冲刺2024年高考数学模拟卷01（广东专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合,，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲 乙 丙 丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）
A．11分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．17分钟
5．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知分别是等差数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，且满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，下列选项中正确的有（ ）
A．若的最小正周期，则
B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C．若在区间上单调递减，则的取值范围是
D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是
10．如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．以为直径的圆与相切 B．
C． D．的最小值为4
11．已知函数分别与直线交于点A，B，则下列说法正确的（ ）
A．的最小值为
B．，使得曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线平行
C．函数的最小值小于2
D．若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
13．函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为 ．
14．在三棱锥中，侧面底面是等腰直角三角形，且斜边，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)令，为数列的前项积，证明：.
16．（15分）从中国夺得第一枚奥运金牌至今，已过去约四十年．在这期间，中国体育不断进步和发展，如跳水、举重、体操、乒乓球、射击、羽毛球等，现已处于世界领先地位．我国某邻国为挑选参加第19届杭州亚运会乒乓球男单比赛的队员，对世界排名均不靠前，且水平相当的甲乙二人的乒乓球单打水平分别进行了五轮综合测试，按某评判标准得到评价成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）
甲：5 6.3 9.5 9.2 6 乙：7.2 7.3 6.6 7 7.9
(1)参考上面数据你认为选派甲乙哪位选手参加合适？说明理由；
(2)现甲、乙二人进行单打比赛，并约定其中一人比另一人多赢两局时比赛就结束，且最多比赛20局，若甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望．
17．（15分）已知函数（），为的导数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：．
18．（17分）已知双曲线：（）的左焦点为，，分别为双曲线的左、右顶点，顶点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线左支交于点（异于点），直线与直线：交于点，的角平分线交直线于点，证明：是的中点.
19．（17分）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.
(1)判断函数是否具有性质；（直接写出结论）
(2)已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(3)设函数具有性质，且在区间上的值域为.函数，满足，且在区间上有且只有一个零点.求证：.
冲刺2024年高考数学模拟卷01（广东专用）
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B A B B A D A B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ACD 10．ABD 11．AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．-40 13．/ 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【解析】（1）由是首项为、公差为的等差数列，
故，
即，
当时，，
故
，
当时，，符合上式，
故；
（2）由，，
故，
则
，
由，
故，
则.
16．（15分）
【解析】（1）分别计算甲乙运动员在平均成绩，和方差，
，
，
而，
，
因为，，
所以在平均数一样的条件下，乙的水平更为稳定，但考虑甲乙水平均不靠前，再加上中国乒乓球运动员的世界领先水平，我认为不应派成绩稳定的乙去参赛，应该派甲去，有可能超常发挥取得更好成绩．
（2）设比赛局数为随机变量X，由题意知X的可能取值必须为偶数：2、4、6……20．
则，
当时，说明前两局二人各胜一局，然后第三局和第四局均为甲胜或均为乙胜，且前两局二人各胜一局的概率为．
故．
发现，当时，双方前两局，前四局，……到前局甲乙胜负局数均相同，且第局，第X局均为甲胜或乙胜，于是设
．
显然时，也满足上式．
而时，说明双方前两局，前四局，……到前18局甲乙胜负局数均相同，
．
故X的分布列为
X 2 4 6 8 …… 18 20
P
故X的数学期望．
设①
则②
①－②得
．
所以需要进行的比赛局数的数学期望为．
17．（15分）
【解析】（1）由，得
依题意知：，所以 ，
所以
①时，恒成立，在上单调递减；
②时，由，得，得，
在上单调递减，上单调递增．
（2）依题意，要证：，
①当时，，故原不等式成立，
②当时，要证：，
即要证：，
令，（）
则，令，
则，
先证：，即要证：，
令，则，
∵，所以，所以在单调递增，
所以，即，
当时，，，
，
所以在单调递减，
所以
所以在单调递减，
所以
即，得证
18．（17分）
【解析】（1）因为，所以，
双曲线的一条渐近线为，因为双曲线的右顶点为，设右顶点到浙近线的距离为，
由题意得解得
则的标准方程为.
（2）
①当，即时，设点，
代入双曲线方程得，，解得，取第二象限的点，则，
因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，令，解得，即，
因为直线是的角平分线，且.，所以直线的斜率为，
直线的方程为，令，解得，即，
此时，即是的中点；
②当时，设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立方程消去得，
由韦达定理得，，
又因为，所以，，
点，又因为，
所以，
由题意可知，直线的斜率存在，设为，则直线：，
因为是的角平分线，所以，所以，
又因为，，
所以，即，
即，得或，
由题意知和异号，所以，所以直线的方程为，
令，可得，即，所以，
直线的方程为，令，可得，
即，所以，
所以，即是的中点.
综上，是的中点.
19．（17分）
【解析】（1）因为，则，又，
所以，故函数具有性质；
因为，则，又，
，故不具有性质.
（2）若函数具有性质，则，即，
因为，所以，所以；
若，不妨设，由，
得（*），
只要充分大时，将大于1，而的值域为，
故等式（*）不可能成立，所以必有成立，
即，因为，所以，
所以，则，此时，
则，
而，即有成立，
所以存在，使函数具有性质.
（3）证明：由函数具有性质及（2）可知，，
由可知函数是以为周期的周期函数，则，
即，所以，；
由，以及题设可知，
函数在的值域为，所以且；
当，及时，均有，
这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或；
当时，，函数在的值域为，
此时函数的值域为，
而，于是函数在的值域为，
此时函数的值域为，
函数在当时和时的取值范围不同，
与函数是以为周期的周期函数矛盾，
故，即，命题得证.
试卷第2页，共22页冲刺2024年高考数学模拟卷02（广东专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知由小到大排列的个数据、、、，若这个数据的极差是它们中位数的倍，则这个数据的第百分位数是（ ）
A． B． C． D．
3.在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（ ）
A． 10 B． 12 C． 14 D． 16
4.已知数列的前n项和，则的值是（ ）
A．8094 B．8095 C．8096 D．8097
5.2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会已在浙江杭州成功举办.现知某电视台在亚运会期间某段时间连续播放了5个广告其中3个不同的商业广告和2个不同的亚运宣传广告，其中最后播放的是亚运宣传广告，且2个亚运宣传广告没有相邻播放，则不同的播放方式有（ ）
A． 120种 B． 48种 C． 36种 D． 18种
6.设是双曲线的左 右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7.中国古建筑闻名于世，源远流长．如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，,,与都是边长为2的等边三角形，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8.设、、满足，，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分。
9.下列等式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10.已知圆，圆分别是圆与圆上的点，则（ ）
A．若圆与圆无公共点，则
B．当时，两圆公共弦所在直线方程为
C．当时，则斜率的最大值为
D．当时，过点作圆两条切线，切点分别为，则不可能等于
11.已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（ ）
A．
B．关于点对称
C．
D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数______
13.若为偶函数，则___________.（填写符合要求的一个值）
14.已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，C．若，则的取值范围是_______.
四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
设等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
16．（15分）
“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，，，.
(1)证明：四棱锥是一个“阳马”；
(2)已知点在线段上，且，若二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正切值.
17．（15分）
面试是求职者进入职场一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分.
（1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.
附：若（），则，，.
18．（17分）
已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．
（1）求椭圆的方程：
（2）直线（不过原点）与抛物线相交于两点，以为直径的圆经过原点，且此直线也与椭圆相交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
（17分）
已知函数（为自然对数的底数）.
（1）若，求实数的值；
（2）证明：；
（3）对恒成立，求取值范围.
冲刺2024年高考数学模拟卷02（广东专用）
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A A C D B A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分。
9 10 11
ABD BC BD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13．，填写符合Z的一个即可 14．
四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
，，，
解得，，
故.
（2）由（1）知，，
，，，
．
16．（15分）
【答案】(1)证明见解析; (2).
【详解】（1）四边形是正方形，，
，，平面，
平面，
平面，，
四边形是正方形，，
，，平面.
平面，
平面，，
，平面，
平面，
四棱锥是一个“阳马”；
（2）由（1）得平面，，
，，，
以点为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，
所以，
设，，
，，
，，
设是平面的一个法向量，则，
，令，则，，
设是平面的一个法向量，则，
，令，则，，
，或（舍去）.
，，
平面，直线与底面所成角的正切值为.
17．（15分）
【答案】（1）16 （2）
【解析】
【小问1详解】
因为服从正态分布，所以，，，
所以.
进入面试的人数，.
因此，进入面试的人数大约为16.
【小问2详解】
由题意可知，的可能取值为0，2，4，6，8，10，
则；
；
；
；
；
.
所以.
（17分）
【答案】（1）
（2）面积的最大值是，此时的方程为．
【解析】
【小问1详解】
设椭圆上的点坐标为，，右焦点，
则点D到焦点距离为
，
当时，取得最大值，
由题意知：∴，
∴椭圆C的方程为；
【小问2详解】
显然，直线的斜率存在，设直线方程为，
，，，，
联立直线与抛物线方程得：
，
以为直径的圆经过原点，则，
或（舍去），所以直线的方程为：，
联立直线与椭圆方程得：，，
，
法一：设直线与轴的交点为，.
法二：设直线与轴的交点为，
，
法三：原点到直线的距离为，所以，
其中，令，．∴，
当且仅当时等号成立，此时，且满足，
∴面积最大值是，此时的方程为．
（17分）
【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3）
【解析】
【小问1详解】
，
令，对任意恒成立，
对于函数，，由，可得，由，可得，
所以时，函数单调递减，时函数单调递增，
所以时，函数取得最小值0，即当且仅当时等号成立，
当时，，因为，所以；
当时，，因为，所以；
当时，不等式恒成立；
综上，实数的值为1；
【小问2详解】
由（1）知，当时，，即，
，
证明：只需证明，
即证：.
令.
当时，显然单调递增，，
在上单调递减，，
当时，显然，即.
故对一切，都有，即，
故原不等式成立；
【小问3详解】
令，
①若，当时，，
在单调递增，
，
故存在唯一，使得，则当为减函数，
，此时，与题意不符（舍）.
②若，
（i）当，则由①可知，在单调递增，
在单调递增，所以，
所以成立.
（ii）当在单调递增，
，故存在唯一，使得，
当时，在上单调递减，
当时，上单调递增，
，故存在唯一，使得，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
在恒成立，
在单调递增，
恒成立，
时，恒成立，
综上所述，.
试卷第2页，共22页冲刺2024年高考数学模拟卷03（广东专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若椭圆的离心率为，则实数的值为（ ）
A． B．或4 C．或8 D．或6
3．若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
4．各项均不为零的等差数列中，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
6．七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙 丙两人必须相邻，则排法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．在中，则的最小值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在上，点在轴上，，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9．已知复数，，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，动点与两个定点、连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．的方程为： B．的离心率为
C．的渐近线与圆相交 D．满足的直线有条
11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若集合， ，则集合中的元素个数为 ．
13．已知圆锥的顶点为，轴截面为锐角，，则当 时，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值最大，最大值为 ．
14．已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 ．
四、解答题：共5题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）已知函数在处取得极小值5．
(1)求实数a，b的值；
(2)当时，求函数的最小值．
16．（15分）已知某盒子中共有个小球，编号为号至号，其中有个红球、个黄球和个绿球，这些球除颜色和编号外完全相同．
（1）若从盒中一次随机取出个球，求取出的个球中恰有个颜色相同的概率；
（2）若从盒中逐一取球，每次取后立即放回，共取次，求恰有次取到黄球的概率；
（3）若从盒中逐一取球，每次取后不放回，记取完黄球所需次数为，求随机变量的分布列及数学期望.
17．（15分）如图，在三棱台中，平面平面，且，.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．（17分）已知抛物线的焦点为F，不过原点的直线l交抛物线C于A，B两不同点，交x轴的正半轴于点D．
(1)当为正三角形时，求点A的横坐标；
(2)若，直线，且和C相切于点E；
①证明：直线过定点，并求出定点坐标；
②的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
19．（17分）给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和.
(1)判断、哪个是规范数集，并说明理由；
(2)任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：；
(3)当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值.
注：、分别表示数集中的最小数与最大数.
冲刺2024年高考数学模拟卷03（广东专用）
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D C C D B D B A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9 10 11
BC AB BD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．2 13 / / 14．
四、解答题：共5题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）【详解】（1），
因为在处取极小值5，所以，得，
此时
所以在上单调递减，在上单调递增
所以在时取极小值，符合题意
所以，．
又，所以．
（2），所以
列表如下：
0 1 2 3
0 0
1 ↗ 极大值6 ↘ 极小值5 ↗ 10
由于，故时，．
16．（15分）【详解】（1）从盒中一次随机取出个球，记取出的个球中恰有个颜色相同为事件，
则事件包含事件“个球中有和红球”和事件“个球中有个黄球”，
由古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式得，
答：取出的个球颜色相同的概率；
（2）盒中逐一取球，取后立即放回，每次取到黄球的概率为，
记取次恰有次黄球为事件，则，
答：取次恰有次黄球的概率；
（3）的可能取值为、、、、，
则，，，
，，
随机变量的分布列为：
所以，随机变量的数学期望为.
17．（15分）【详解】（1）过点作的垂线，垂足为，连接，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
平面，，
不妨设，，
在直角三角形中，，
，
，平面，
平面，，
在三棱台中，，
；
（2）方法一：空间向量法
以为原点，分别为轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，
由（1）得，
过点作的垂线，垂足为，连接，
，
，
，
，
，
设平面的法向量，
，令，得，
平行于轴，
取的方向向量，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
方法二：几何法
，
直线与平面所成角等于直线与平面所成角，设为，
由（1）得平面，
平面，
平面平面，
过点作的垂线，垂足为，连接，
则平面，
，
在中，，
由（1）得平面，
平面，
，
在中，，
由，得，
，
直线与平面所成角的正弦值为.
18．（17分）【详解】（1）∵ ，∴抛物线焦点坐标F（1,0），准线方程为x=-1，
设A(a，t)，D(m，0)，因为 是正三角形，必有，解得 ，
即A点横坐标为3；
（2）
如图，设A点在第一象限，过A点作准线x=-1的垂线，得垂足P，连接PF， ， ，
∴四边形APFD是平行四边形， ，
设A(a，t) ，则P(-1，t)，直线PF的斜率为 ，
设 的方程为 ，联立方程，
消去x得： ，因为是抛物线C的切线， ，
， ， ，
即E点的坐标为 ，
直线AE的方程为： ，其中 ，
化简得：，故AE过定点F（1，0）；
直线l的方程为： ，化简得： ，
联立方程，消去x得 ，
， ，
即A，B两点的纵坐标之差的绝对值为 ，
过E点作x轴的平行线交l于H点，则 ，
，用铅垂高水平底的方法计算三角形AEB的面积，
，
当且仅当t=2时等号成立， 的最小值为16；
综上，A点的横坐标为3，直线AE过定点F（1,0），三角形AEB的面积最小值为16.
19．（17分）【详解】（1）对于集合A：因为，所以集合A不是规范数集；
对于集合B：因为，
又，，，，，，
所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集.
（2）不妨设集合S中的元素为，即，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
当时，
则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，
则，
当且仅当且时，等号成立；
当时，
则，
当且仅当时，等号成立；
综上所述：.
（3）法一：
不妨设，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
当时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即范数的最小值；
当时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，则，
则范数，
当且仅当时，等号成立，
又，
当且仅当时，等号成立，
故，即范数的最小值；
当，使得，且，
当，即，即时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数
；
对于，其开口向上，对称轴为，
所以，
所以范数的最小值为；
当，即，即时，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则当时，可得，
当且仅当时，等号成立，
则范数
；
对于，其开口向上，对称轴为，
所以，
所以范数；
综上所述：范数的最小值.
法二：
不妨设，
因为S为规范数集，则，则，且，使得，
所以对于，同样有，则，
由（2）的证明过程与结论可得，，当且仅当时，等号成立，
即，，……，
所以范数
，
当且仅当时，等号成立，
所以范数的最小值.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解元规范数集的定义，得到，再将集合中的元素进行从小到大排列，利用分类与整合的思想进行讨论分析，从而得解.
试卷第2页，共22页冲刺2024年高考数学模拟卷04（广东专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，若，则（ ）
A．568 B．566 C．696 D．675
4．设，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术，赛艇，射击3个自选项目.若将3男，3女6名志愿者分成3组，每组一男一女，分别分配到3个自选项目比赛场馆服务，则不同的分配方案共有（ ）
A．540种 B．36种 C．108种 D．90种
6．椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．在直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知一组数据，，，，，，其中，，，，，平均数为，方差为．若去除，两个数据后，剩余数据的方差为，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角的余弦值为 B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为 D．若向量与向量共线，则
11．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．是图象的一个对称中心
C．是图象的一条对称轴
D．将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若直线与圆相切，则实数 ．
13．已知函数是偶函数，则 ．
14．已知双曲线C：的右焦点为F，过点F的直线与C的两条渐近线的交点分别为P，Q，若，（O为坐标原点），则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在处取到极小值，求实数m的取值范围．
16．（15分）如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．
17．（15分）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛.
(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，比赛共进行二轮.
（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；
（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.
18．（17分）已知抛物线，点为其焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和，点分别为的中点，求的最小值．
19．（17分）基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．
(1)若，求数列的最小项；
(2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
(3)若，求证：数列具有性质．
冲刺2024年高考数学模拟卷04（广东专用）
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A C D C B B B C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AC ABD ACD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．或 13． 14.1
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【解析】（1）由题意，，则，
又，故所求的切线方程为．
（2）由题意，，故．
若，则，故当时，，当时，，
故当时，函数取到极小值；
若，则令，解得或，
要使函数在处取到极小值，则需，即，
此时当时，，当时，，当时，，满足条件．
综上，实数m的取值范围为．
16．（15分）
【解析】（1）为等边三角形，
，
又四边形为梯形，，则，
根据余弦定理可知，在中，
根据勾股定理可知，，即，
平面，
平面，
又平面平面平面；
（2）为中点，，
由（1）可知，平面平面，
又平面平面平面，
平面，
连接，则，且平面，
故，
所以PO，BD，OC两两垂直．
以O为原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，以为z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，
设且，则，
由三棱锥的体积为得：，
所以，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，故，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
故．
所以平面与平面的夹角余弦值为：
.
17．（15分）
【解析】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，
B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”
由全概率公式得
（2）（i）设在一轮比赛中得分为，则的可能取值为－2，0，2，则
得分为的分布列用表格表示
－2 0 2
P
（ii）设在二轮比赛中得分为，则的可能取值为－4，－2，0，2，4，则
得分为的分布列用表格表示为
－4 －2 0 2 4
P
21．
18.（15分）
【解析】（1）
直线方程为，将其代入抛物线可得，
由已知得，解得，
故抛物线的方程为．
（2）
因为，若直线分别与两坐标轴垂直，
则直线中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意，
所以直线的斜率均存在且不为0．设直线的斜率为，
则直线的方程为．
联立，得，则，
设，
则，设，则，则，
所以，同理可得，
故，
当且仅当且，即时等号成立，
故的最小值为6．
（17分）
【解析】（1），当且仅当，即时，等号成立，
数列的最小项为．
（2）数列具有性质．
，
，
数列满足条件①．
为单调递增数列，数列满足条件②．
综上，数列具有性质．
（3）先证数列满足条件①：
．
当时，
则，
数列满足条件①．
再证数列满足条件②：
（，等号取不到）
为单调递增数列，数列满足条件②．
综上，数列具有性质.
试卷第2页，共22页冲刺2024年高考数学模拟卷05（广东专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
2．从某公司生产的产品中任意抽取12件，得到它们的质量（单位：）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据的四分位数不可能是（ ）
A．8.75 B．8.15 C．9.9 D．8.5
3. 在等比数列中，，则（ ）
A. -4 B. 8 C. -16 D. 16
4．在中，，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
5. 某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件为“选取的两名学生性别相同”，事件为“选取的两名学生为男生”，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，求（ ）
A. B. C. D.
7．过双曲线的右顶点A作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，的面积为（O为坐标原点），离心率为2，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
8. 设、、满足，，，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分。
9.已知复数，满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱．某地一摩天轮与地面的垂直高度（最高处与地面的距离）为208米，直径193米，入口在最底部．摩天轮逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，假设该摩天轮共有36个座舱，且每两个座舱间隔相等，则下列说法正确的是（ ）
A．若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的一半
B．乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，乘客距离水平地面的高度米）与时间（分钟）的函数解析式为
C．乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，经过10分钟，乘客距离地面的高度为63.25米
D．游客乙在游客甲后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为96.5米
11.已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（ ）
A． B．关于点对称
C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，若，则实数的取值范围是 .
13. 在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是__________，它的外接球表面积的最小值为__________.
14. 已知不是常数函数，且满足：.①请写出函数的一个解析式_________；②将你写出的解析式得到新的函数，若，则实数a的值为_________.
四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15. （13分）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，研究函数在上的单调性和零点个数．
16.（15分）如图，在四棱锥中，平面，.
（1）求二面角的正弦值；
（2）在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离.
17.（15分）一个骰子各个面上分别写有数字，现抛掷该股子2次，记第一次正面朝上的数字为，第二次正面朝上的数字为，记不超过的最大整数为．
（1）求事件“”发生的概率，并判断事件“”与事件“”是否为互斥事件；
（2）求的分布列与数学期望．
18.（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，在椭圆上仅存在个点，使得为直角三角形，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点是椭圆上一动点，且点在轴的左侧，过点作的两条切线，切点分别为、.求的取值范围.
19．（17分）若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.
(1)若具有性质“”，且，，，求；
(2)若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；
(3)设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，，求证：具有性质“”.
冲刺2024年高考数学模拟卷05（广东专用）
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B C C B D D A A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分。
9 10 11
ABD BD BD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13．， 14．①. （答案不唯一，形如，是周期为的奇函数均可） ②. 0或2
四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【答案】（1）. （2）. 在上单调递增；1
【解析】
【小问1详解】
当时，，
则，则，，
所以曲线在点处的切线方程为．
【小问2详解】
当时，，则，
当时，，，，则，
故在上单调递增．
又因为，所以在上的零点个数为．
16．（15分）
【答案】（1）
（2），
【解析】
【小问1详解】
以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，
所以，
则.
设平面的法向量，
则，取得，
设平面的法向量，
则，取得，
设二面角的大小为，则
，
所以.
【小问2详解】
设，则
.
因为异面直线与所成角的大小为，
所以，解得或（舍去）.
此时，
所以点到平面的距离.
17．（15分）
【答案】（1），事件“”与事件“”为互斥事件；
（2）分布列见解析，
【解析】
【小问1详解】
当取取值为时，，
当取取值时，，
当取取值时，，
当取取值为1，2时，，
当取取值为1时，，
所以，
当时，，事件“”与事件“”不能同时发生，为互斥事件；
【小问2详解】
的取值为，
取值为，时，
，
取值为时，，
取值为时，，
取值为时，，
取值为时，，
取值为时，，
所以的分布列为
0 1 2 3 4 5 6
所以．
18．（17分）
【解析】（1）当轴时，存在两个点，使得为直角三角形，
当轴时，存在两个点，使得为直角三角形，
当时，由题意可知，存在两个点，使得为直角三角形，
设点，其中，则，可得，
且，，
则，可得，
由题意可知，，则，
当点为椭圆短轴的顶点时，到轴的距离最大，此时，的面积取最大值，
即，则，故，
因此，椭圆的方程为.
（2）设点、，先证明出抛物线在点处的切线方程为，
联立可得，即，解得，
所以，抛物线在点处的切线方程为，
同理可知，抛物线在点处的切线方程为，
联立可得，
所以，，则，即点，
因为点在轴左侧，则，即，
因为点在椭圆上，则，
设，其中，则，，
所以，
，
因为，则，则，
所以，，
因此，的取值范围是.
19．（17分）【解析】（1）由具有性质“”，则当时，，
故，，，又，，
故，
即；
（2）不具有性质“”，理由如下：
设，，由，，
即有，解得，故，，
则，有，
则，不恒等于，故不具有性质“”；
（3）由既具有性质“”，又具有性质“”，
即当时，有，，
则有，，
由，故，
故，即，由，，则，
当，即时，有，
即对任意的时，有，即具有性质“”.
试卷第2页，共22页冲刺2024年高考数学模拟卷06（广东专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，则( )
A. B. C. D.
2．从小到大排列的数据的第三四分位数为( )
A. B. C. D.
3．已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则( )
A.2 B. C.-2 D.
4．五人站成一排，如果必须相邻，那么排法种数为( )
A.24 B.120 C.60 D. 48
5．在平面直角坐标系中是抛物线：的焦点在上，直线与轴平行且交轴于点．若的角平分线恰好过的中点，则( )
A． B． C． D．
6．已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则( )
A． B． C． D．
7．甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为、，体积分别为、，若，则等于( )
A． B． C． D．
8．双曲线，左 右顶点分别为为坐标原点，如图，已知动直线与双曲线左 右两支分别交于两点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列命题正确的是( )
A.存在直线，使得
B.在运动的过程中，始终有
C.若直线的方程为，存在，使得取到最大值
D.若直线的方程为，则双曲线的离心率为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设复数（且），则下列结论正确的是( )
A. 可能是实数 B. 恒成立
C 若，则 D. 若，则
10．已知函数，则下列说法正确的是( )
A．
B．函数f(x)的最小正周期为π
C．函数f(x)的对称轴方程为
D．函数f(x)的图象可由y＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到
11．已知定义在 上的函数 ， 其导函数分别为 ， 若 ， ， 则
A. 的图象关于直线 对称
B. 的图象关于点 对称
C. 是周期函数
D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．二项式的展开式中含x2的系数为 ．
13．设锐角的三内角所对边的边长分别为，且，则的取值范围为______．
14．已知正实数满足，，则当取得最小值时，______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数，在处的切线与直线平行．
(1)求实数的值；(2)求函数的极值．
16．（15分）为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现症状的概率均为，且每次给药后是否出现症状与上次给药无关．
(1)从试验开始，若某只白鼠连续出现症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；
(2)若在一个给药周期中某只白鼠至少出现症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为，求的分布列和数学期望．
17．（15分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E为AB的中点，底面四边形ABCD满足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3．
(1)证明：DE⊥平面PAC；
(2)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
(3)求平面PED与平面PEB夹角的余弦值．
18．（17分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为
．已知和)都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点．
(i)若求直线的斜率；
(ii)求证：是定值．
19．（17分）若项数为的有穷数列满足：，且对任意的，或是数列中的项，则称数列具有性质．
(1)判断数列是否具有性质，并说明理由；
(2)设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项；
(3)若数列具有性质，证明：当时，数列是等差数列．
冲刺2024年高考数学模拟卷06（广东专用）
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A D C D A C B B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BCD ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．63 13．(2，2) 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【答案】 (1) ；bn＝n2﹣7n+14；(2) 极大值为，无极小值.
【详解】 (1)由题意可知，，……（1分）
，
，．……（4分）
(2) ， ……（5分）
，, ……（8分）
即函数在上单调递增，在上单调递减，……（10分）
故函数的极大值为，无极小值．……（13分）
16．（15分）
【答案】 (1) ；(2) 分布列略， .
【详解】 (1)设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件，则的对立事件是一个给药周期也没有参加完，
设一次给药出现症状为事件，则一个一个给药周期也没有参加完的概率为：
．……（3分）
一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为：
．……（5分）
(2)设事件为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现症状”，
则， ……（7分）
随机变量的可能取值为，……（8分）
，
，
，……（12分）
的分布列为： ……（13分）
．……（15分）
17．（15分）
【答案】 (1) 略；(2) .
【详解】(1)证明：∵PC⊥底面ABCD，∠DCB＝90°，
∴PC⊥CD，PC⊥CB，DC⊥CB， ……（2分）
则建立以点C为坐标原点，直线CD、CB、CP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，
如图所示：
则C(0，0，0)，A(2，1，0)，B(0，3，0)，
P(0，0，2)，D(2，0，0)，E(1，2，0)，
∴，
∴，
∴DE⊥CA，DE⊥CP，
又∵CP∩CA＝C，PC、AC 平面PAC，
∴DE⊥平面PAC；……（5分）
(2)设＝(x，y，z)是平面PDE的一个法向量，
，
则，取x＝2，则y＝1，z＝2，
∴平面PDE的一个法向量为＝(2，1，2)，……（7分）
设直线PC与平面PDE所成角为α，且＝(0，0，2)，
，
∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值为；……（10分）
(3)设平面PDE的法向量为＝(x，y，z)，
，
则，取x＝2，则y＝2，z＝3，
∴平面PDE的法向量为＝(2，2，3)，
由(Ⅱ)得平面PDE的法向量＝(2，1，2)，……（13分）
∴，
由图形得二面角D﹣PE﹣B的平面角是钝角，
∴二面角D﹣PE﹣B的余弦值为．……（15分）
18．（17分）
【答案】 (1) ；(2)
【详解】(1)解：由题设知
由点在椭圆上，得．……（2分）
由点(e)在椭圆上，得
，
椭圆的方程为．……（4分）
(2)解：由(1)得，
又直线与直线平行，
设与的方程分别为．
设，
由可得．
(舍)，……（6分）
①
同理 ②
(1)由①②得∴解得．……（9分）
注意到．
直线的斜率为． ……（10分）
另解：设直线的方程为(为参数，为倾斜角)，
代入椭圆方程，可得
可设，
在轴上方，在轴下方，设直线交椭圆于，则，
由于坐标互为相反数，
．
由题意可得
解得即有．
直线的斜率为．
证明：直线与直线平行，即．
由点在椭圆上知
．
同理．……（14分）
由①②得
．
是定值．……（17分）
19．（17分）
【答案】 (1) 数列具有性质；(2)略；(3)略.
【详解】（1）数列具有性质.
理由：根据有穷数列满足：，且对任意的，或 是数列中的项，则称数列具有性质，
对于数列中，若对任意的，可得或或，
可得一定是数列中的项，所以数列具有性质. ……（4分）
（2）证明：由是数列中的任意一项，
因为数列具有性质，即或 是数列中的项，
令，可得或 是数列中的项，
又因为，可得一定不是数列中的项，
所以一定是数列中的项. ……（10分）
（3）由数列具有性质，可得，所以，
则，且，
又由，所以，
又由，……（12分）
①设，因为
可得，
当时，可得， （）……（12分）
②设，则，所以，
由，
又由，
可得，
所以，
因为，由以上可知：且，
所以且，所以，（）……（15分）
由（）知，
两式相减，可得，
所以当时，数列为等差数列. ……（17分）
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．3 B． C．7 D．13
3．在中，，，，则（ ）
A． B．16 C． D．9
4．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、鲍、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、鲍、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、鲍、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“鲍”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（ ）
A．960 B．1024 C．1296 D．2021
5．已知是公比为的等比数列，为其前项和.若对任意的，恒成立，则（ ）
A．是递增数列 B．是递减数列
C．是递增数列 D．是递减数列
6．将最小正周期为的函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．对称轴为， B．在内单调递增
C．对称中心为， D．在内最小值为
7．在菱形中，，将沿对角线折起，使点A到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．2023年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第天的数据如表所示．
x 1 2 3 4 5
y 21 10a 15a 90 109
根据表中数据可知x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则（ ）
A．样本相关系数在内 B．当时，残差为-2
C．点一定在经验回归直线上 D．第6天到该医院就诊人数的预测值为130
10．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内的一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为
B．存在点，使得平面
C．若平面，则动点的轨迹长度为
D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为
11．已知有两个不同的极值点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知数列中，，，，则 ．
13．在（其中）的展开式中，的系数为，各项系数之和为，则 .
14．已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知为数列的前项和，且为正项等比数列，，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
16．（15分）设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的4个球，其中甲箱有2个蓝球和2个黑球，乙箱有3个红球和1个白球，丙箱有2个红球和2个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.
(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；
(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量表示最后摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望.
17．（15分）如图，在四棱锥中，，，，，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）已知函数（），为的导数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：．
19．（17分）如图，已知半圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于E点，半椭圆的上焦点为，并且是面积为的等边三角形，将满足的曲线记为“”．
(1)求实数、的值；
(2)直线与曲线交于M、N两点，在曲线上再取两点S、T（S、T分别在直线两侧），使得这四个点形成的四边形的面积最大，求此最大面积；
(3)设点，P是曲线上任意一点，求的最小值．
冲刺2024年高考数学模拟卷07（广东专用）
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D C B C C D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AD ACD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 13.5 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【解析】（1）当时，，解得；
当时，，
所以，
整理得，①
所以，②
由①-②得，所以数列为等差数列，
因为，所以数列的公差为，
所以.
设，
则，
因为（常数），
所以数列是等差数列；
（2）设数列的公比为，
结合（1）及已知得，
解得，所以；
（3）由（1）（2）得，，
所以，①
又②
①-②，得，
所以，
由，解得.
设，则，
故，
因为，
故恒成立，知单调递减，
故的最大值为，则，即的取值范围为.
16．（15分）
【解析】（1）记事件为最后摸出的2个球颜色不同，事件为这2个球是从丙箱中摸出的，
又，
有；
（2）由条件知，3，4，
且，
，
，
的分布列为：
X 2 3 4
P
故.
17．（15分）
【解析】（1），，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面；
（2）取的中点．连接、，
由（1）知平面，
平面，，
如图，过点作，
，，，，，
，，，
，由勾股定理可知，
，平面，平面，
，为的中点，
，又，，
平面，为直线与平面所成角，
由（1）知，又，，
，，，
则，
，，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
18．（17分）
【解析】（1）由，得
依题意知：，所以 ，
所以
①时，恒成立，在上单调递减；
②时，由，得，得，
在上单调递减，上单调递增．
（2）依题意，要证：，
①当时，，故原不等式成立，
②当时，要证：，
即要证：，
令，（）
则，令，
则，
先证：，即要证：，
令，则，
∵，所以，所以在单调递增，
所以，即，
当时，，，
，
所以在单调递减，
所以
所以在单调递减，
所以
即，得证
19．（17分）
【解析】（1）设，由题意得，
故，所以，.
（2）由（1）得，.
设与直线平行的直线与半圆相切，切点为；
与直线平行的直线与半椭圆相切，切点为.
当点、恰好分别取、时，四边形面积最大.
由，得，故，.
设方程为，则由，得，
因为相切，所以，故，即方程为，
此时直线与直线的距离为；
又因为直线过半圆的圆心，直线与半圆相切，所以两平行直线，的距离为,
所以四边形面积的最大值为.
（3）当时，；
当时，设是半椭圆上的点，由得.
此时
若，则，在上单调递减，在上单调递增，
故当时,；
若，则，在上单调递减，
故当时，；
综上所述.
试卷第2页，共22页冲刺2024年高考数学模拟卷08（广东专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．关于椭圆：，有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为2；丙：离心率为；丁：右准线的方程为；如果只有一个假命题，则该命题是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）个
①若平面平面，且平面平面，则；②若平面平面，直线平面，则；③平面平面，且，点，若直线，则；④直线、为异面直线，且平面，平面，若，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
5．袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．对于数列，若满足：，则称为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9．已知函数在一个周期内的图象如图所示，图象与轴的交点为，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的最大值为2
C．直线是图象的一个对称轴 D．在区间上单调递增
10．若，，，为复数，，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．设定义在R上的函数与的导函数分别为和，且，，且为奇函数，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．
D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知随机变量，且，则，则二项式展开式中含的项为
13．在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和到定直线的距离的和为4．记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：
①曲线过原点；
②曲线是轴对称图形，也是中心对称图形；
③曲线恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；
④曲线围成区域的面积大于．
则所有正确结论的序号是 ．
14．近年我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破，载人航天、探月探火、深海深地探测、超级计算机、卫星导航、量子信息等都取得重大成果．如图正方体为制作某深海探测器零件的新型材料，其棱长为2厘米，制作中要用与正方体内切球相切的平面去裁切正方体的一个角，要求截面为正三角形．若正方体八个角都做这样的裁切，则所剩几何体体积为 ．
四、解答题：共5个题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）已知函数，函数在处的切线与直线垂直．
（1）求实数的值；
（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（3）设、（）是函数的两个极值点，若，求的最小值．
16．（15分）某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式一回答问卷，否则按方式二回答问卷”.
方式一：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式二：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”.
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度.
(1)求每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率
(2)若该企业某部门有9名员工，用表示其中按方式一回答问卷的人数，求的数学期望；
(3)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度.
17．（15分）如图，在三棱柱中，，，，分别是线段上的点，且，平面，侧面底面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
18．（17分）如图所示，过抛物线的焦点作互相垂直的直线，，交抛物线于，两点（在轴上方），交抛物线于，两点，交其准线于点．
（1）求四边形的面积的最小值；
（2）若直线与轴的交点为，求面积的最小值．
19．（17分）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（modm）（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程（mod3）；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若（），数列的前n项和为，求；
②若（），求数列的前n项和．
冲刺2024年高考数学模拟卷08（广东专用）
参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B B C A C D D D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9 10 11
ABD ABD ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13．①③④ 14．
四、解答题：共5个题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）【详解】（1）∴．
∵与直线垂直，∴，．
∵，∴，
由题意知在上有解，，设，则
所以只需，故的取值范围是．
∵，所以令．
∴，．
∵
，
∵，所以设，，
∴，所以在(0,1)单调递减，
又，∴，
即．
∵0故所求的最小值是．
16．（15分）【详解】（1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为，
每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率.
（2）由题意可得：该部门9名员工中按方式一回答问卷的人数，
所以的数学期望．
（3）记事件为“按方式一回答问卷”，事件为“按方式二回答问卷”，事件为“在问卷中画○”．
由（1）知，，．
∵，
由全概率公式，则，解得，
故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为．
17．（15分）设为中点，为中点，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则
设，即，从而
显然，，
，则要使平面，则且，
即，故，从而点的坐标为，即为中点．
（1）设平面的法向量，由于，，
由于，则，从而，
取
由于，从而，从而，
又平面，从而平面
（2）设平面的法向量，由于，
由于，则，从而，
取
又平面的法向量
设二面角的平面角的大小为
则
综上所述，二面角的余弦值为．
18．（17分）【详解】（1）由已知可知直线的斜率必存在，
设直线的斜率为，抛物线的焦点，
则与抛物线相联立，
，
设，，则，
，
同理，，则四边形的面积为
，
当且仅当时，四边形的面积的最小值为32．
（2）解：由题意可得，
令，得.
由，，得，又，
所以
.
所以
.
记，
则，
解得，即，
所以在上递减，在上递增，
所以.
19．（17分）【详解】（1）由题意（mod3），所以或（），即或（）．
（2）由（1）可得为，所以．
①因为（），所以．
．
②（）．
因为，
所以
．
试卷第2页，共22页
