2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则中的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边与单位圆交点坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
3.一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件为( )
A. B. C. D.
4.若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.已知，且，则( )
A. B. C. D.
6.下列函数的最小值为的是( )
A. B.
C. D.
7.若定义在的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，，为实数，且，则下列命题正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 周期为
B. 直线是图像的一条对称轴
C. 点是图像的一个对称中心
D. 将的图像向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图像
11.如图，某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系为，关于下列说法正确的是( )
A. 的值为
B. 浮萍每月的增长面积相同
C. 第个月时，浮萍面积超过
D. 若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则
12.若定义在上的函数满足：，且，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.的值是______．
14.已知函数，则 ______； ______．
15.命题“，”的否定是______．
16.设满足，满足，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，且_____，求的值请从下列中任选两个补充在空格上，并给予解答三个条件分别是：
；
；
．
注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
已知幂函数经过．
求的值；
若，试判断在的单调性并用定义法证明．
19.本小题分
已知函数，．
求的值；
求函数的单调递增区间；
求函数在区间上的最小值．
20.本小题分
若函数．
写出当时，的解析式；
在给定的坐标轴上，画出的图像；
试讨论函数的图像与直线的交点个数．
21.本小题分
已知函数．
证明：为奇函数；
若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由集合得：，
又，
所以．
故选：．
先列举出集合的元素，再根据交集定义求得结果．
本题考查交集的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：三角函数的定义，角的终边与单位圆交点的横坐标为该角的余弦值，即，
故选：．
根据三角函数的定义可得答案．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：方程有实数解，解得．
方程有实数解的一个必要不充分条件为．
故选：．
方程有实数解，解得范围即可判断出．
本题考查了一元二次方程有实数根的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的图象与函数的对应关系，函数的定义域，值域的应用，是基础题．
通过函数的定义域以及函数的值域，结合函数的定义判断选项的正误即可．
【解答】
解：函数的定义域为，值域为，
可知图象定义域不满足条件；
图象不满足函数的值域；
图象满足题目要求；
图象，不是函数的图象；
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由两边平方，得，
即，所以．
故选：．
把两边平方，根据二倍角公式整理得到到结果．
本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：选项A，当时，，所以函数的最小值为错误，故A错误；
选项B，由得，根据均值不等式，，当时，取最小值，故B正确；
选项C，由得，，而当时，才能取最小值，所以取不到最小值，故C错误；
选项D，，当时，，所以函数的最小值为错误，故D错误．
故选：．
均值不等式使用的条件是“一正二定三相等”，判断各选项时注意验证这些条件．
本题主要考查了基本不等式应用条件的检验，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为定义在的奇函数在上单调递减，且，
所以函数在上单调递减，，
所以由可得，
故选：．
根据奇函数可得函数在上单调递减，，然后可得答案．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，在中，的图象在函数图象的上方，且随着的增大，两条曲线越来越接近，
这说明，随着的增大，两个函数的值越来越接近，
，所以随着的增大，比值越来越小，且趋向，
是上的减函数，
，
即．
故选：．
构造函数，然后根据对数函数的性质，得到构造函数的单调性，即可得出结论．
本题主要考查对数函数的图象和性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A：因为，由不等式性质可知，，故A错误；
对于选项B：因为，由不等式性质可知：，，故B正确；
对于选项C：因为，由不等式性质可知，，故C正确；
对于选项D：因为，显然，由不等式可知，，故D正确．
故选：．
利用不等式的性质逐一判断即可．
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由函数图像可知，，最小正周期为，
，将点代入函数解析式中，得：，
又，，故．
对于选项A：函数的最小正周期为，故A正确；
对于选项B：令，即，
因此其对称轴为，，无论取何值，，故B不正确；
对于选项C：令，所以，
即的对称中心为，
点是图像的一个对称中心，故C正确；
对于选项D：将的图像向左平移个单位长度后，
得到的图像，该函数不是偶函数，故D不正确．
故选：．
根据图像最高点得到，由周期得到，再将点代入函数解析式中求得，再根据正弦型函数的图像性质，对选项逐一判断即可得到结果．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项，由图像可知，函数过点，，
函数解析式为，选项A正确；
对于选项，函数是指数函数，是曲线型函数，浮萍每月增加的面积不相等，选项B错误，
对于选项，当时，，故选项C正确，
对于选项，，，，，，，
又，，选项D正确．
故选：．
根据函数图像过点可求出的值，即可判断，根据指数函数的知识可判断，求出时的函数值可判断，，，，然后根据对数的运算可判断．
本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由已知可得函数的定义域为，
满足，且，
对于，可令，代入式，得，得，故A正确；
对于，可令，代入式，得，得，故B正确；
令，代入式，得，而得，
可令代入式，得，整理得，
故C正确，D错误．
故选：．
利用赋值法，对、灵活赋值，对四个选项逐一分析判断即可．
本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的运用，考查函数与方程思想与运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接根据特殊角的三角函数值解答．
本题考查任意角的三角函数的定义以及特殊角的三角函数值．特殊角三角函数值计算在考试中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
14.【答案】
【解析】解：由，
得，．
故答案为：；．
根据函数解析式直接求函数值即可．
本题主要考查函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】，
【解析】解：命题“，”的否定是“，”，
故答案为：，．
根据全称命题的否定可得答案．
本题主要考查了命题的否定，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，，，
令，则，
在上单调递增，
，
．
故答案为：．
根据题意可得出，，可令，从而得出，并可判断是单调函数，从而得出，进而可求出的值．
本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，单调函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：若选择，
，，
，，
，
；
若选择，
，，
，，
，
；
若选择，
，，，
，，
．
，
，．
【解析】选择，先由所给余弦值结合角的范围，分别求出正弦值，展开求值即可；
选择，先由所给余弦值结合角的范围，分别求出正弦值，展开求值即可；
选择，先由所给余弦值结合角的范围，分别求出正弦值，先求出，再根据二倍角公式求得结果；
本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
18.【答案】解：幂函数经过，
，
解得；
由，得，，
在上单调递增，证明如下：
任取，则，
，，，
，
即，
在上单调递增．
【解析】把图像上的点代入函数解析式，解出；
利用函数单调性的定义，判断并证明．
本题主要考查了幂函数的定义，考查了函数的单调性的定义，属于基础题．
19.【答案】解：，，
，，；
，令，，
得，，即，，
的单调递增区间为，；
，，
当，即时，．
【解析】根据，结合诱导公式即可得解；
根据正弦函数的单调性结合整体思想求解即可；
根据正弦函数的性质结合整体思想求解即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：当时，的解析式为．
由知，当时，，
如图所示，为所求函数图像．
由可得，当时，．
结合所画图像，函数图像与直线的交点个数情况如下：
当时，，函数图像与直线有个交点；
当时，，函数图像与直线有个交点；
当时，，函数图像与直线有个交点．
综上所述，函数图像与直线的交点个数情况是：
当时，两个图像有个交点；当时，两个图像有个交点；当时，两个图像有个交点．
【解析】直接可得答案；
当时，，然后根据二次函数的知识画出图像即可；
讨论与的大小即可．
本题主要考查函数解析式的求法，函数图像的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：证明：函数定义域为，
又，，
则，
所以函数为奇函数．
由题知：当，恒成立，
则，
令，，
所以，
即，
又，当且仅当时等号成立，
而，
所以，
则，
即实数的取值范围为．
【解析】根据奇函数的定义判断即可；
把函数代入不等式，进行参变分离，根据均值不等式求得函数的最值，从而得到结果．
本题考查函数的奇偶性以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
第1页，共1页