2023-2024学年湖南省常德市汉寿县第一中学高二（下）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省常德市汉寿一中高二（下）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数在区间上的平均变化率为( )
A. B. C. D.
2.的值为( )
A. B. C. D.
3.若数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，用，，表示，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5.设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
6.若直线与直线互相平行，那么的值等于( )
A. 或 B. C. D. 或
7.如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点现有米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为米，则最小的正三角形的边长为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.已知椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线：与椭圆交于，两点，则的面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的公差为，前项和为，且，，以下命题正确的是( )
A. 的最大值为 B. 数列是公差为的等差数列
C. 是的倍数 D.
10.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知正四棱台上下底面都是正方形的四棱台，下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则( )
A. 它的表面积为 B. 它的外接球的表面积为
C. 侧棱与下底面所成的角为 D. 它的体积比棱长为的正方体的体积大
12.已知双曲线：的左．右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点，在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是( )
A. 双曲线的离心率为 B. 的面积为
C. 内切圆半径为 D. 的内心在直线上
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，用割线逼近切线的方法可以求得______．
14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知点到两个定点，的距离之比为，则的取值范围为______．
15.已知空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为 ．
16.设数列满足，，记，则使得成立的最小正整数是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在正项等比数列中，，且，的等差中项为．
求数列的通项公式；
求数列的前项和为．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，，以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆相交，且交点在椭圆上．
求椭圆的方程；
过点的直线交椭圆于，两点，点为椭圆上一点，且四边形为平行四边形，求的面积．
19.本小题分
设抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，且．
Ⅰ求抛物线的标准方程；
Ⅱ已知点，且的面积为，求的值．
20.本小题分
刍甍是中国古代数学书中提到的一种几何体，九章算术中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：”底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱”，如图，在刍甍中，四边形是正方形，平面和平面交于．
求证：；
若平面平面，，求平面和平面夹角的余弦值．
21.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，求的值．
22.本小题分
已知双曲线的左顶点为，不与轴平行的直线过的右焦点且与交于，两点当直线垂直于轴时，．
求双曲线的方程；
若直线，分别交直线于，两点，求证：，，，四点共圆．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在区间上的平均变化率为．
故选：．
根据平均变化率的计算即可求解．
本题主要考查平均变化率的求解，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
故选：．
利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，可得结果．
本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：数列满足，，
，
，
故选：．
根据数列的递推关系式得到，再依次代入即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：点为的中点，，
点为的中点，，
故选：．
利用向量三角形法则、向量共线定理、平行四边形法则即可得出．
本题考查空间向量的线性运算，考查了数形结合，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线距离公式的应用，将的最小值转化为点到直线的距离是关键．
利用抛物线的定义，将的最小值转化为点到直线的距离即可求得结论．
【解答】
解：点到轴的距离等于点到焦点的距离减去，
过焦点作直线的垂线，垂足为，
垂线与抛物线的交点为时，此时最小，为，
，直线，
则的最小值为．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
解可得或，
当时，直线方程分别为，满足平行，
当时，直线方程分别为，，满足平行，
故选：．
结合已知直线方程及直线平行的一般式方程即可建立关于的方程，从而可求．
本题主要考查了直线平行的条件的简单应用，属于基础试题．
7.【答案】
【解析】解：如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，
每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点，
现有米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，
该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为米，
由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以为首项，为公比的等比数列，
设最小的正三角形的边长为米，则，则，得，
故最小的正三角形的边长为米．
故选：．
利用等比数列的性质求解．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得，，则直线：，
联立方程，消去得，
设，，
则，，
，
又，
的面积是，
故选：．
由题意知，直线：，联立直线与椭圆方程可得，，进而根据计算即可．
本题主要考查了椭圆的性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，等差数列，由于，，
则有，解得；
所以不是的倍数，故C不正确；
则该数列的通项公式为，
其前项和为，
故当取与最接近的整数即时，取最大值为，故A正确；
，故D不正确；
，
所以，
所以数列是公差为的等差数列，故B正确
故选：．
根据题意，已知结合等差数列的通项公式和前项和公式及性质分析各选项即可判断．
本题考查函数与数列的综合应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项，，错；
对于选项，，对；
对于选项，，对；
对于选项，，错．
故选：．
利用基本初等函数的导数公式可判断选项；利用导数的四则运算可判断选项．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意得：上底面的面积，下底面的面积，
侧面为等腰梯形，过、分别做的垂线，垂足为、，如图所示，
所以，则，
所以，
所以梯形的面积为，
所以正四棱台的表面积，故A正确；
连接，，且交于点，连接，交于点，连接，
则垂直底面，
过作于，则底面，则四边形为矩形，
由题意得，所以，
同理，
又，所以，
在中，，
所以，即侧棱与下底面所成的角为，故C正确
所以．
连接，在中，，
所以点到、、、、、、、的距离相等，均为，
所以点即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径，
所以外接球的表面积，故B错误；
正四棱台的体积，
棱长为的正方体的体积，
所以，所以，
所以正四棱台的体积比棱长为的正方体的体积大，故D正确：
故选：．
分别求得上、下底面面积，再求得侧面等腰梯形的面积，即可判断的正误；如图作辅助线，可求得各个长度，根据三角函数的定义，可判断的正误；求得的长，分析可得即为正四棱台外接球的球心，且外接球半径的正误，即可得答案．
本题考查棱台的体积，考查学生的运算能力，属于难题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的定义及其性质，学生的数学运算能力，数据处理能力，属于中档题．
按照、两点在同支或两支讨论，结合余弦定理及离心率的定义可判断，结合三角形面积公式可判断；利用等面积法可判断，由双曲线的定义结合切线长定理可判断．
【解答】
解：对于，设的内心为，过作，，的垂线，垂足分别为，，，不妨如图所示：
则，所以，则的内心在直线上，
故D正确；
因为为等边三角形，当，都在同一支上时，则垂直于轴，可得，
由题意可得，又，，
所以可得，，解得：；
的面积，
设内切圆的半径为，
则由等面积法可得，；
当，分别在双曲线的左，右两支上时，设，
，由双曲线的定义可知，得，
在中由余弦定理，，得，
的面积，
设内切圆的半径为，则，得，故AC错误；
而不论什么情况下的面积为，故B正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
由已知直接利用导数的定义即可求得．
本题考查导数的定义及应用，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可知，，即，
整理为，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
因为表示圆上的点与定点连线的斜率，
设，即，
如图可知，直线与圆有交点，
则，解得．
故答案为：．
首先求点的轨迹方程，再根据的几何意义，转化为直线与圆有交点，即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，动点的轨迹方程的求法，属于中档题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由，，可得，，，，的值，则以，为邻边的平行四边形的面积为，计算即可．
【解答】
解：，，
，
，
，
．
，
以，为邻边的平行四边形的面积为
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，即，
所以，
又，所以数列为递增数列，
所以，所以，所以，
所以，
所以，
当时，，
当时，，
故使成立的最小正整数是，
故答案为：．
由数列的递推式推得，由数列的裂项相消求和可得，利用数列为递增数列，可得，，即可得到所求值．
本题考查数列的递推式，以及数列的裂项求和、放缩法，考查运算能力和推理能力，属于难题．
17.【答案】解：设正项等比数列的公比为，
由题意可得，解得．
数列的通项公式为；
．
【解析】利用已知条件列出方程组，求出首项与公比，然后求解通项公式．
利用分组求和的方法，求解数列的和即可．
本题考查等比数列的求和，等差数列的求和公式的应用，等差数列的性质的应用，是基础题．
18.【答案】解：设圆与圆的一个交点为，
则，
由点在椭圆上知，即，
由，则，即，
所以椭圆的方程：；
已知直线的斜率存在，
设直线的方程：，
，，
由，消去，整理得，
则，即，因此，，
，
因为为平行四边形，所以，所以，
所以点在椭圆上，所以，即，
即，即，解得，
所以，
所以，
所以的面积．
【解析】根据椭圆的定义及离心率公式，即可求得和的值，求得椭圆方程；
设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，表示点坐标，代入椭圆方程，即可求得的值，即可求得，即可求得的面积．
本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ，，设直线的方程为，
代入抛物线，消去得：，
，从而，
抛物线的方程为．
Ⅱ由Ⅰ知，，直线的方程为，
代入抛物线方程，消，得，
，，
又到直线的距离．
故的面积．
故得．
【解析】本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．
Ⅰ设直线的方程为，代入抛物线，消去，利用，求出，即可求抛物线的标准方程；
Ⅱ利用弦长公式表示出，求出到直线的距离，根据，的面积为，求的值．
20.【答案】解：证明：在正方形中，，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面和平面交于，
所以；
过点作于点，过点作于点，连接，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为，，所以，
在四边形中，，，，所以，，
在正方形中，，所以，
因为，，所以，
所以，
所以，
设平面的法向量为，则，，
则，解得，
令，得，则，
设平面的法向量为，则，，
则，解得，
令，得，则，
设平面和平面所成角为，
则，
所以平面和平面夹角的余弦值为．
【解析】根据题意证明平面，再根据线面平行的性质即可得证；
过点作于点，过点作于点，连接，根据面面垂直的性质可得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可．
本题主要考查二面角的平面角及其求法，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：设等差数列的公差为，
由已知，得，解得，
则．
由得，则，
，得或舍去，
所以的值为．
【解析】设等差数列的公差为，利用已知建立方程组，即可求解首项与方差，即可求解．
利用等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
22.【答案】解：因为椭圆的左顶点为，当直线垂直于轴时，，
所以，
解得，
则双曲线的方程为；
证明：当直线斜率存在时，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
所以，
此时直线，
可得，
同理得，
记直线交轴于点，
所以，
因为，
所以，
当直线斜率不存在时，
不妨设，，
可得，，
所以，
所以，，，四点共圆．
【解析】由题意，可得，求出，的值，进而可得椭圆方程；
对直线斜率是否存在进行讨论，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得，，得到直线，，求出，两点坐标，结合韦达公式求出，判断是否成立即可证结论．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
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