2022-2023学年四川省宜宾市叙州二中高二（下）开学数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年四川省宜宾市叙州二中高二（下）开学数学试卷（文科）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知某单位有职工人，其中男职工有人，现采用分层抽样按男、女分层抽取一个样本，若已知样本中有名女职工，则样本的容量为( )
A. B. C. D. 没法确定
2.已知命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.准线方程为的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
4.已知变量，满足约束条件，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.辗转相除法又叫欧几里得算法，其算法的程序框图如右图所示．执行该程序框图，若输入的，，则输出的的值为( )
A.
B.
C.
D.
6.直线：被圆：所截得的弦长为( )
A. B. C. D.
7.甲，乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是( )
A. B. C. D.
8.已知，是椭圆：的两个焦点，过点且斜率为的直线与交于，两点，则的周长为( )
A. B. C. D. 与有关
9.已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为( )
A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
10.已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
( )
A. B. C. D.
11.已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
12.已知双曲线与双曲线有相同的焦点，且其中一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______．
14.若不等式与关于不等式的解集相同，则_____
15.已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为______．
16.已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，为上的三等分点，且满足，若，则该椭圆的离心率的取值范围是______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知命题：曲线与轴相交于不同的两点；命题：椭圆的焦点在轴上．
判断命题的否定的真假；
若“且”是假命题，“或“是真命题，求实数的取值范围．
18.本小题分
某校从高一新生开学摸底测试成绩中随机抽取人的成绩，按成绩分组并得各组频数如下单位：分：，；，；，；，；，；，．
成绩分组 频数 频率 频率组距
合计
列出频率分布表；
画出频率分布直方图；
估计本次考试成绩的中位数精确到．
19.本小题分
甲乙两地相距，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过，已知货车每小时的运输成本单位：圆由可变本和固定组成组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为元．
将全程匀速匀速成本元表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；
若，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
20.本小题分
已知物线：过点
求抛物线的方程；
设为抛物线的焦点，直线：与抛物线交于，两点，求的面积．
21.本小题分
边长为的正方形中，点，分别是，的中点，现将，分别沿，折起，使得，两点重合于点，连接，得到四棱锥．
证明：平面平面；
求四棱锥的体积．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，以坐标原点为中心，以坐标轴为对称轴的椭圆经过点，
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ经过点作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆相交于异于点的，两点，求直线的斜率．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：某单位有职工人，其中男职工有人，
采用分层抽样按男、女分层抽取一个样本，样本中有名女职工，
设样本的容量为，
则，
解得样本的容量为．
故选：．
采用分层抽样按男、女分层抽取一个样本，样本中有名女职工，设样本的容量为，则，由此能求出样本的容量．
本题考查样本容量的求法，考查分层抽样、简单随机抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：，，则为：，．
故选：．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
3.【答案】
【解析】解：准线方程为的抛物线的标准方程为，
令，解得，
故．
故选：．
根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解．
本题主要考查抛物线标准方程的求解，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由变量，满足约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
化目标函数为，
由图可知，当直线过时，有最大值为．
故选：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
，，
执行循环体，，，，
不满足退出循环的条件，执行循环体，，，
不满足退出循环的条件，执行循环体，，，，
满足退出循环的条件，退出循环，
故输出的值为．
故选：．
模拟程序框图的运行过程，利用辗转相除法求出运算结果．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时通常模拟程序框图的运行过程，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：由已知，圆：，圆心坐标为，半径为，
所以点到直线：的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为．
故选：．
由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：甲，乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，
乙获胜的概率是，
甲获胜的概率为：．
故选：．
利用互斥事件概率加法公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：椭圆：焦点在轴上，，，，
利用椭圆的定义可知：，，
的周长为，
故选：．
由椭圆方程求得，由椭圆的定义，转化求解的周长即可．
本题主要考查了椭圆的简单性质．考查椭圆的第一定义的应用，考查焦点三角形的周长，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：圆的圆心坐标是，半径，
圆的圆心坐标是，半径，
所以，
所以圆心距，所以两圆相外切．
故选：．
计算圆心距，和比较大小，即可判断两圆的位置关系．
本题主要考查了两圆位置关系的判断，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．
由为的中点，可取中点，连接，则为异面直线与所成角，设出正四面体的棱长，求出的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线与所成角的余弦值．
【解答】
解：如图，
取中点，连接，，
为的中点，，
则为异面直线与所成的角，
为正四面体，，分别为，的中点，
．
设正四面体的棱长为，则，
．
在中，由余弦定理得：
．
故选B．
11.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点，准线：
圆的圆心为，半径，
过点作垂直准线，垂足为，
由抛物线的定义可知，
则
当、、三点共线时取最小值，
故选：．
当、、三点共线时取最小值，结合图象即可求出．
本题考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值，考查转化能力，计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，考查计算能力，属于基础题．
求出双曲线的焦点坐标，结合渐近线方程求解，，然后求解双曲线方程即可．
【解答】
解：双曲线的焦点，
所以所求双曲线的焦点坐标，
设双曲线的标准方程为，
因为双曲线的一条渐近线方程为，可得，又，
所以，，
所求的双曲线方程为：．
故选：．
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了直线方程的求法，属于直线方程中的基础题，应当掌握．
分直线的截距不为和为两种情况讨论，用待定系数法求直线方程即可．
【解答】
解：若直线的截距不为，可设直线方程为，
把代入，得，解得，
直线方程为；
若直线的截距为，可设直线方程为，
把代入，得，，
直线方程为．
所求直线方程为或．
故答案为或．
14.【答案】
【解析】解：不等式等价于，解得，
所以，不等式的解为，
则关于的方程的两解为，，
由韦达定理可得，所以，，因此，，
故答案为：．
先解不等式，得出方程的两解，然后利用韦达定理得出、与的等量关系，即可求出的值．
本题考查绝对值不等式的解法，解决本题的关键主要是弄清楚不等式的解集与方程之间的关系，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：画出轴截面，则为底面圆的直径，底面半径设为，为内切球的半径设，，
由题意知：，，，，
，，
所以球与圆锥的表面积之比：，
故答案为：，
设底面圆的半径和内切球的半径，由题意可得两个半径的关系，进而求出表面积之比．
考查圆锥和球的表面积公式，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设椭圆的半焦距为，则，，
设，由，可得，即，
若，则，
化为，
即，
由，即有，
又，则，
即为，
解得或，
由，可得不成立；
由，化为，
则，又，可得椭圆的离心率的取值范围是．
故答案为：．
设椭圆的半焦距为，则，，设，运用向量共线的坐标表示可得的坐标，运用两直线垂直的条件可得，的关系式，结合在椭圆上，满足椭圆方程，联立方程解得，再由，化简整理，结合离心率公式可得所求范围．
本题考查椭圆的方程和性质，以及向量共线的坐标表示，两直线垂直的条件，考查方程思想和运算求解能力、推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：由，可得曲线与轴相交于不同的两点，
即命题为真命题，
即命题的否定为假命题；
由“且”是假命题，“或“是真命题，则命题，一真一假，
又由得命题为真命题，则命题为假命题，
即，
解得或，
故答案为：．
【解析】由函数的零点个数的判断：，即命题为真命题，即命题的否定为假命题，
由椭圆的性质及充分必要条件得“且”是假命题，“或“是真命题，则命题，一真一假，又由得命题为真命题，则命题为假命题，运算可得解．
本题考查了函数的零点与椭圆的性质、充分必要条件，属简单题．
18.【答案】解：由题意列出频率分布表如下：
成绩分组 频数 频率 频率组距
合计
画出频率分布直方图，如下：
由频率分布直方图得：
的频率为：，的频率为，
估计本次考试成绩的中位数为：
．
【解析】由题意能列出频率分布表．
由频率分布表能画出频率分布直方图．
由频率分布直方图得：的频率为：，的频率为，由此能估计本次考试成绩的中位数．
本题考查频率分布表频率分布直方图、考试成绩的中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
19.【答案】解：可变成本为，固定成本为元，所用时间为，
所以，即，定义域为．
，当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，，
答：当货车以的速度行驶，全程运输成本最小．
【解析】利用已知条件，通过可变成本是速度平方的倍，列出函数的解析式，写出函数的定义域．
利用函数的解析式，通过基本不等式转化求解函数的最值即可．
本题考查函数的实际应用，基本不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力．
20.【答案】解：因为抛物线：过点，
所以，解得，
所以抛物线的方程为．
由抛物线的方程可知，
直线：与轴交于点，
联立直线与抛物线方程，
消去可得，
所以，，
所以，
所以的面积为．
【解析】将点的坐标代入抛物线，进行求解即可．
联立方程组，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解．
本题主要考查抛物线方程的求解，以及直线和抛物线位置关系的应用，利用设而不求思想结合三角形的面积公式是解决本题的关键．
21.【答案】解：证明：四边形为正方形，
，，
，，又，
平面，又平面，
平面平面；
由题意可得，，，
，，
，
，
设点到平面的距离为，
由得：
，
即，，
，
即四棱锥的体积为．
【解析】先证明平面，即可证明出平面平面
先利用求出点到平面的距离，然后再根据四棱锥的体积公式进行计算，即可得出结果．
本题考查面面垂直的证明，四棱锥的体积的求解，等体积法的应用，化归转化思想，属中档题．
22.【答案】解：Ⅰ设椭圆的方程为，
点和在椭圆上，
，解得：
椭圆的标准方程为；
Ⅱ点，为椭圆上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，
直线，，的斜率存在．设它们的斜率分别为，，，
设，，直线的方程为，
，
，
由，消去，得，
由，得，
，，
，
，
，
，或，
点，为椭圆上异于的两点，
当时，直线的方程为，不合题意，舍去，
直线的斜率为，
直线的斜率．
【解析】Ⅰ设椭圆方程，将两点代入椭圆方程，即可求得椭圆方程；
Ⅱ设直线，，的斜率存在．根据直线的斜率公式及，求得，将直线代入椭圆方程，利用韦达定理定理上式即可求得直线的斜率．
本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式及韦达定理定理的综合应用，考查转化思想，属于中档题．
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