2023-2024学年山东省泰安市宁阳县第一中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省泰安市宁阳一中高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的个数是( )
温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
零向量没有方向；
向量的模一定是正数；
非零向量的单位向量是唯一的．
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，点是的中点设，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.已知非零向量满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知在四边形中，则四边形一定是( )
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
6.设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则( )
A. B. C. D.
7.在中，，，则与与的夹角是( )
A. B. C. D.
8.若为所在平面内任一点，且满足，则的形状为
( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中错误的有( )
A. 起点相同的单位向量，终点必相同
B. 已知向量，则四边形为平行四边形
C. 若，则
D. 若，则
10.下列各组向量中，一定能推出的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
11.下列说法正确的是( )
A. 向量在向量上的投影向量可表示为
B. 若，则与的夹角的范围是
C. 若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为
D. 若，则
12.已知向量，满足，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，，为单位向量，则的最大值为______．
14.已知，，且，则向量在向量上的投影向量为______．
15.已知在中，为的中点，是线段上的动点，若，则的最小值为______．
16.已知在中，，，，为线段上任意一点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，是正六边形的中心，且，，在以，，，，，，这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
与相等的向量有哪些？
的相反向量有哪些？
与的模相等的向量有哪些？
18.本小题分
设向量，满足，且．
求与的夹角；
求的大小．
19.本小题分
设是不共线的两个非零向量。
若，求证：三点共线；
若与共线，求实数的值；
20.本小题分
已知，是夹角为的两个单位向量若，，其中，若，的夹角为锐角，求的取值范围．
21.本小题分
已知平面上三个向量，，的模均为，它们相互之间的夹角均为．
求证：；
若，求的取值范围．
22.本小题分
如图所示，在中，，，与交于点过点的直线与、分别交于点，．
试用，表示向量；
设，，求证：是定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：温度与功没有方向，不是向量，故错误，
零向量的方向是任意的，故错误，
零向量的模可能为，不一点是正数，故错误，
非零向量的单位向量的方向有两个，故错误，
故选：．
根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解．
本题考查了向量的概念和向量的模，涉及到零向量，单位向量的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据向量运算公式可知，．
故选：．
根据数乘向量的运算律化简求解即可．
本题主要考查向量的线性运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：在中，，且是的中点，
所以
．
故选：．
根据向量的线性运算即可求得答案．
本题考查平面向量的线性运算和应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，设与的夹角为，
因为，所以，变形可得，
则，
又由，所以．
故选：．
根据题意，设与的夹角为，由数量积的计算分析可得，进而计算可得答案．
本题考查向量夹角的计算，涉及向量的数量积，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，可得，
则，且，
四边形一定是平行四边形．
故选：．
根据平面向量减法法则判断即可．
本题考查向量相等与向量共线，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：若向量与向量共线，
则存在实数，使，，
，
解得．
故选：．
根据平面向量共线定理得存在实数，使，代入条件列式计算即可．
本题主要考查了平面向量共线定理，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：在中，，，故有，
故与与的夹角是，
故选：．
根据角三角形中的边角关系，可得，再根据两个向量的夹角的定义求得与与的夹角．
本题主要直角三角形中的边角关系，两个向量的夹角的定义，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，属于基础题．
根据平面向量的线性表示与数量积运算，结合题意可得出是等腰三角形．
【解答】
解：因为，
即，
又因为，
所以，
所以，
即，
所以是等腰三角形．
故选A．
9.【答案】
【解析】解：单位向量的方向不确定，所以起点相同，终点不一定相同，故A错误；
四边形中，由，可得，但四边形不一定为平行四边形，故B错误；
当时，满足，，但不能得到，故C错误；
由向量相等的条件可知，若，则，故D正确．
故选：．
由单位向量的定义、向量共线和相等的条件，判断各选项的结论．
本题考查单位向量定义，向量共线及相等的条件，属基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，，故，即，故A正确；
B.因为，，故，即，故B正确；
C. ，，则，故C正确；
D. ，，只有当或，此时，否则，所以向量不平行，故D错误．
故选：．
根据共线向量定理，即可判断选项．
本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题也是易错题．
11.【答案】
【解析】解：根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量可表示为，故A正确；
B.根据，可知，，故，，所以与的夹角的范围是，故B正确；
C.是以为直角顶点的等腰直角三角形，由向量夹角的定义可知，，的夹角为，故C错误；
D.若，则或或，其中零向量与其它向量一定垂直，故D正确．
故选：．
根据向量数量积的定义，投影向量的定义，以及向量夹角的定义，即可判断选项．
本题考查了数量积运算性质、向量的夹角计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，所以，
即，整理可得，
再由，且可得，
所以，，故A、D错误；
所以，
即向量，的夹角，
故向量，共线且方向相反，
所以，故B正确；
又，
所以，故C正确．
故答案为：．
根据题设条件及数量积的性质进行运算，即可判定各选项．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：设向量、夹角为，，为单位向量，
，
当时，取最大值为．
故答案为：．
设向量、夹角为，表示为的函数可解决此题．
本题考查向量的模，考查数学运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，且，
则向量在向量上的投影向量为：．
故答案为：．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：如图，因为，为的中点，
所以，
因为，，三点共线，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为．
故答案为：．
根据三点共线可得，利用“”的技巧及均值不等式求解．
本题考查平面向量的线性运算和基本不等式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，则，
所以
，
因为，所以，
所以．
故答案为：．
设，得到，再由二次函数的值域求法即可求出取值范围．
本题考查平面向量的线性运算和数量积，属于中档题．
17.【答案】解：根据相等向量的定义及正六边形的性质，
可得与相等的向量有，，；
根据相反向量的定义及正六边形的性质．
可得的相反向量有，，，；
根据向量的模的定义及正六边形的性质
可得与的模相等的向量有，，，，，，
，，，，，，，，，，，
，，，，，．
【解析】根据相等向量，相反向量，向量的模的定义即可求解．
本题考查相等向量，相反向量，向量模的定义，属基础题．
18.【答案】解：设与的夹角为，
，则，
将代入得，，故；
将代入得，故．
【解析】平方计算得到，得到答案．
确定，计算得到答案．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
19.【答案】证明：，，，
，
，
、、三点共线；
解：与共线，存在实数，使得
，
与不共线，
，
，
．
【解析】本题考查了向量的运算和共线定理、向量基本定理，属于中档题．
利用向量的运算和共线定理即可得出；
利用向量共线定理和向量基本定理即可得出．
20.【答案】解：因为，的夹角为锐角，所以，且，不共线，
当时，
，解得，
当，共线时，存在唯一的实数，使，
即，所以，解得，
所以当时，，不共线，
综上，的取值范围是．
【解析】由数量积的定义，转化为，且，不共线，再结合数量积的定义以及共线向量的定理，即可列式求解．
本题考查平面向量数量积的运算，属中档题．
21.【答案】解：证明
，
．
，
即．
，且相互之间的夹角均为，
，，
，即，
或．
【解析】本题考查向量垂直的充要条件、向量模的平方等于向量的平方、向量的数量积公式，属于中档题．
利用向量的分配律及向量的数量积公式求出；利用向量的数量积为向量垂直得证
利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式将已知等式平方得到关于的不等式求出的范围．
22.【答案】解：由，，三点共线，可得存在实数使得：，
又，故，
由，，三点共线，可得存在实数使得：，
又，故，
由题意，不共线，则：
，解得，
故；
证明：由，，三点共线，可设，
由，则：，
由知，，则：，即，
所以，
所以是定值．
【解析】由向量共线定理即可求出；
由，，三点共线，可设，由，可得，最后结合的结论可得，问题得以证明．
本题考查了平面向量基本定理以及用向量解决三点共线的问题，属于中档题．
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