是双曲线左支上的点，且，试求的面积．
22.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且过点．
求椭圆的标准方程；
过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由直线可得直线的斜率，
设直线的倾斜角为，，
可得，
解得．
故选：．
求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小．
本题考查直线的倾斜角的大小的求法，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点为，
所以点到焦点的距离．
故选：．
首先求出焦点坐标，再利用距离公式计算可得．
本题考查了抛物线的性质，重点考查了点与点的距离公式，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：如图，以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
所以，
所以直线和夹角的余弦值为．
故选：．
以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线和夹角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：在等差数列中，由，
得，即，
．
故选：．
由已知求得，再由求解．
本题考查等差数列的前项和，考查等差数列的性质，是基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
此题考查学生掌握等比数列的性质，属于基础题．
设出两数的等比中项为，根据等比中项的定义可知，的平方等于两数之积，得到一个关于的方程，求出方程的解即可得到两数的等比中项．
【解答】
解：设两数的等比中项为，根据题意可知：，即，
解得．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：双曲线：的一个焦点为，
可得，解得，
则该双曲线的渐近线方程为．
故选：．
由双曲线的焦点坐标，解方程可得，可得渐近线方程．
本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，，
，．
，．
故选：．
利用空间向量平行与垂直的性质求解．
本题考查空间向量平行与垂直的判断，是基础题，解题时要注意空间向量平行与垂直的性质的合理运用．
8.【答案】
【解析】解：椭圆的焦点为，
双曲线的焦点在轴上，且，
，
，
，
，
双曲线的方程为．
故选：．
利用椭圆的三个参数的关系求出其焦点坐标，利用双曲线的离心率公式求出双曲线中的参数，利用双曲线的三个参数的关系求出，得到双曲线的方程．
本题主要考查了求双曲线的标准方程，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于：直线经过第一、二、四象限，则，，故在第二象限，故A正确；
对于：直线，转换为，由于为任意实数，故，解得，故该直线过定点，故B正确；
对于：过点斜率为的点斜式方程为，故C正确；
对于：斜率为，在轴截距为的直线方程为，故D错误．
故选：．
直接利用直线方程的性质和直线的方程的求法的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：抛物线方程为，
，焦点，
对选项，在抛物线上，，选项正确；
对选项，到焦点的距离为，
，将其代入中，可得，，
的坐标为，选项错误；
对选项，在抛物线外，
，当且仅当，，三点共线时，等号成立，
的最小值为，选项正确；
对选项，过点且斜率为的直线方程为，
联立，可得，设，，
则，
，选项错误．
故选：．
根据抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及弦长公式，即可分别求解．
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，所以，所以A正确；
对于，因为，所以与共线的单位向量为或，所以B错误；
对于，向量，所以，所以C错误；
对于，设平面的法向量是，因为，所以，即，令，则，所以D正确．
故选：．
由向量垂直的性质，即可判断，根据单位向量的定义判断，由向量数量积的定义求得向量夹角余弦值判断，利用法向量定义求得法向量判断．
本题考查空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：方程表示的曲线为当，时，曲线表示椭圆，所以不正确；
当时，曲线是双曲线，时，曲线是双曲线，所以B正确；
曲线表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，所以C正确；
曲线表示焦点在轴上的双曲线，可得，并且，解得，所以D正确；
故选：．
结合的范围判断选项A，，利用曲线的形状，求解的范围判断，．
本题考查曲线与方程的应用，双曲线以及椭圆的简单性质的应用，是基础题．
13.【答案】相交
【解析】解：圆：，即，
其圆心为，半径，
圆：，即，
其圆心为，半径，
则圆心距，，
即，
故圆与圆的位置关系是相交．
故答案为：相交．
根据题意，分析两个圆的圆心与半径，求出圆心距，进而由圆与圆的位置关系分析可得答案．
本题考查圆与圆位置关系的判断，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：直线可化为，
所以两平行线的距离．
故答案为：．
直接利用距离公式计算可得．
本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由椭圆可得，，
，，
椭圆的右焦点坐标为，
直线过椭圆的右焦点，
的周长为．
故答案为：．
由题意可得直线过椭圆的右焦点，可求的周长．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，
；
．
故答案为：．
根据向量加法的平行四边形法则便有，，再根据向量减法的几何意义，及向量的数乘运算便可得到，这样便可求出，，从而求出的值．
考查向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．
17.【答案】解：因为数列是等差数列，，，
所以，，
故；
因为，
则，
解得．
【解析】由已知结合等差数列的性质先求出公差，然后结合等差数列的通项公式即可求解；
结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
18.【答案】解：根据题意，圆：，其圆心为，半径，
直线：被圆：截得的弦长为．
则圆心到直线的距离，
则有，解得或舍，
故；
由的结论，，则圆的方程为，
若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，符合题意，
若切线的斜率存在，设切线的方程为，即，
则有，解得，
此时切线的方程为，即
所以切线的方程为或．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程的计算，属于基础题．
根据题意，由直线与圆的位置关系可得，结合点到直线的距离公式可得，再求出的值，
根据题意，由的结论可得圆的方程，分切线斜率是否存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程的计算．
19.【答案】解：证明：因为平面，平面，所以．
又因为，为中点，所以，
又，且，平面，
所以平面；
依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，则，
所以，可取，则，
又平面的一个法向量为，
设平面和平面所成角为，
则，
故平面和平面所成角的余弦值为．
【解析】利用线面垂直的性质定理与判定定理即可得证；
依题意建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，再利用空间向量法即可得解．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属中档题．
20.【答案】解：由，，可得，，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以．
证明：，
，
因为，所以，
故．
【解析】根据等差数列的定义即可求解；
用裂项相消法即可求解．
本题考查了等差数列的通项公式，裂项相消法，属于中档题．
21.【答案】解：由题意，设到两个焦点的距离分别为，，则，解得或；
根据双曲线的方程可知，，，
则，
，
，
，
的面积为．
【解析】根据双曲线的定义解答；
利用双曲线的方程求得和，进而利用配方法求得的值代入余弦定理求得的值进而求得．
本题开考查了双曲线的定义以及性质的运用，关键是利用性质正确得到、的位置关系，从而求面积．
22.【答案】解：已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且过点，
则，，
又，得，
椭圆的标准方程为：；
过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，
易得过椭圆的左焦点且斜率为的直线方程为，
由，得，
设，，有，，
，
又点到直线的距离，
面积．
【解析】根据椭圆的定义得到，根据椭圆的焦点坐标得到，即可求解；
直线与椭圆联立得到，设，，利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，即可求解．
本题考查了直线与椭圆的综合运用，属于中档题．
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