3.2.2 奇偶性 教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

教学设计标题：函数的奇偶性
学情分析：
认知基础和方法基础：学习本节课之前，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形的相关知识，对一次函数、二次函数、反比例函数的图象比较熟悉，有一定的函数储备，因此，学生很容易从函数图象来判断函数的对称性，即获得对函数的奇偶性的“图形表征”，加上前面学生已经了解了全称量词、充分条件和必要条件，并经历了研究函数单调性的方法的学习过程，会用符号语言表达函数的单调性，这些为学生学习本节课内容奠定了认知基础和方法基础。
能力发展分析：学生从函数的图形表征提炼数字特征，再抽象出符号语言有些困难。对用数学符号语言表达函数的性质的方法尚不熟练，概念形成的经验不足，自主探究和合作交流能力有待提高，因此，教学中引导学生从“数”与“形”两个方面来加深对函数奇偶性本质的认识。
教学目标：
(1)通过具体函数，使学生经历用数量关系刻画函数图象对称性的过程，同时了解函数奇偶性的概念和几何意义。
(2)让学生根据图象特征和奇偶性的定义判断简单函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决一些简单问题.
(3)让学生经历从特殊到一般的数学活动，会用数学符号语言描述奇函数和偶函数，经历从图形语言到符号语言的过渡，感悟常用逻辑用语中量词与数学严谨性的关系，提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理素养.
教学重难点：
1.教学重点：函数奇偶性的定义和图像特征，函数奇偶性的判断。
2.教学难点：如何从函数的图像特征中抽象出函数奇偶性的符号表达。
教学过程： 创设情境，引入新课 观看剪纸工艺品图片，感受剪纸艺术中的对称。 问题1：剪纸剪出来的图形有什么特点？ 预设回答：图形都具有对称性。 追问：分别对应我们数学中哪种对称关系？ 预设回答：轴对称图形和中心对称图形。 问题2：在我们学过的函数中,哪些函数图像是轴对称图形？哪些函数图像是中心图形？怎么判断？ 预设答案：函数f(x)=x2是轴对称图形，函数图像关于y轴对称； 函数f(x)=x， f(x)= 1 x是中心对称图形，函数图像关于原点对称； 问题3：函数f(x)=x3+x的图像有没有对称性？（学生回答不出来） 追问：在研究函数单调性时，我们有没有遇到类似的困难？当时是怎样解决的？ （学生联想到类比研究单调性的研究方法，尝试用数量刻画函数的对称性。） 【设计意图】通过剪纸工艺品图片，复习回顾初中的对称图形及对称概念。之后设置问题，引发认知冲突，从而激发学生对新知的探究欲，并引导学生类比单调性从“形”转化到“数”的研究方法，既连接了新知识，也为用数量刻画对称性作好铺垫。 逐步探索，构建概念 探究一：量化对象，初识“任意” 完成表格，画出y=x2和y=|x|图像，并回答下列问题. x…－3－2－10123…y=x2…9410149…
x…－3－2－10123…y=x…3210123…
1.图像有何共同特征？ 预设答案：都关于y轴对称 2.仔细观察表格中的数量特征，有什么规律？有何结论？ 预设答案：f( 1)=f(1)，f( 2)=f(2)，f( 3)=f(3) …… 符号语言： f( x)=f(x) “当自变量取一对相反数时，对应函数值相等”结论是否具有一般性？ 【设计意图】用函数的三种表示方法分别尝试刻画函数对称性，在对比过程中学生发现列表法刻画对称性不够完善，不能取尽所有的数值；图象法不够严谨；唯有解析法能精确地刻画函数的数量关系，因此尝试用解析式刻画对称性。在此过程中渗透特殊到一般，数形结合的数学思想.学生在直观感知图象性质、寻找特值关系的过程中，逐步认识“任意”的必要性。 探究二：问题引导，理解“任意” 已知函数f(x)的图像关于y轴对称，回答下列问题。 问题1：怎么判断一个图像关于y轴对称？ 预设回答：图像沿y轴折叠，y轴两旁的部分能够完全重合。 追问：函数图像关于y轴对称的实质是什么？ 预设回答：图像上的点关于y轴对称。 问题2：图像上任取一点A，则点A关于y轴对称的点A’在哪里？点A’坐标是什么？ 预设回答：点A’也在函数f(x)的图像上，坐标为( x0，f(x0)). 问题3：点A’( x0，f(x0))也在函数图像上，坐标还能怎样表示？ 预设回答：A’( x0，f( x0)). 问题4：两种方式都表示点A’，你能得到什么结论？ 预设回答：f( x0)=f(x0). 问题5：反之，若f( x0)=f(x0)成立，如何理解这个等式？ 预设回答：横坐标互为相反数时，相应的两个函数值相等，即点关于y轴对称。 问题6:我们将具有以上条件的函数成为偶函数，你能用符号语言概括偶函数的定义吗？ 预设回答： x∈R，f( x)=f(x). 【设计意图】用点坐标刻画函数的性质是研究形的基本方法。通过对点坐标的研究把几何问题代数化，使学生理解两个“任意”，一是图形的对称性对任意点都成立；二是任意关于y轴对称的图形都有该数量关系。 探究三：抽象概括，揭示特征 问题1：图像关于y轴对称具有一般性，定义域一定为R吗 预设回答：不一定，不妨设定义域为I， x∈I，f( x)=f(x). 问题2：如果f(x)=x2的图象去掉点(2，2)，图象还关于y轴对称吗 定义域取[-3，2]呢 预设回答：不关于y轴对称。 问题3:那么我们对偶函数又有什么新的认识 预设回答：偶函数的定义域关于原点对称。 问题4：能完善偶函数的定义吗 预设回答：定义域关于y轴对称，且f( x)=f(x)。 追问1：假设函数定义域为I，用符号语言怎么描述定义域关于原点对称？ 预设回答： x∈I，都有 x∈I。 追问2：那我们概括一下偶函数的定义。 预设回答： x∈I，都有 x∈I，且f( x)=f(x)。 【设计意图】通过分析、观察、归纳出偶函数的定义是本节课的核心部分,充分引导学生发现和归纳定义域的特征,有利于学生丰富和完善偶函数的概念,加深对定义的理解。 探究四：概念形成，深化理解 合作探究：类比偶函数的探究过程，请同学们以小组为单位，以函数f(x)=x和f(x)= 1 x为例探究奇函数的定义. 【探究任务】 1.发现两函数图像的共同特征，列出函数值对应表。 2.找出函数自变量和函数值之间的特点，并用符号语言描述。 3.类比偶函数定义，归纳概括出奇函数的定义。 【师生活动】学生小组合作，交流讨论后，汇报探究成果。 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，则称函数f(x)具有奇偶性。 问题1:归纳奇函数与偶函数的异同点。 偶函数奇函数定义域关于原点对称图像关于y轴对称关于原点对称定义 x∈I，都有 x∈I，且f( x)=f(x). x∈I，都有 x∈I，且f( x)= f(x).
问题2:如何说明一个函数不是偶函数 预设回答： x∈I，都有 x I，或且 x∈I，f( x)≠ f(x)。 或文字语言：定义域不关于原点对称或举特例说明，如：f( 1)≠f(1)。 即存在自变量互为相反数时,函数值不相等的情况。 问题3:判定奇偶性的方法和步骤是什么 预设回答：方法:图象法和定义法； 步骤:①判断定义域是否关于原点对称；②f( x)和f(x)的关系；③下结论。 【设计意图】通过分组讨论，合作交流，让学生类比探究偶函数定义的方法推导出奇函数的定义，培养学生创新能力和探索意识。从四种命题的角度来看，若“f(x)满足： x∈I，都有 x∈I，且f( x)=f(x)，则f(x)是偶函数”为真命题，则逆否命题：“若函数f(x)不是偶函数，则 x∈I有 x I，或f( x)≠ f(x)。也为真命题，处理时不用过多强调，只需理清逻辑关系。 概念应用，深化理解 例1.判断下列函数奇偶性. 变式1：f(x)=x2 1 变式2： 变式： 例2. 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，你能画出它在y轴左边的图象吗？变式：如果是奇函数呢？ 【设计意图】通过例题和练习加深学生对函数奇偶性概念的理解，及时巩固所学的新知识，明确判断奇偶性的步骤以及图象法、特值法、定义法等几种判断方法。 课堂小结，当堂检测 课堂小结 1.知识清单： (1)奇函数、偶函数的图象特征. (2)奇函数、偶函数的定义. (3)判断函数奇偶性的方法与步骤. 2.方法归纳：特值法、数形结合法. 当堂检测 1．下列函数是偶函数的是(　　) 答案　B A．y＝x B．y＝2x2－3 C．y＝x D．y＝x2，x∈(－1,1] 2．函数f(x)＝1x－x的图象关于(　　)答案　C A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称 3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) 答案　B 4．f(x)＝x2＋|x|(　　) 答案　D A．是偶函数，在R上是增函数 B．是偶函数，在R上是减函数 C．不是偶函数，在R上是增函数 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 5．若已知函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f \a\vs4\al\co1(\f(12))＝25， 则函数f(x)的解析式为________． 答案　f(x)＝x1＋x2 【设计意图】检测学生学习情况，并对本节课的知识进一步巩固。